Решение задач по физике. Онлайн-база готовых решений.
Поиск по задачам:
Вход на сайт
25004. Вычислить f(a, b) = int (e^-xa - e^-xb) dx/x.
25005. Найти сумму следующего бесконечного ряда: S = 1 + 2х + Зх2 + 4х3 +... для |x| < 1.
25006. Производящая функция F(x, t) полиномов Эрмита Нn(х) имеет вид F(x, t) = e^x2 - (t - x)2 = E Hk(x) tk/k!. а. Выразить Нn(х) через контурный интеграл. б. Доказать, что удовлетворяет дифференциальному уравнению Эрмита d2H/dx2 -2x dH/dx + 2nH = 0. в. Вывести рекуррентное соотношение dHn(x)/dx = 2nH n-1(x).
25007. Производящая функция для полиномов Лежандра Pi(x), где х = cos Q, имеет вид G(x, r) = 1/(1 - 2xr + r2)^1/2 = E rl Pl(x) | r | < 1. Доказать, что xP`i (х) = P^l - 1(х) + lРl(х), где P`l(x) = dPl(x)/dx.
25008. Ряд Лорана для функции e^(ц/2)(z-1/z) задан в виде E An zn, где An = Jn(ц). Выразить функцию Бесселя Jn(ц) через интеграл от тригонометрической функции с пределами интегрирования от -п до п.
25009. Функция ф(х, у) задана на плоскости z = 0. Найти для z > 0 решение ф(x, y, z) уравнения Лапласа, которое на плоскости z = 0 сводится к функции ф(x, у).
25010. Показать что K0(x) = int e^-xch ф dф удовлетворяет уравнению Бесселя нулевого порядка и мнимого аргумента, т. е. К0(х) = J0(ix). Показать, что асимптотический предел К0(х) для очень больших х равен De^-x/ |/x. Определить значение постоянной D.
25011. Вычислить интеграл int rdA по поверхности тора.
25012. Вычислить объем V четырехмерной единичной сферы х1 = r sin ф2 sin ф1 cos ф; х2 = r sin ф2 sin ф1 sin ф; х3 = r sin ф2 cos ф2; х4 = r cos ф2.
25013. Газообразный гелий без турбулентности протекает со скоростью v по трубе (рис. ). Конец трубы соединен с атмосферой. На очень малых расстояниях от конца трубы гелий быстро смешивается с воздухом практически до нулевой концентрации. Составить и решить дифференциальное уравнение для концентрации воздуха в трубе (расстояние отсчитывать от конца трубы). Считать, что: 1) имеется равновесие, 2) температуры гелия и воздуха одинаковы; 3) трением о стенки и концевыми эффектами можно пренебречь и 4) коэффициенты диффузии O2 и N2 в Не одинаковы и равны D.
25014. Уравнение, описывающее плотность нейтронов в ядерном реакторе, имеет вид v2n + К2n = 0. а. Найти радиус сферического реактора для заданного значения коэффициента К при следующих граничных условиях: плотность нейтронов вне реактора равна нулю, внутри реактора она везде конечна и положительна. б. Теперь предположим, что реактор окружен тонким слоем вещества толщиной t и что плотность нейтронов в этом слое вещества описывается уравнением v2n - ц2n = 0. Предположим далее, что на границе раздела плотность нейтронов n и grad n непрерывны. Сохраняя условие, что вне реактора, окруженного тонким слоем вещества, плотность нейтронов равна нулю, найти для фиксированных значений К, ц и t выражение для радиуса внутренней области реактора. Предполагая К << ц, вывести приближенное выражение для разности радиусов реактора при наличии поверхностного слоя вещества и без него.
25015. Точечный источник нейтронов, расположенный на оси длинной графитовой колонны квадратного сечения со стороной 150 см, излучает 10^6 нейтронов в секунду. Вычислить поток нейтронов в точке на оси, удаленной от источника на расстояние 1 м, если коэффициент диффузии нейтронов D = Lv/З, где v — скорость нейтронов, L = 2,8 см — средняя длина свободного пробега рассеяния нейтронов в графите. Эффектами замедления и захвата нейтронов можно пренебречь.
25016. Вывести закон Стокса с помощью теории размерностей в предположении, что сила не зависит от плотности жидкости. Что произойдет, если это предположение неверно?
