Решение задач по физике. Онлайн-база готовых решений.
Поиск по задачам:
Вход на сайт
25104. Найти ковариантное обобщение а) силы Лоренца F = е(Е + [vB]) и б) уравнения движения частицы со спином S dS/dt = ge/2m[SB], где g — гиромагнитное отношение.
25105. Электронная лампа и LC-цепь используются обычным способом как радиочастотный генератор. Каков порядок величины верхней граничной частоты такого генератора, если к электродам приложена разность потенциалов 200 в, а расстояние между электродами около 1 мм?
25106. Показать, что бесконечная цепь индуктивностей L и емкостей С (рис. ) действует как фильтр низких частот. Выразить граничную частоту wгр через собственную частоту w0 = 1/ |/LC.
25107. Необходимо ослабить сигнал, вырабатываемый электронной схемой, с минимальными искажениями формы сигнала (максимальной шириной полосы). Использовать для этого показанную на рис. высокоомную схему ослабления, дополнив ее необходимыми элементами. Определить величины этих элементов.
25108. Триод в схеме генератора с настроенным анодом (рис. ) имеет коэффициент усиления р и внутреннее сопротивление Rp. На какой частоте будет работать генератор? При каких условиях произойдет срыв генерации? Указание. Предполагать, что сеточный ток триода равен нулю.
25109. На вход А диодной схемы (рис. ,а) подается периодический сигнал (рис. ,б). Предполагая, что в начальный момент конденсаторы не заряжены, нарисовать зависимость напряжения от времени в точках В и D в течение трех периодов входного сигнала. Считать, что диоды представляют собой идеальные ключи. Каково предельное значение напряжения в точке В?
25110. Тонкая линза с показателем преломления n и радиусами кривизны R1 и R2 расположена на границе раздела двух сред с показателями преломления n1 и n2 (рис. ). Пусть S1 и S2 — соответственно расстояния от объекта до линзы и от изображения до линзы, а f1 и f2 — соответствующие фокусные расстояния. Показать, что в этом случае справедливо соотношение f1/S1 + f2/S2 = 1.
25111. На поверхность раздела двух сред под прямым углом падает свет так, что волна с единичной амплитудой в среде 1 отражается от поверхности раздела с амплитудой r, а в среду 2 проходит волна с амплитудой t. Аналогично волна с единичной амплитудой в среде 2 отражается от поверхности раздела с амплитудой r` и проходит в среду 1 с амплитудой t`. Используя принцип суперпозиции и инвариантность по отношению к обращению времени, вывести соотношения Стокса r2 + tt` = 1 и r = -r`.
25112. Полубесконечный диэлектрик, покрытый пленкой толщиной d, помещен в вакуум; на него нормально падает плоская электромагнитная волна. Предполагается, что ц = 1 для обеих сред и что пленка и диэлектрик имеют показатели преломления, равные соответственно n1 и n2. Выразить амплитуду отраженной в вакуум волны через показатели преломления n1 и n2 и длину волны в вакууме L. При каких условиях амплитуда отраженной волны обратится в нуль?
25113. Метод цветной фотографии был предложен Липпманом в 1881 г. Сущность этого метода заключается в следующем. Фотопластинка состоит из слоя чрезвычайно мелкозернистой эмульсии, нанесенной на стеклянную пластину. Эмульсию, в свою очередь, покрывают тонким слоем ртути, образующим отражающую поверхность. При экспонировании фотопластинка обращена к свету стеклянной поверхностью (рис. ). После проявления пластина, по-прежнему покрытая слоем ртути, освещается белым светом, и в отраженном свете наблюдается цветное изображение. Объяснить, как это происходит.
25114. В камере с малым отверстием расстояние от отверстия до фотопластинки равно 10 см. Необходимо получить изображение Солнца в видимом спектре (L = 5000 А). Какого диаметра должно быть отверстие, чтобы разрешение было наилучшим?
25115. Для анализа спектра натрия используется дифракционная решетка шириной 5 см. Свет падает на эту решетку нормально. Определить минимальное число линий, необходимое для того, чтобы разрешить в первом порядке дублет D натрия, компоненты которого имеют длину волны соответственно 5890 А и 5896 А. Каково в этих условиях угловое расстояние между двумя компонентами дублета?
25116. Микроволновый детектор расположен на берегу озера на высоте 0,5 м над уровнем воды. При медленном восхождении над горизонтом радиозвезды, излучающей микроволны с L = 21 см, детектор регистрирует чередующиеся максимумы и минимумы интенсивности сигнала. При каком угле Q над горизонтом находится радиозвезда в момент регистрации первого максимума?
