Решение задач по физике. Онлайн-база готовых решений.
Поиск по задачам:
Вход на сайт
23404. На основании теоремы Гаусса - Остроградского, соображений симметрии и принципа суперпозиции найти скалярный потенциал ф и вектор напряженности электрического поля Е следующих систем зарядов в вакууме: 1) точечный заряд q; 2) заряд, распределенный с постоянной объемной плотностью р: а) по шару радиуса а; б) по бесконечному круговому цилиндру радиуса а; 3) бесконечная прямая нить с погонной плотностью заряда к; 4) заряд, распределенный с постоянной поверхностной плотностью W: а) по сферической поверхности радиуса а; б) по поверхности бесконечного кругового цилиндра радиуса а; в) по бесконечной плоскости; 5) точечный диполь с вектором дипольного момента р; 6) двумерный диполь (нить, поляризованная в поперечном направлении с вектором погонной плотности дипольного момента рl).
23405. Найти форму силовых линий электрического поля, создаваемого: а) точечным диполем, б) двумерным диполем (нить, поляризованная в поперечном направлении с вектором погонной плотности дипольного момента рl).
23406. Какими источниками создаются в пустоте следующие одномерные распределения потенциала ф(х)? (х - декартова координата, С и а — константы): 1) ф = С|х|; 2) ф = С ехр(-а|х|); 3) ф = Cth (ах); 4) ф = 0 при х < 0 и х > x2, ф = Сх при 0 < х < х1, ф = Сx1 при x1 < x < x2. Построить качественно графики зависимости потенциала ф, проекции поля Ех и объемной плотности заряда р от х.
23407. Какими источниками создаются в пустоте следующие двумерные распределения потенциала ф? (x, у — декартовы координаты, r = (х2 + у2)^1/2, tg Q = у/х; С, a, b — константы) 1) ф = С(х2 - у2) при |х2 - у2| < а2, ф = Са2 при х2 - у2 > а2, ф = -Са2 при у2 - х2 > а2; 2) ф(r) = 0 при r > b, ф(r) = С In (r/b) при а < r < b, ф(r) = С In (a/b) при r < а; 3) ф(r, Q) = Cr^-1 cos Q; 4) ф(r, Q) = Cr cos Q при r < а, ф(r, Q) = Са2r^-1 cos Q при r > а. Для каждого случая найти электрическое поле Е и нарисовать картину его силовых линий.
23408. Какими источниками создаются в пустоте следующие трехмерные распределения потенциала ф(r, Q)? (r - модуль радиуса-вектора, Q - полярный угол, образуемый радиусом-вектором с осью z; С, С1, С2, а — константы) 1) ф = Сr^-1 ехр (-аr); 2) ф = Cr^-2 cos Q; 3) ф = C1r2 при r < а, ф = С2r^-1 при r > а.
23409. Заряд распределен равномерно с постоянной поверхностной плотностью W по плоскостям х = 0 и у = 0. Найти создаваемое им электрическое поле. Нарисовать картину силовых линий.
23410. Заряд распределен равномерно с постоянной поверхностной плотностью W по плоскостям х = 0 и у = 0. Найти создаваемое им электрическое поле. Нарисовать картину силовых линий. Решить задачу для случая, когда поверхностные заряды на плоскостях одинаковы по абсолютной величине и противоположны по знаку.
23411. Найти электрическое поле внутри свободной от зарядов сферической полости, вырезанной в шаре, заряженном с постоянной объемной плотностью р. Радиус шара а, радиус полости b, расстояние между центрами шара и полости d (d + b < а).
23412. Заряд распределен равномерно с поверхностной плотностью W по сфере радиуса а, исключая малую круглую площадку на ней радиуса b << а, где W = 0. Найти электрическое поле вдали от этой площадки внутри и вне сферы.
23413. Заряд распределен равномерно с поверхностной плотностью W по сфере радиуса а, исключая малую круглую площадку на ней радиуса b << а, где W = 0. Найти электрическое поле вдали от этой площадки внутри и вне сферы. Решить задачу, заменив поверхностный заряд дипольным (двойным) слоем.