25017. Газовый пузырь, образовавшийся в результате глубинного подводного взрыва, осциллирует с периодом Т ~ p^ad^be^c, где р — статическое давление, d — плотность воды, е — полная энергия взрыва. Найти a, b и с.
25018. Спутник выведен на круговую околоземную орбиту. Сила трения, действующая на спутник в верхних слоях атмосферы, равна Fv = Ava, где v — скорость спутника. Замечено, что скорость изменения радиального расстояния r (dr/dt = -С, где С — положительная величина), обусловленная воздействием этой силы, достаточно мала, так что потеря энергии на один оборот мала по сравнению с полной кинетической энергией спутника Е. Найти выражения для A и а.
25019. Материальная точка массой m, на которую не воздействуют внешние силы, невесомой нитью прикреплена к цилиндру радиусом R. Первоначально нить была намотана на цилиндр, так что материальная точка касалась цилиндра. В какой-то момент времени к массе m приложен импульс силы в радиальном направлении так, что нить начала разматываться (рис. ). Найти: а) уравнение движения материальной точки в наиболее удобных обобщенных координатах, б) общее решение, удовлетворяющее начальному условию, в) момент количества движения материальной точки относительно оси цилиндра, воспользовавшись результатом, полученным в п. б.
25020. Разбрызгиватель для поливки газона имеет сферическую насадку (а0 = 45°) с большим числом одинаковых отверстий (рис. ), через которые вытекает вода со скоростью v0. Очевидно, что газон будет поливаться неравномерно, если отверстия на насадке распределены равномерно. Какова должна быть зависимость числа отверстий на единицу площади р от угла а, чтобы круговой газон поливался равномерно? Предполагается, что радиус разбрызгивающей насадки значительно меньше размеров газона и что насадка расположена на одном уровне с газоном.
25021. Вывести дифференциальное уравнение удерживающей поверхности, на которой материальная точка осциллирует с периодом, не зависящим от амплитуды.
25022. Три частицы (массами m1, m2, m3) расположены в вершинах равностороннего треугольника и взаимодействуют друг с другом по закону Ньютона. Найти вращательное движение системы, оставляющее относительное расположение частиц неизменным.
25023. Частица массой m движется по круговой орбите радиусом r0 в поле центральных сил, потенциал которого равен — km/rn. Показать, что если n < 2, то круговая орбита устойчива по отношению к малым колебаниям (т. е. частица осциллирует около круговой орбиты).
25024. Две частицы движутся друг относительно друга по круговым орбитам с периодом т под влиянием гравитационных сил. В заданный момент времени движение внезапно прекращается и частицы начинают падать друг на друга. Доказать, что они столкнутся спустя время т/4 |/2 после момента остановки.
25025. Если rз и рз — соответственно радиус и плотность Земли, то радиус и плотность Луны равны соответственно 0,275 rз и 0,604 рз. Человек, стоящий на Земле, сгибая колени, опускает свой центр тяжести на 50 см. Собрав все силы, он подпрыгивает, поднимая центр тяжести на 60 см выше нормального положения. Как высоко он может подпрыгнуть таким способом на Луне?
25026. Однородный тонкий негнущийся стержень весом W поддерживается в горизонтальном положении двумя вертикальными опорами у концов стержня (рис. ). В момент времени t = 0 одна из опор выбивается. Найти силу, которая действует на вторую опору сразу же после этого момента.
25027. Три одинаковых цилиндра, оси которых параллельны, соприкасаются друг с другом по образующим. Два цилиндра из трех лежат на шероховатой плоскости, третий же цилиндр покоится на этих двух (рис. ). Найти минимальный угол между направлением силы, действующей со стороны плоскости на цилиндры, и вертикалью, при котором цилиндры еще не разойдутся.
25028. Катушка покоится на горизонтальной поверхности (рис ). Небольшая горизонтальная тяга действует на нитку так, что катушка катится без скольжения. В каком направлении она катится и почему?
25029. Горизонтально расположенный круглый диск массой М может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через точку на его ободе. Показать, что если собака массой m совершит один оборот по ободу, то диск повернется вокруг оси на угол а = int 4m cos2 ydy/3M/2 + 4m cos2 y.
25030. Слой пыли толщиной h см (h мало по сравнению с радиусом Земли) образован изотропным падением на Землю метеоров. Используя момент количества движения, показать, что относительное изменение продолжительности дня приблизительно равно 5hd/RD, где R — радиус Земли, D и d — плотность Земли и пыли соответственно. Пусть начальные значения величин имеют индексы 0, а конечные значения — индекс 1. Момент инерции сферы относительно оси, проходящей через центр, равен 2MR2/5, а момент инерции тонкостенной полой сферы массой m и радиусом R равен 2mR2/3.