25117. Две очень узкие параллельные щели в непрозрачном экране разделены расстоянием d. Экран освещается длинной прямой светящейся металлической лентой 1 шириной W, расположенной на расстоянии L перед экраном 3 (рис. ). Цветной стеклянный светофильтр 2 пропускает свет длиной волны L. Прошедший свет дает интерференционную картину на экране 4, расположенном на большом расстоянии за непрозрачным экраном. При увеличении расстояния между щелями оказалось, что при значении d = d0 интерференционные полосы исчезают. Определить ширину W светящейся ленты.
25118. В дифракционной решетке N щелей; длина каждой щели равна половине длины предыдущей. Расстояние между щелями d. Каково угловое распределение интенсивности света с длиной волны L?
25119. Рассмотрим отражающую решетку, бороздки которой хотя и расположены на равном расстоянии, но имеют следующую чередующуюся отражательную способность: 1 + а, 1 - а, 1 + а, 1 - а и т. д. Как будет изменяться дифракционная картина, если а увеличивать от 0 до некоторой величины, значительно меньшей единицы?
25120. Черный экран с круглым отверстием радиусом а расположен в плоскости ху так, что центр отверстия совпадает с началом координат. На экран падает плоская волна ф = e^ikz, k = 2п/L. Найти точки на положительной оси (z >> а), где интенсивность приблизительно равна нулю.
25121. Свет проходит через ряд идеальных поляризаторов. Плоскости поляризации выстроены в фиксированном направлении, но имеются случайные отклонения в направлении двух соседних плоскостей поляризации, подчиняющиеся гауссовому распределению Be^-aQ2, где Q — относительный угол отклонения. Найти средний коэффициент ослабления системы в расчете на один поляризатор для пучка света, прошедшего первый поляризатор. Предполагается, что а >> 1.
25122. Плоская монохроматическая волна падает на несовершенную линейную дифракционную решетку с N идентичными щелями. Несовершенство решетки обусловлено тем, что апертуры щелей независимо друг от друга колеблются в плоскости решетки. Среднее положение щелей соответствует идеальной линейной решетке с расстоянием между щелями d. Время фотографирования дифракционной картины очень велико по сравнению с периодами колебаний. Распределение вероятности для отклонения апертуры от ее среднего положения является гауссовым, причем среднеквадратическое отклонение одинаково для всех апертур. Показать, что распределение интенсивности (т. е. интенсивность как функция угла между направлением падения и направлением наблюдения) на фраунгоферовой дифракционной картине для такой решетки может быть представлено в виде l = фl0 + N (1 - ф)i0, где l0 — распределение интенсивности для идеальной решетки, образуемой щелями, когда они находятся в своих средних положениях, i0 — распределение интенсивности на дифракционной картине для одной щели. Выразить ф через среднеквадратическое отклонение.
25123. Свет с частотой f, излучаемый источником Р (рис. ), проходит через показанную на рисунке систему. По верхнему трубопроводу со скоростью u течет жидкость, имеющая показатель преломления n, а в нижнем трубопроводе та же жидкость покоится. Каково минимальное значение скорости u, при которой в точке Р` будет происходить деструктивная интерференция?
25124. Для того чтобы наблюдать Солнце в монохроматическом свете, французский астроном Лио изобрел двоякопреломляющий фильтр, состоящий из ряда двоякопреломляющих кристаллов С (рис. ). Каждый последующий кристалл в два раза толще предыдущего. На концах системы и между кристаллами установлены поляризующие пленки. Все кристаллы смонтированы так, что их оптические оси параллельны и составляют прямой угол с направлением распространения света. Оси поляризации пленок также параллельны друг другу и составляют угол 45° с направлением оптических осей кристаллов (рис. ). Через такую систему может пройти свет лишь в определенном интервале частот. Вычислить пропускание фильтра, состоящего из S элементов, для света с длиной волны L. Найти ширину dL полосы частот, которые могут пройти через фильтр, а также расстояние между такими полосами.
25125. Пусть квантовомеханические операторы В и С антикоммутируют {В, С}+ = ВС + СВ = 0 и пусть ф — собственное состояние обоих операторов В и С. Что можно сказать о соответствующих собственных значениях? Если В является оператором барионного числа, а С — зарядового сопряжения, то имеют место соотношения {В, С}+ = 0 и С2 = 1. Применить к этому случаю полученный результат.
25126. Три матрицы Мх, Му, Мz, каждая из которых состоит из 256 строк и столбцов, подчиняются коммутационным правилам [Мx, Му] = iMz (с циклической перестановкой х, у, z). Собственные значения одной матрицы, скажем Мх, равны ±2 (одно значение); ±3/2 (8 значений); ±1 (28 значений); ±1/2 (56 значений); 0 (70 значений). Определить 256 собственных значений матрицы М2 = M2x + M2y + M2z.
25127. Найти собственные значения матрицы Lik = [xi, [L2, xk] ]; L2 = [rp]2 (i, k = 1, 2, 3).