25031. Простой гирокомпас представляет собой гироскоп, вращающийся вокруг оси с угловой скоростью w. Пусть момент инерции гироскопа относительно этой оси равен С, а относительно поперечной оси — А. Подвешенный гироскоп плавает в ртути, так что лишь воздействие крутящего момента удерживает его ось в горизонтальной плоскости. Показать, что если такой гироскоп поместить на экватор Земли, вращающейся с угловой скоростью W, то его ось будет осциллировать в направлении север — юг, и найти период колебаний для малых амплитуд. Напомним, что в данном случае приближение w >> W является хорошим.
25032. Поверхность сферы медленно колеблется таким образом, что главные моменты инерции являются гармоническими функциями времени: lzz = 2mr2/5 (1 + ecos wt), lxx = lyy = 2mr2/5 (1 - e cos wt/2), где е << 1. Одновременно эта сфера вращается с угловой скоростью W(t). Показать, что Wz остается приблизительно постоянной, a W(t) прецессирует вокруг оси z с частотой прецессии wn = 3eWz/2 cos wt при условии Wz >> w.
25033. Три жесткие сферы соединены мягкими гибкими стержнями (рис. ). Соотношение между массами сфер равно m1 : m2 : m3 = 1 : 2 : 1. Описать нормальные моды колебаний системы и определить частоты этих колебаний.
25034. Твердый однородный брусок массой М и длиной L поддерживается в состоянии равновесия в горизонтальном положении двумя невесомыми пружинами, прикрепленными к концам бруска (рис. ). Обе пружины имеют один и тот же коэффициент упругости k. Движение центра тяжести бруска возможно лишь в направлении, параллельном вертикальной оси х. Найти нормальные моды и частоты колебаний системы для случая, когда движение возможно лишь в плоскости xz.
25035. Частица массой М подвешена на одном конце струны, масса которой равна m, а длина L. Другой конец струны закреплен. Частица с помощью небольшого горизонтального смещения d выведена из состояния покоя. Составить дифференциальные уравнения и сформулировать граничные условия для движения струны и частицы. Составить трансцендентное уравнение для определения собственных частот и решить это уравнение для случая m << М.
25036. Сформулировать вариационный принцип для частоты w колебаний мембраны с поверхностным натяжением Т и поверхностной плотностью массы s, края которой закреплены, т. е., другими словами, найти интеграл по поверхности мембраны, экстремальное значение которого равно частоте колебаний мембраны.
25037. Если часы поднять на большую высоту, будут они спешить или отставать?
25038. Тело массой m прикреплено к невесомой струне, длина которой L, поперечное сечение S и прочность на разрыв Т. Тело, удерживаемое вблизи точки закрепления второго конца струны, внезапно освобождается и падает вниз. Каково должно быть максимальное значение модуля Юнга Е для струны, чтобы она при таком падении тела не разорвалась?
25039. Поезд массой M, движущийся со скоростью v, тормозится буфером, представляющим собой спиральную пружину, которая имеет длину (в отсутствие сжатия) l0 и коэффициент упругости k0. Последний остается постоянным вплоть до полного сжатия пружины. Однако при полном сжатии (l << l0) коэффициент упругости скачком возрастает, становясь много больше k0. Допуская свободный выбор значения k0, найти минимальное значение l0 при условии, что максимальное торможение по своей абсолютной величине не должно превышать амакс.
25040. Цилиндр радиусом R, длиной h и плотностью р плавает в вертикальном положении в жидкости плотностью р0. Какова будет частота w (незатухающих) гармонических колебаний цилиндра, если последнему сообщить направленное вниз смещение с амплитудой х? б. Показать, что в случае малых колебаний движение жидкости вблизи осциллирующего цилиндра распространяется на область размером d ~ |/ h/(p0w), считая от края цилиндра. Максимальный градиент скорости жидкости вблизи цилиндра равен dv/d ~ wх/d. Пренебрегая трением у основания цилиндра, показать, что максимальная величина тормозящей силы вязкости жидкости, действующей на цилиндр, приблизительно равна F ~ 2пRhp (hw3/p0)^1/2 х.
25041. Жидкостная пленка с поверхностным натяжением т натянута между двумя круглыми рамками радиусом а. Напишите уравнение для профиля пленки r(z). При какой величине отношения d/a показанная на рис. конфигурация стабильна?
25042. Прямая вертикальная опора длиной l и поперечным сечением а х а жестко закреплена в основании. Показать, что максимальный вес W, который она может удерживать на верхнем торце, не изгибаясь, определяется выражением W = п2а4E/48l2. Здесь Е — модуль Юнга для материала, из которого изготовлена опора.
25043. Прямоугольная балка с поперечным сечением а x а и длиной L одним концом прикреплена к кирпичной стене. Вычислите прогиб свободного конца балки под действием собственного веса. Плотность материала, из которого изготовлена балка, равна р, а модуль Юнга Е. Прогиб предполагается малым.
25044. Однородная тонкая труба, вертикально стоящая на Земле, падает, вращаясь относительно точки опоры. Показать, что сечение трубы в любой ее точке подвержено изгибающему усилию, и вычислить наиболее вероятную точку излома трубы при ее падении.
25045. Открытая поверхность жидкости находится под постоянным давлением. Показать, что если несжимаемую жидкость налить в цилиндрический сосуд и затем сосуд с жидкостью вращать с постоянной угловой скоростью w, то поверхность жидкости примет форму параболоида вращения.
25046. Ангар полуцилиндрической формы (рис. ) длиной L = 70 м и радиусом R = 10 м подвергается действию ветра, скорость которого на бесконечности voo = 72 км/ч строго перпендикулярна к оси ангара. Какая сила действует на ангар, если дверь, расположенная на участке A, открыта? Поле скоростей задано потенциалом ф = -voo(r + R2/r) cos Q. Плотность воздуха равна 1,2 кг/м3.
25047. Температура воздуха над горизонтальной границей раздела равна 280° К. Внизу воздух имеет Т = 300° К. Предположим, что появление синусоидальных волн на границе раздела обусловлено гравитационными волнами длиной волны L и малой амплитуды. Найти фазовую скорость этих волн как функцию длины волны L, считая, что граница раздела расположена достаточно далеко от других возможных границ раздела. Предполагается, что воздух несжимаем.
25048. Две взаимно перпендикулярные полубесконечные стены OA и ОВ (рис. ), пересекающиеся в начале координат О, преграждают путь двухмерному гидродинамическому потоку несжимаемой жидкости плотностью р от точечного источника интенсивностью К, расположенного в точке с координатами (а, b). Рассчитать давление на стены.
25049. Обозначим массы Солнца и Луны соответственно М и m; расстояния между Солнцем и Землей, между Луной и Землей — соответственно R и r. Каково отношение амплитуд приливных волн, индуцированных Солнцем и Луной, на экваторе?
25050. Найти основной период колебаний изолированного несжимаемого водяного шара (радиус шара равен 6300 км), колеблющегося под действием собственного гравитационного притяжения. Предполагать, что поток скоростей безвихревой.
25051. Системы координат S1 и S2 движутся в направлении оси х соответственно со скоростями v1 и v2 относительно системы координат S. Измеренный в системе координат S интервал времени, за которое стрелка часов в системе координат S1 сделает один оборот, равен t. Каков этот же интервал времени t2, измеренный в системе координат S2?
25052. В межзвездное пространство стартует с Земли ракета. Спустя короткое время после старта ускорение ракеты, измеренное пассажирами, оказывается постоянным. Ракета направлена на звезду, находящуюся на фиксированном расстоянии от Земли, и движется прямолинейно. Сколько времени по часам пассажиров понадобится ракете, чтобы достигнуть звезды? Обозначить D — фиксированное расстояние от Земли до звезды, а а` — постоянное ускорение в системе отсчета, связанной с ракетой.
25053. Частица массой покоя m движется вдоль оси х инерциальной системы отсчета и притягивается к началу координат О с силой (производная от импульса по времени) mw2х. Частица начинает осциллировать с амплитудой а. Выразить период этого релятивистского осциллятора через определенный интеграл и вычислить приближенное значение этого интеграла.
25054. Антипротоны после остановки поглощаются дейтерием по реакции р + D -- > n + п0 (мы здесь пренебрегаем другими возможными реакциями). Определить полную энергию п0-мезонов. Массы покоя: Mp = Mp = 938,2 Мэв, MD = 1875,5 Мэв, Мn = 939,5 Мэв, Mп0 = 135,0 Мэв.