25128. При рассмотрении систем, способных испускать частицы с полуцелым спином, приходится иметь дело с оператором U, подчиняющимся коммутационным соотношениям [U, Jz] = 1/2U (1), [ [U, J2], J2] = 1/2(UJ2 + J2U) + 3U/16 (2), где J — момент количества движения испускающей системы. Найти из соотношений (1) и (2) правила отбора в матричном представлении, в котором Jz и J2 диагональны; собственные значения этих операторов равны соответственно m и j(j + 1). Другими словами, какие из матричных элементов < m` j` |U| mj > отличны от нуля? Указание. Использовать Xj = j(j + 1).
25129. Доказать, что все волновые функции, соответствующие максимальному собственному значению квадрата оператора полного спина системы из N электронов, симметричны по отношению к спиновым координатам отдельных электронов.
25130. Доказать правило сумм Томаса — Рейха — Куна E 2m|xn0|2/h2 (En - E0) = 1. Сумма берется по полному набору собственных состояний фn с энергией Еn частицы массой m, движущейся в потенциальном поле; ф0 — связанное состояние.
25131. Показать, что уравнения Максвелла в отсутствие источников поля могут быть представлены в дираковской форме рbSbF = i/c*d/dt F, (р — оператор импульса) введением вектора Крамерса F = Е + iH, F*= Е - iH и подходящим выбором матрицы S. Использовать это представление электромагнитного поля, чтобы показать, что спин фотона равен единице.
25132. Использовать правило квантования Бора — Зоммерфельда, чтобы вычислить допустимые энергетические уровни мяча, упруго подпрыгивающего в вертикальном направлении.
25133. Трехмерный изотропный гармонический осциллятор имеет собственные значения энергии hw(n + 3/2), где n = 0, 1, 2,... Какова степень вырождения квантового состояния n?
25134. Три материальные точки с одинаковой массой m движутся по кругу радиусом r. Взаимное расстояние между ними фиксировано и одинаково, так что они образуют равносторонний треугольник. Эти материальные точки подчиняются статистике Бозе и не имеют спина. Исследовать вращательные энергетические уровни системы.
25135. Вывести выражение для энергии диполь-дипольного магнитного взаимодействия между протоном и антипротоном, находящимся на фиксированном расстоянии а, в зависимости от полного спина системы, используя значение магнитного момента протона ц0. Энергия взаимодействия двух магнитных диполей определяется выражением V = 1/r3 [ц1ц2 - 3 (ц1r)(ц2r)/r2].
25136. Найти и классифицировать собственные значения гамильтониана Н = А [s1z + s2z] + Bs1s2, где s1, s2 — спиновые матрицы Паули соответственно для частиц 1 и 2 (принцип Паули во внимание не принимать).
25137. Система состоит из двух различных частиц со спинами 1/2. Спин-спиновое взаимодействие частиц определяется выражением Js1s2, где J — постоянная. К системе приложено внешнее магнитное поле Н. Магнитные моменты частиц соответственно равны аs1 и bs2. Найти точные собственные значения энергии этой системы.
25138. Внутри сферы радиусом R имеется электрон. Каково давление Р, оказываемое на поверхность сферы, если электрон находится а) в наинизшем s-состоянии? б) в наинизшем р-состоянии?
25139. Частица массой m движется в потенциальном поле V(r) = { -V0 для r < а, 0 для r > а. Найти наименьшее значение V0, при котором имеется связанное состояние с нулевой энергией и нулевым моментом количества движения.
25140. Для одномерного уравнения Шредингера с потенциалом V(x) = { m/2 w2x2 для x > 0, +oo для x < 0 найти собственные значения энергии.
25141. Электрон движется в вакууме под действием однородного магнитного поля В. Найти энергетические уровни. Показать, что для больших орбит магнитный поток через электронную орбиту квантуется. Спин электрона не учитывать. Показать также, что, зная энергетические уровни в нерелятивистском приближении, можно определить релятивистские поправки к этим уровням.
25142. Квантовомеханическая система, когда возмущений нет, может находиться в одном из двух состояний: 1 или 2 с энергиями соответственно Е1 и E2. Предположим, что на систему действует возмущение, не зависящее от времени, V = (0 V12 V21 0), причем V21 = V*12. Пусть в момент t = 0 система находится в состоянии 1. Определить амплитуды обоих состояний в любой последующий момент времени t.
25143. Использовать вариационный принцип для оценки энергии основного состояния частицы, находящейся в потенциальном поле V = { oo для x < 0, cx для x > 0. В качестве волновой функции взять функцию хе^-ах.
25144. Электрон с зарядом е и массой m может двигаться по окружности радиусом r. Движение его возмущено однородным электрическим полем F, направленным параллельно плоскости окружности. Найти возмущение энергетических уровней вплоть до членов порядка F2. Обратить внимание, в частности, на аномальное поведение первого возбужденного состояния.