25055. Рассмотреть процесс образования электрон-позитронной пары. а. Определить скорость системы, в которой пара имеет нулевой импульс (система центра масс). б. Вывести выражение для энергии частицы в этой системе отсчета. в. Вывести выражение для величины относительной скорости частиц, т. е. для скорости одной частицы, измеряемой в системе отсчета, связанной с другой частицей пары.
25056. Быстрый (ультрарелятивистский) электрон входит в конденсатор под углом а (рис. ). Вывести уравнение траектории электрона, если приложенная к пластинам разность потенциалов равна V, а расстояние между пластинами d.
25057. Нейтральный п-мезон (масса покоя М) распадается на два y-кванта. Угловое распределение у-квантoв изотропно в системе покоя п0-мезона. В лабораторной системе координат п0-мезон имеет скорость v, направленную по оси z. Какова вероятность P(Q)dW вылета фотона в телесный угол dW под углом Q при распаде мезона на лету? Здесь Q — угол в лабораторной системе координат между направлением вылета y-кванта и осью z. Скорость мезона v может быть сравнима со скоростью света.
25058. Какова должна быть минимальная энергия нейтронов, рожденных во взаимодействиях космических лучей на расстоянии одного светового года от Земли, если они достигают последней с вероятностью не менее 1/е? б. Если эти нейтроны распадаются на лету, то каков максимальный угол между направлением вылета электрона распада и первоначальным направлением полета нейтрона? в. Каков максимальный угол вылета нейтрино распада? г. Какова максимальная энергия нейтрино, вылетевшего под максимально возможным углом?
25059. Прецессия перигелия траектории планет была предсказана общей теорией относительности. Однако даже специальная теория относительности предсказывает такой эффект вследствие зависимости инерциальной массы от скорости. Вывести формулу специальной теории относительности, описывающую прецессию перигелия для планеты с заданным моментом количества движения L, массой покоя m и энергией E. Планета движется в гравитационном поле Солнца. Указание. Использовать полярные координаты u = 1/r и Q и составить дифференциальное уравнение, в которое время не входило бы явно.
25060. Баллон с гелием свободно плавает в замкнутом сосуде, наполненном воздухом при нормальных давлении и температуре. Сосуд, в свою очередь, находится в межзвездном пространстве и движется в заданном направлении с ускорением, равным по величине гравитационному ускорению на поверхности Земли. В каком направлении движется баллон с гелием относительно вектора ускорения?
25061. Ребра куба представляют собой одинаковые сопротивления R, соединенные друг с другом в вершинах. Два противоположных угла одной грани куба присоединены к батарее. Каково эффективное сопротивление такой цепи?
25062. В электрическую цепь, представляющую собой бесконечно протяженную плоскую сетку с прямоугольной ячейкой (рис. ), через точку А подводится, а через точку С снимается ток i. Найти силу тока, протекающего по проводу АС.
25063. Имеются два одинаковых стальных бруска, один из которых намагничен, а другой нет. Каким образом можно определить, какой из брусков намагничен, не используя внешнее магнитное поле? (Имеется возможность измерять силы.)
25064. Проводник заряжается электрическим зарядом при многократном соприкосновении с металлической пластиной, которая после каждого соприкосновения дозаряжается до величины заряда Q. До какой конечной величины зарядится проводник, если после первого соприкосновения его заряд оказался равен q?
25065. Переменный конденсатор присоединен к батарее с э.д.с., равной Е (рис. ). С0 и q0 — начальные емкость и заряд конденсатора. В дальнейшем емкость конденсатора изменяется во времени так, что ток в цепи l остается постоянным. Вычислить мощность, потребляемую от батареи, и сравнить ее со скоростью изменения во времени энергии, запасенной в конденсаторе. Если сравниваемые величины различаются, объяснить — почему.
25066. После погружения конденсатора в среду с проводимостью g сопротивление между его зажимами оказалось равным R. Показать, что независимо от формы его пластин имеет место соотношение RC = e/g, где е — диэлектрическая постоянная среды, а С — емкость конденсатора в среде.
25067. В цилиндре радиусом b просверлено oтверстие радиусом а (а < b). Ось отверстия параллельна оси цилиндра, а расстояние между осями равно d (рис ). По цилиндру течет ток l. Какова напряженность магнитного поля на оси отверстия?
25068. Проводник имеет форму бесконечной проводящей плоскости с полусферическим выступом радиусом а. Над центром выступа на расстоянии р от плоскости расположен заряд q. Вычислить силу, действующую на заряд.
25069. Имеется толстостенный полусферический колпак, внутренний и внешний радиусы которого равны соответственно а и b (рис ). Колпак однородно намагничен вдоль оси симметрии (ось z на рисунке). Показать, что помещенная в начало координат небольшая стрелка компаса будет свободно вращаться.
25070. Тонкий однородный металлический диск лежит на бесконечной проводящей плоскости. Однородное гравитационное поле направлено перпендикулярно к плоскости. Вначале диск и плоскость не заряжены, к ним медленно подводится заряд. Какова должна быть плотность заряда, чтобы диск приподнялся над плоскостью?
25071. Вычислить емкость С сферического конденсатора, внутренний и внешний радиусы которого равны соответственно R1 и R2. Конденсатор наполнен диэлектриком с диэлектрической проницаемостью e = е0 + e1cos2 Q, где Q — полярный угол.
25072. Длинный прямой провод, по которому течет ток I1, расположен на расстоянии а над полубесконечной магнитной средой с магнитной проницаемостью ц. Вычислить силу, действующую на единицу длины провода, и определить направление этой силы.
25073. Коэффициент самоиндукции круговой петли из тонкой проволоки (столь тонкой, что потоком через проволоку можно пренебречь) измеряется в следующих случаях: а) плоскость петли совпадает с плоскостью ху, которая представляет собой раздел сред с магнитной проницаемостью ц = 2(z < 0) и ц = 1 (вакуум, z > 0); б) петля находится в среде c ц = 1. Каково отношение коэффициентов самоиндукции L в этих двух случаях?
25074. Внутри металла с проводимостью s0 имеется небольшое включение с проводимостью s1(рис. ). Это включение возмущает электрическое поле, которое в отсутствие включения было бы постоянным. Найти зависимость возмущения от расстояния до включения. (Решить задачу только для случая установившегося состояния.)
25075. Длинный проводник, имеющий форму полого цилиндра радиусом а, разрезан по образующим на две половинки, разделенные небольшим расстоянием. K половинкам приложены потенциалы V1 и V2. Показать, что потенциал в любой точке внутри цилиндра определяется выражением V = V1 + V2/2 + 2 V1 - V2/п E (-1)^n-1/2n -1 (r/a)^2n-1 cos [(2n - 1)Q], где r — расстояние от точки до оси цилиндра (см. рис. ).
25076. Найти, каким образом убывает во времени начальная плотность заряда в любой точке внутри проводника. Оценить время, в течение которого первоначальный заряд внутри медного проводника исчезает (удельное электрическое сопротивление меди равно 1,7*10^-6 ом*см). Если проводник совершенно изолирован, то как распределяется заряд?
25077. Небольшая сфера радиусом а и поляризуемостью а расположена на очень большом расстоянии от сферы радиусом b, изготовленной из проводящего материала, которая поддерживается при потенциале V. Найдите приближенное выражение для силы, действующей на сферу из диэлектрика, справедливое при условии а << r, где r — расстояние между сферами.
25078. Вывести соотношение Клаузиуса — Моссотти, связывающее диэлектрическую постоянную е с поляризуемостью среды а.
25079. В простой кубической решетке постоянная решетки равна 2А, а показатель преломления (скажем, для длины волны излучения натрия) равен n = 2,07. Предположим, что среда подвергается такому давлению, что происходит двухпроцентное удлинение вдоль одного из ребер куба и однопроцентное сокращение вдоль двух других ребер. Вычислить показатель преломления деформированной решетки для случаев, когда электрический вектор Е направлен а) параллельно и б) перпендикулярно к главной оси деформации. Считать атомную поляризуемость а постоянной скалярной величиной. Указание. Локальное поле, действующее на атом в описанной среде, можно найти следующим образом. Представим себе сферическую полость, окружающую атом и шесть соседних атомов. Вне этой полости среду можно считать непрерывной и изотропной. Локальное поле в центре полости может быть выражено в виде Eл = E + E` + E E"j, где E — приложенное поле, E` и E"j — поля, вызванные соответственно поляризованным континуумом вне сферической полоcти и диполем, индуцированным в j-м атоме внутри полости. В анизотропной среде E E"j не обращается в нуль. Более того, эта величина зависит от направления приложенного поля E.