25145. Если приложенное электрическое поле F в эффекте Штарка для основного состояния слабое, то энергетический уровень смещается на величину, пропорциональную квадрату напряженности приложенного поля F, т. е. dE = -(aF2)/2, где а — поляризуемость атома. Получить выражение для поляризуемости атома водорода в основном состоянии, используя теорию возмущений. Приблизительно оценить верхний и нижний пределы для поляризуемости, показав, что 4а3 < а < (16/3)а3, где а — радиус боровской орбиты.
25146. Две тождественные частицы со спином 1/2 подчиняются статистике Ферми. Они заключены в куб со стороной 10^-8 см. Между парой частиц действует потенциал притяжения 10^-3 эв, если расстояние между частицами меньше 10^-10 см. Используя нерелятивистскую теорию возмущений, вычислить энергию и волновую функцию основного состояния (массы тождественных частиц считать равными массе электрона).
25147. Пусть атом с одним 2р-электроном помещен в электрическое поле с ромбической симметрией. Потенциал поля равен V = Ах2 + By2 - (А + B)z2. Показать, что среднее значение Lz равно нулю. Спин электрона не учитывать. Предполагать, что V мал по сравнению с атомным потенциалом.
25148. Два идентичных плоских ротатора с координатами Q1, Q2 связаны так, что гамильтониан системы имеет вид H = А (p2Q1 + p2Q2) - В соs(Q1 - Q2), где А и В — положительные константы (заметим, что Qi + 2п эквивалентно Qi). Определить из уравнения Шредингера собственные значения энергии и собственные функции для В << Аh2 (учитывать лишь члены, линейные по B, остерегаться вырождений) и для В >> Аh2 (свести задачу к задаче об осцилляторе, малые колебания).
25149. Частица массой m движется в двухмерной потенциальной яме V(x, y) = { 0 для | х | и | у | < а, оо в остальной области. Определить средние значения операторов х, у для основного состояния, когда приложено малое возмущение V = F1x + F2y (F1 и F2 — константы). Учесть члены только в первом порядке по F1 и F2. Матричные элементы вычислять не надо, достаточно их выразить в интегральном виде и указать, какие из них отличны от нуля.
25150. Рассмотреть два идентичных линейных осциллятора с коэффициентами упругости k. Потенциал взаимодействия задан выражением H` = сх1х2, где х1 и х2 — осцилляторные переменные. а. Найти точные значения энергетических уровней. б. Считая, что с << k, определить в первом порядке теории возмущений два нижних возбужденных состояния. (Энергии уровней определить в первом порядке, а собственные функции — в нулевом порядке теории возмущений.)
25151. Гамильтониан двумерного осциллятора равен H = 1/2 (p2x + p2y) + 1/2 (1 + dху)(х2 + у2), где h = 1, а d << 1. Определить волновые функции для трех нижних уровней энергии в случае d =/= 0. Вычислить смещение этих уровней для d =/= 0 в первом порядке теории возмущений.
25152. В однородном магнитном поле, параллельном оси z, находится электрон. Измерения показали, что в момент времени t = 0 спин электрона был направлен по оси x. Провести квантовомеханический расчет вероятности того, что электрон в момент t > 0 будет в состоянии а) с Sx = 1/2; б) c Sx = -1/2; в) c Sz = 1/2.
25153. Тритий 3Н спонтанно распадается с излучением электрона, максимальная энергия которого примерно равна 17 кэв. Остаточным ядром является 3Не. Вычислить вероятность того, что единственный электрон этого иона остается в состоянии с главным квантовым числом 2. Отдачей ядра пренебречь. Атом трития до распада находился в основном состоянии.
25154. Атом с J = 1/2, mj = 1/2 находится в однородном магнитном поле. Поле мгновенно поворачивается на угол ф = 60°. Вычислить вероятность того, что сразу же после изменения направления поля атом окажется в одном из подсостояний с mj = ±1/2 относительно нового направления поля.
25155. Каково физическое обоснование правила отбора, согласно которому переход с излучением одного фотона из одного состояния с нулевым моментом количества движения в другое состояние с нулевым моментом количества движения запрещен? Имеется ли какая-либо другая возможность перехода 0 -- > 0 с излучением света? Какова физическая причина того, что радиационный переход, при котором необходимо большое изменение спина, происходит медленно?
25156. Показать, что сечение фотопоглощения атома с отрывом электрона с K-оболочки изменяется как Z5 при больших по сравнению с энергией связи K-электрона энергиях фотона. Использовать теорию возмущения. Отдачей можно пренебречь.
25157. Трехмерная прямоугольная яма имеет глубину V0 и радиус а. Частица с положительной энергией Е и массой m захватывается в состояние с орбитальным моментом L =/= 0. Пренебрегая орбитальным моментом внутри ямы, вычислить время жизни т частицы.
25158. Квантовомеханическая система находится в состоянии с орбитальным моментом L1 = 0. Система распадается с излучением электрического дипольного фотона, переходя в более низкое состояние с орбитальным моментом L2 = 1. Это состояние спустя некоторое короткое время, в свою очередь, распадается также с излучением электрического дипольного фотона, переходя в основное состояние системы с орбитальным моментом L3 = 0. Оба фотона регистрируются детекторами. Вычислить вероятность W того, что направления квантов образуют угол ф. Зависит ли результат от того, является система атомом или ядром? Указание. Использовать теорию возмущений во втором порядке.
25159. Проанализировать рассеяние частицы на простой кубической решетке с периодом d. Взаимодействие частицы с узлами решетки имеет вид V = - 2пah2/m E d(r - ri). Анализ провести в борцовском приближении. С помощью полученного результата показать, что рассеяние имеет место лишь тогда, когда выполняется условие Вульфа — Брэгга.
25160. Выражение J = h2/2mi [ф*vф - фvф*] определяет вероятность того, что через единичную поверхность, перпендикулярную к направлению J, в единицу времени пройдет одна частица. Пучок частиц с одинаковой скоростью v попадает в некоторую область, в которой часть частиц поглощается. Это поглощение можно описать введением в волновое уравнение постоянного комплексного потенциала Vr - iVi. Показать, что сечение поглощения на атом равно s = 2Vi/hNv, где N — число поглощающих атомов в единице объема.
25161. Частица рассеивается полностью поглощающей («черной») сферой, радиус которой больше длины волны де Бройля L/2п = 1/k. Какова зависимость параметров hl и dl амплитуды рассеяния f(Q) = 1/2ik E (2l + 1) (hl е^2id l - 1)Рl (cos Q) от l? Вычислить сечение упругого рассеяния, сечение поглощения и полное сечение.
25162. Вычислить дифференциальное и полное сечения рассеяния бесспиновой частицы с массой m, падающей на бесконечно тяжелую и бесконечно жесткую сферу радиусом а. Рассмотреть случай, когда частица движется достаточно медленно, чтобы можно было пренебречь сдвигом фазы D-волны. Ответ представить в виде полинома от ka и оставить лишь члены более низкого, чем а2(kа)^4 порядка. Можно воспользоваться следующим рекуррентным соотношением, справедливым как для регулярного, так и для нерегулярного решения: если Fl удовлетворяет уравнению F"l (x) + 2/x F`l(x) + Fl(x)[1 - l(l + 1)/x2] = 0, то Fl + 1(x) = -x^l d/dx [Fl(x) x^-l].
25163. Пучок бесспиновых частиц рассеивается на жесткой сфере радиусом а с потенциалом V = { оо для r < а, 0 для r > а. Для случая а << L найти полное сечение, если L = 1/k. Рассмотреть случай а >> L. Показать, что в направлении вперед различные парциальные волны дают когерентный вклад в амплитуду рассеяния f(Q), создавая тем самым дифракционную картину фраунгоферовского типа. Полезные формулы: Рn (cos Q) ~ J0 (nQ) для больших n и малых Q, d/dz [z^n+1 Jn + 1(z)] = z^n+1 Jn(z), f(Q) = 1/2ik E (2n + 1)(e^2id n - 1) Pn (cos Q).
25164. Определить связанные состояния для случая одномерного притягивающего потенциала в виде d-функции. Предполагается, что слева на яму падает поток частиц. Определить относительные интенсивности рассеянного и прошедшего пучков.
25165. Вывести следующие соотношения (уравнения Максвелла): (dT/dV)s = -(dP/dS)v, (dT/dP)s = (dV/dS)p, (dP/dT)v = (dS/dV)т, (dV/dT)p = -(dS/dP)т; (1) TdS = CvdT + T(dP/dT)v dV и (dU/dV)т = T(dP/dT)v - P. (2)
25166. Вычислить коэффициент Джоуля — Томсона (dU/dV)т для газа Ван дер Ваальса, для которого Р = RT/V - B - a/V2.
25167. Замечено, что в определенных фазовых переходах энтальпия Н или объем V не претерпевают скачкообразных изменений, в то время как их первые производные по температуре изменяются скачком. Вывести два термодинамических соотношения, которые заменяют собой уравнение Клапейрона — Клаузиуса. Фазы обозначить индексами 1 и 2.
25168. Для воды при T = 27°С 1/V (dV/dT)p = 0,00013 град^-1. Определить изменение температуры большой массы воды при Т = 27° С, если она течением перенесена на глубину 1 км.
25169. Рассмотреть диаграмму зависимости давления от объема для данной массы вещества, на которой приведено семейство адиабатических кривых. Показать, что ни одна пара кривых из этого семейства не может пересекаться.