25080. Каков критический угол полного отражения для коротковолнового рентгеновского излучения с длиной волны L, падающего на металлическую пластину, в которой все N электронов в единице объема являются «свободными».
25081. Ионосферу можно рассматривать как ионизованную среду, содержащую N свободных электронов в единице объема. Показать, что если линейно поляризованная волна распространяется в ионосфере в направлении, параллельном направлению слабого однородного магнитного поля Земли Н, то плоскость поляризации волны будет поворачиваться на угол, пропорциональный пройденному волной расстоянию. Вычислить коэффициент пропорциональности.
25082. Показать, что электромагнитные волны могут распространяться внутри полой металлической трубы прямоугольного поперечного сечения, стенки которой полностью проводящие. Каковы групповая и фазовая скорости распространения? Показать, что имеется граничная частота и что электромагнитные волны с частотой меньше граничной не могут распространяться по такому волноводу.
25083. Предположим, что внутри сверхпроводника вместо закона Ома (J = sЕ) справедливы уравнения Лондона для плотности тока J: c rot(LJ) = -В, d/dt(LJ) = Е (в гауссовой системе), L мы считаем константой. В остальном уравнения Максвелла (с е = 1, ц = 1) и соответствующие граничные условия остаются неизменными. Рассмотрим бесконечную сверхпроводящую пластину толщиной 2d (-d < z < d), вне которой имеется постоянное магнитное поле, параллельное плоскости: Нх = Hz = 0, Ну = H0 (одинаковые как для z > d, так и для z < -d), и Е = D = 0 везде. Вычислить Н и J внутри пластины, если поверхностных токов и зарядов нет.
25084. Поляризованный свет распространяется вдоль оси стеклянного цилиндра длиной L, который вращается вокруг своей оси с угловой скоростью W. Найти угол, на который повернется плоскость поляризации на выходе из цилиндра. (Предполагается, что показатель преломления постоянный, а магнитная проницаемость равна единице.)
25085. Щелевая линза (рис. ) имеет отверстие, длина которого значительно превышает его ширину у0. Слева от линзы электрическое поле равно Е1, справа Е2. Пучок заряженных частиц, сфокусированный на расстоянии х1 от щели слева, за щелью вновь фокусируется на расстоянии х2 справа от нее. До щели частицы ускоряются разностью потенциалов V0. Показать, что 1/x2 + 1/x1 ~ E2 - E1/2V0, если V0 >> Е1х1 и V0 >> Е2х2, x1 и х2 >> y0.
25086. Ион движется по спиральной траектории вокруг оси длинного соленоида, намотанного так, что величина поля на траектории иона постепенно возрастает от значения В1 до значения В2. При каких условиях ион будет отражен?
25087. На рис. показано сечение цилиндрического анода (радиусом b) и цилиндрического катода (радиусом а) магнетрона. Катод заземлен, а потенциал анода равен V. Однородное магнитное поле Н направлено вдоль оси цилиндра. Электроны испускаются катодом с нулевой начальной скоростью и под действием приложенных полей движутся в направлении анода по некоторым криволинейным траекториям. Определить величину потенциала V, ниже которого ток будет подавляться магнитным полем Н.
25088. Магнитная квадрупольная линза, сечение которой показано на рис. , обладает свойством фокусировать пучок заряженных частиц, движущихся почти параллельно оси z. Фокусировка происходит или в плоскости х = 0 или в плоскости у = 0 в зависимости от знака заряженных частиц. Определить простейшее распределение магнитных «полюсов», которые аналогичным образом фокусируют нейтральные частицы с магнитным моментом ц, поляризованные параллельно (или антипараллельно) оси х.
25089. Хорошо сколлимированный пучок протонов имеет форму цилиндра радиусом R. Скорость протонов в пучке равна v, а их число в единице объема р. Найти силы, действующие на протон на расстоянии r от оси пучка. Качественно исследовать стабильность пучка.
25090. Вывести нерелятивистское уравнение движения электрически заряженной частицы около фиксированного магнитного монополя с силой Г. Найти интегралы движения.
25091. Стандартным методом калибровки орбит заряженных частиц с импульсом р в статических магнитных полях является метод эмпирического определения конфигурации в полях достаточно гибкой проволоки, по которой течет ток l при натяжении T. Дать физическое обоснование этого метода. Указание. Вывести общие дифференциальные уравнения для орбиты частицы d2r/ds2 и для равновесного положения токонесущей проволоки.