25170. Один моль Н2O охлаждается от температуры 25°С до 0°С и замерзает. Все тепло, полученное охлаждающей машиной, работающей с максимальной теоретически допустимой эффективностью (энтропия не увеличивается), передается другому молю Н2O при 25°С, в результате чего его температура повышается до 100°С. а. Сколько молей Н2O переходит в пар при 100°С? Теплота испарения L` при 100°С равна 9730 кал/моль. Теплота плавления льда L при 0°С равна 1438 кал/моль. б. Какую работу должен произвести рефрижератор?
25171. Две колбы объемами V1 и V2 наполнены одинаковым идеальным газом, находящимся при одном давлении Р, но при различных температурах T1 и Т2. Число частиц N в обеих колбах одинаково. Определить изменение энтропии после того, как колбы соединены и система пришла в равновесие.
25172. Газонепроницаемый поршень с малой теплоемкостью скользит без трения внутри термически изолированного цилиндра. Объемы А и В (соответственно под и над поршнем) наполнены одинаковым количеством идеального одноатомного газа. Предположим, что в начальный момент температура газа в объеме А равна Т0, а в объеме В — 3Т0. Пусть система все время находится в состоянии механического равновесия и с течением времени она приходит в тепловое равновесие. Каково отношение объемов А и В в начальный момент и при t = оо? Как изменится энтропия системы в целом в расчете на один моль газа за время от t = 0 до t = oo? Какую полезную работу могла бы совершить система (при подходящем переходе) в расчете на один моль газа при условии, что передача тепла от одного объема к другому полностью обратима?
25173. Выразить изменение температуры свободно расширяющегося одноатомного газа через начальный и конечный объемы и константы уравнения Ван дер Ваальса для газа. Оценить приблизительно изменение энтропии и энтальпии.
25174. Один грамм воды, находящейся при температуре 20°С, выдавливается через изолированную пористую пробку под давлением 10^4 атм в большой сосуд, где давление равно 1 атм. Определить состояние, в котором находится вода, вытекающая из пробки. Плотность воды предполагается неизменной как при давлении 10^4 атм, так и при давлении 1 атм. Теплота испарения равна 540 кал/г.
25175. Колба наполнена газообразным гелием при температуре 10° К (выше критической точки) и термоизолирована. Газ может медленно вытекать через капиллярную трубку до тех пор, пока давление в колбе не станет равным 1 атм, а температура 4,2° К (точка кипения гелия). Предполагая, что газ идеальный, найти начальное давление газа в колбе Рi, если в конце процесса колба оказывается полностью наполненной жидким гелием. Удельная теплота испарения для Не при температуре 4,2° К равна 20 кал/моль. Для газообразного гелия Cv = 3 кал/(моль*град).
25176. Тонкий длинный металлический стержень колеблется с основной частотой продольных колебаний. В какой области частот колебания будут изотермическими? Модуль Юнга для материала, из которого изготовлен стержень, Е = 10^12 дин/см2, плотность р = 10 г/см3, удельная теплопроводность К = 1 кал/(см*град*сек) и удельная теплоемкость С = 0,1 кал/(г*град).
25177. Две колбы одинакового объема V соединены трубкой (рис. ) длиной L и малым поперечным сечением А (LA << V). Первоначально одна из колб наполнена смесью газов СО и N2 с парциальными давлениями соответственно Р0 и Р - P0, в то время как другая колба наполнена N2 при давлении Р. Коэффициент диффузии СО в N2 или N2 в СО равен D. Определить зависимость парциального давления СО в первой колбе от времени.
25178. Стальной шар радиусом 20 см равномерно нагревается до температуры 100°С, а затем температура поверхности шара поддерживается постоянной и равной 0°С. Определить температуру в центре шара спустя 15 мин после того, как началось охлаждение. Отношение удельной теплопроводности к удельной теплоемкости на единицу объема К/Ср = 0,185 в единицах СГС (р — плотность шара).
25179. Шар радиусом R погружен в бесконечно протяженную жидкость с температурой Т0. В начальный момент времени t = 0 температура шара Т1 > Т0 и поддерживается таковой в дальнейшем. Теплопроводность жидкости равна К, удельная теплоемкость С, плотность р. Выразить температуру в любой точке среды вне шара в момент времени t > 0 в виде определенного интеграла. Найти в явной форме предельное распределение температуры в среде при t -- > оо.
25180. Найти зависимость плотности электромагнитной энергии Е от температуры в резонаторе с идеально отражающими стенками, воспользовавшись термодинамическими соображениями.
25181. Шарообразный спутник радиусом r, окрашенный в черный цвет, вращается по круговой орбите вокруг Солнца. Расстояние между спутником и центром Солнца равно D (r << D). Солнце представляет собой шар радиусом R, излучающий подобно черному телу при температуре Т0 = 6000° К. Угол, под которым Солнце видно со спутника, составляет 2а = 32`. Какова равновесная температура спутника?