25092. Атом со сферически симметричным распределением заряда находится во внешнем магнитном поле Н. Показать, что поле на ядре, обусловленное диамагнитным током, равно dН = -(еН/Зmс2) ф(0), где ф(0) — электростатический потенциал, создаваемый на ядре атомными электронами. Грубо оценить величину dН/Н для атома с Z = 50.
25093. Заряд, распределенный в ограниченном пространстве сферически симметрично, пульсирует в радиальном направлении с некоторой частотой w. Как можно зарегистрировать эти радиальные пульсации? Пояснить ответ.
25094. Маховик радиусом R, на ободе которого равномерно распределен заряд Q, вращается с угловой скоростью w. Какова интенсивность излучения энергии?
25095. Покажите, что, согласно классической теории излучения, при столкновении нерелятивистских бесспиновых тождественных частиц невозможно электрическое или магнитное дипольное излучение.
25096. Линейно поляризованная плоская волна электромагнитного излучения падает на атом с поляризуемостью а. Определить в рамках классической электромагнитной теории электрическое поле рассеянной волны на большом расстоянии и полное сечение рассеяния.
25097. Тонкое медное кольцо вращается вокруг оси, перпендикулярной к однородному магнитному полю Н0 (рис. ). Начальная скорость вращения равна w0. Вычислить время, за которое частота вращения уменьшится в е раз, считая, что энергия расходуется на джоулево тепло (проводимость меди равна s = 5*10^17 СГСЭ, плотность р = 8,9 г/см3, H0 = 200 гс).
25098. Частица массой m и зарядом е подвешена на нити длиной L. На расстоянии d под точкой подвеса находится бесконечный плоский проводник. Вычислить частоту колебаний маятника при условии, что амплитуда их достаточно мала, так что применим закон Гука, и потери энергии в единицу времени на излучение материальной точкой, колеблющейся с малой амплитудой а.
25099. Семь антенн, излучающих как электрические диполи, поляризованные по направлению оси z, расположены на оси х в точках х = 0, ±L/2, ±L, ±ЗL/2. Все антенны излучают волны с длиной L и возбуждаются в фазе. а. Вычислить угловое распределение излучаемой мощности как функцию полярного Q и азимутального ф углов (пренебрегая постоянными множителями). б. Начертить примерный график зависимости излучаемой мощности от угла ф в плоскости ху. в. Определить направление, в котором интенсивность излучения максимальна 1) для данной конфигурации антенн и 2) для одной единственной антенны. Каково отношение этих интенсивностей?
25100. Показать, что потеря энергии на излучение за один оборот частицы с единичным зарядом пропорциональна L = b3/(1 - b2)2*r0/R, где R — радиус орбиты, b = v/c, a r0 = e2/m0c2.
25101. Пучок света интенсивностью l0 и частотой v0, направленный вдоль положительной полуоси z, отражается под прямым углом от идеального зеркала, движущегося вдоль положительной полуоси z со скоростью v. Каковы интенсивность l и частота v отраженного света, выраженные соответственно через l0 и v0?
25102. Два тонких параллельных бесконечно длинных непроводящих стержня, разделенные расстоянием а (рис. ) и имеющие одинаковую постоянную плотность заряда L на единицу длины в системе покоя стержней, движутся со скоростью v, не обязательно малой по сравнению со скоростью света. Вычислить силу взаимодействия стержней, приходящуюся на единицу длины, в покоящейся и в движущейся системах координат и сравнить их.
25103. Электрон движется в зависящем от времени аксиально симметричном магнитном поле с В0 = 0. Каким условиям должен удовлетворять лагранжиан L = -mс2(1 - v2/c2)61/2 + ev/c А (B = v x A), чтобы электрон двигался по фиксированной в пространстве круговой орбите с постоянным по времени радиусом? Каковы угловая частота и энергия электрона на такой орбите? Исследовать устойчивость круговых орбит. Предполагать, что форма поля вблизи орбиты может быть представлена выражением Вz = В0(r0/r)^n, где Вz — мгновенное значение поля на равновесной орбите r = r0, z — ось симметрии, n — положительное число, а В(r, z, t) = B(r, z)T(t). Считать, что внешнее поле мало меняется за время одного оборота электрона по орбите. а. Показать, что если n > 1, то орбита неустойчива по отношению к радиальным колебаниям. б. Показать, что сумма квадратов частот радиальных и вертикальных колебаний равна квадрату частоты обращения по равновесной орбите.