25182. Можно предположить, что свободная энергия F (функция Гельмгольца) ферромагнетика в отсутствие внешнего поля зависит от намагниченности следующим образом: F = F0 + a (T - Tк)M2 + bM4 (1), где Т — температура ферромагнетика, близкая к температуре Кюри Тк; а и b — положительные величины, почти не зависящие от температуры; F0 — свободная энергия в ненамагниченном состоянии, может приближенно рассматриваться как не зависящая от температуры. Вывести зависимость от температуры средней намагниченности М(Т), которая следует из уравнения (1), если флуктуациями пренебречь. Как влияют флуктуации на М(Т)? Определить также магнитную восприимчивость выше точки Кюри.
25183. Скорость звука v в парамагнитном газе изменяется под воздействием приложенного магнитного поля H. Вычислить [v(H) - v(0)]/v(0) в предположении, что намагниченность одного моля газа в низшем порядке по у равна М = yH/T. Удельную теплоемкость газа (для Н = 0) можно считать не зависящей от температуры.
25184. Согласно Мейсснеру, в сверхпроводнике B = 0. В нормальном состоянии намагниченность М пренебрежимо мала. При фиксированной температуре Т < Tк, если внешнее поле Н уменьшается до значения, меньшего критического значения Нк(Т) = H0[1 - (T/Tк)2], нормальное состояние (фаза 1 на рис. ) претерпевает фазовый переход в сверхпроводящее состояние (фаза 2). Показать, что эта точка зрения правильна. Для этого определить разность функций Гиббса (функция Гиббса при наличии магнитного поля определяется выражением G = U - TS - HМ) для нормального и сверхпроводящего состояний металла при Т < Tк, т. е. вычислить величину GH(T, Н) - Gc(T, H). Определить теплоту перехода L из нормального состояния в сверхпроводящее при Н = 0 и скачок удельной теплоемкости при таком переходе. Является ли этот фазовый переход переходом первого или второго рода?
25185. Определить, пользуясь термодинамическими принципами, давление пара Рr для капли жидкости с очень малым радиусом r, выразив его через давление пара Роo большой массы той же жидкости, для которой отношение поверхности к объему пренебрежимо мало. Указание. Для очень малых количеств вещества отношение поверхности к объему растет и, следовательно, поверхностные явления становятся доминирующими.
25186. В космическое пространство запущена ракета массой 1000 кг. В предположении, что все звездные тела в среднем имеют массу порядка 10^30 кг и движутся в среднем с произвольно направленной скоростью 10 км/сек, определить среднюю скорость ракеты спустя достаточно долгое время после запуска (вероятность падения ракеты на какую-либо звезду мала).
25187. Имеется газообразный водород при температуре Т (близкой к температуре жидкого азота) и давлении Р (примерно 1 см pт.ст.) с концентрацией ортоводорода х. Вывести уравнения а) для молярной удельной теплоемкости этого газа и б) для теплопроводности К этого газа. Кроме величин T, Р, х и фундаментальных констант выведенные выражения должны содержать только три параметра, характеризующих молекулу Н2: массу молекулы М, межатомное расстояние R и сечение столкновения s. Можно предположить, что при температуре жидкого азота число молекул, находящихся во вращательном состоянии (J > 2), пренебрежимо мало.
25188. Вычислить отношение теплопроводности газообразного гелия при давлении Р = 0,1 атм и температуре 300° К к его теплопроводности при давлении Р = 0,5 атм и той же температуре. Вычислить также отношение вязкостей при этих давлениях.
25189. Определить среднюю векторную скорость молекул газа, выходящих через малое отверстие в полости, поддерживаемой при температуре Т. Число частиц в единице объема полости равно N.
25190. Небольшое круглое отверстие радиусом а (радиус мал по сравнению со средней длиной свободного пробега молекул ртути) просверлено в стенке очень тонкостенного прямоугольного сосуда, содержащего пары ртути при температуре Т и очень низком давлении Р. На расстоянии h над отверстием параллельно стенке сосуда расположена металлическая собирающая пластина (рис. ), охлаждаемая до такой температуры, что попадающие на нее атомы ртути конденсируются. Вывести выражение для поверхностной плотности ртути на собирающей пластине в момент времени t как функцию полярного угла Q между нормалью к плоскости отверстия и радиусом-вектором точки на собирающей пластине.
25191. Сколькими различными маршрутами можно пройти от пункта А к пункту В, расположенному на m кварталов восточнее и на n кварталов севернее пункта А (рис. ), если никогда не идти в направлении, противоположном направлению к пункту B?
25192. Согласно закону Стефана — Больцмана, энергия излучения полости (черного тела) зависит от температуры Т как TK, где К = 4. Заменить обычную трехмерную полость N-мерной (N — целое). Получить показатель степени К в зависимости энергии от температуры для фотонного газа, заключенного в N-мерную полость.
25193. Если предположить, что Солнце подобно черному телу с диаметром 10^6 км и температурой 6000° К, то какова будет мощность микроволнового излучения с длиной волны 3 см при ширине полосы 1 Мгц.
25194. Три частицы со спином 1/2 расположены по углам равностороннего треугольника. Гамильтониан спин-спинового взаимодействия трех частиц определяется выражением Н = L/3 (s1s2 + s1s3 + s2s3). Составить систему энергетических уровней для такой системы с указанием значений полного спина и степени вырождения. Определить функцию распределения Z.
25195. В объеме V имеется газ, находящийся при температуре Т. Он состоит из N различных частиц с массой покоя, равной нулю; энергия и импульс частицы связаны соотношением Е = рс. Число одночастичных энергетических состояний в интервале импульсов (р, р + dp) равно 4пVp2dp/h3. Вывести уравнение состояния и найти внутреннюю энергию газа. Сравнить результат с соответствующими параметрами для обычного газа.
25196. Слабовзаимодействующие бесспиновые идентичные частицы (масса каждой частицы равна массе электрона) подчиняются классической статистике. Частицы заключены в куб со стороной, равной 10^-6 см. Каждая из частиц испытывает потенциальное взаимодействие двух типов с кубом. Первый тип взаимодействия характеризуется притяжением и приводит к связанному состоянию с энергией — 1 эв, локализованному вблизи центра куба. Второй тип взаимодействия — это сильное отталкивание, которое препятствует выходу частиц через стенки. Определить температуру, при которой давление в кубе равно 1 атм.Число частиц равно 10^10.
25197. Металлическая поверхность нагрета до температуры 800°С. Сталкиваясь с нею, атомы натрия испаряются и с вероятностью 0,99 ионизируются. Атомы же хлора при столкновении с той же поверхностью превращаются в отрицательные ионы лишь с вероятностью 10^-6. Потенциал ионизации Na равен ф = 5,1 эв. Определить электронное сродство хлора.
25198. Атомы гелия могут адсорбироваться поверхностью металла, работа выхода из которой для атома гелия равна ф. Движение атомов гелия по двухмерной поверхности металла происходит совершенно свободно, без взаимодействия. Сколько атомов гелия в среднем адсорбируется единицей площади поверхности металла, если такую поверхность привести в контакт с газообразным гелием, находящимся при давлении Р? Равновесная температура для всей системы в целом равна T. Ответ должен быть выражен через приведенные в задаче величины и фундаментальные константы.
25199. LC-контур используется в качестве термометра. При этом измеряется возникающее в цепи шумовое напряжение на индуктивности и емкости, включенных параллельно. Вывести соотношение, связывающее среднеквадратичное значение шумового напряжения с абсолютной температурой T.
25200. Твердое тело состоит из N не взаимодействующих между собой ядер со спином 1. Каждое ядро, следовательно, может находиться в одном из трех квантовых состояний, характеризуемых квантовым числом m (m = 0, ±1). Вследствие электрического взаимодействия с внутренними полями, имеющимися в твердом теле, состояния с m = ±1 вырождены, т. е. имеют энергию е > 0, в то время как энергия состояния с m = 0 равна нулю. Вывести выражение для энтропии N ядер как функцию температуры Т и выражение для теплоемкости в пределе e/КТ << 1.
25201. Рассмотреть систему трехмерных ротаторов (с двумя степенями свободы, но без поступательного движения), находящихся в тепловом равновесии в соответствии со статистикой Больцмана. Учесть квантование энергии. Вычислить свободную энергию, энтропию, энергию и теплоемкость (приходящуюся на один ротатор) для случая высокой температуры. Использовать в расчетах аппроксимационную формулу Эйлера: E f(J + 1/2) = int f(x) dx + 1/24 [f`(0) - f`(oo)] +....
25202. Средняя энергия системы, находящейся в тепловом равновесии, равна < E >. Доказать, что среднеквадратичное отклонение энергии от < E >, < (E - < E >)2 > дается выражением < (E - < E >)2 > = kT2Cv, где Cv — теплоемкость системы в целом при постоянном объеме. Используя полученный результат, показать, что энергию макроскопической системы обычно можно считать постоянной, если система находится в тепловом равновесии.
25203. Ансамбль из N частиц со спином 1/2 выстроен по прямой линии. Взаимодействуют лишь соседние частицы. Это взаимодействие равно J, если спины соседних частиц параллельны, и -J, если антипараллельны. (На языке квантовой механики это означает, что энергия взаимодействия двух соседних частиц i и j равна J siz sjz). Определить функцию распределения Z ансамбля, находящегося при температуре Т.