23414. Распределение потенциала в пустоте является осесимметричным. Задана функция ф = ф(z) на оси симметрии z. Найти потенциал ф(r, z) при малых смещениях r от оси.
23415. В области, свободной от источников, потенциал задан в виде ф(x, у) = f(x) cos ky. Найти вид функции f(x).
23416. В области, свободной от источников, потенциал задан в виде ф(r, Q) = f(r) cos nQ (r, Q — цилиндрические координаты, n — целое число). Найти вид функции f(r).
23417. На плоскости х = 0 вектор электрического поля Е имеет единственную компоненту Ех = f(у, z). Найти компоненты Еу и Ez при малых значениях х.
23418. Доказать, что в однородной среде внутри области, свободной от источников, а) потенциал ф не имеет экстремумов; б) квадрат напряженности поля E2 не имеет максимумов.
23419. Получить выражение для поля произвольного сферически симметричного распределения заряда (объемная плотность р = р(r)).
23420. Два точечных заряда q1 и q2 имеют разные знаки, причем q1 > 0, q2 < 0 и q1 > |q2|. Какой угол а с прямой АВ, соединяющей заряды (рис. ), образует касательная к силовой линии в точке ее выхода из заряда q1, если эта силовая линия а) уходит на бесконечность под углом b к прямой АВ, б) кончается на заряде q2, где касательная к ней наклонена к АВ под углом b?
23421. Заряд q распределен равномерно по длине окружности радиуса а, лежащей на плоскости х, у. Центр окружности совпадает с началом координат. Найти потенциал ф(z) и электрическое поле Ez(z) на оси z. В какой точке на оси поле имеет максимум? Определить численные значения ф и Ez соответственно в вольтах и вольтах на сантиметр в этой точке при а = 2 см, q = 10^-8 Кл.
23422. Найти выражение для потенциала ф(z) в предыдущей задаче, если линейная плотность заряда к на окружности является функцией полярного угла Q: (С = const; n = 1, 2, 3,...) 1) к = C sin nQ; 2)к = СQ, где 0 < Q < 2п.
23423. На кривой, заданной в плоскости х, у уравнением r = r0 еQ (r, Q — полярные координаты), распределен заряд с линейной плотностью к = к0 еQ при Q1 < Q < Q2, к = 0 при Q < Q1 и Q > Q2. Найти потенциал ф(z) на оси z.
23424. Винтовая линия задана в цилиндрических координатах r, ф, z уравнениями r = a, z = bQ. На интервале z1 < z < z2 по линии равномерно распределен заряд с линейной плотностью к. Найти потенциал ф(z) на оси z.
23425. Заряд q равномерно распределен по прямолинейному отрезку длины 2l. Найти потенциал ф во всем пространстве, выразив его как функцию расстояний точки до концов отрезка r1 и r2. Показать, что поверхности ф = const представляют собой эллипсоиды вращения с фокусами на концах отрезка.
23426. Полубесконечная дипольная нить с линейной плотностью дипольного момента рl = x0pl (x0 — единичный вектор по оси х) совмещена с отрицательной полуосью z. Найти потенциал ф(x, у, z) и исследовать его поведение при приближении к оси z в областях z < 0 и z > 0.
23427. Поверхностный заряд распределен равномерно с плотностью W по площади круга радиуса а, лежащего в плоскости х, у. Центр круга совпадает с началом координат. Найти потенциал и электрическое поле (а) на оси z; (б) на граничной окружности.
23428. Заряд q распределен с постоянной поверхностной плотностью по поверхности полусферы радиуса а, лежащей в области z > 0 декартовой системы координат. Граничная окружность полусферы лежит в плоскости z = 0, центр этой окружности совпадает с началом координат. 1) Найти потенциал ф во всех точках плоскости z = 0, выразив его как функцию расстояния r до начала координат. 2) Как ориентирован вектор электрического поля в плоскости z = 0 при r < а? 3) Найти потенциал ф(z) на оси z. 4) Найти приближенно потенциал ф(r) на больших расстояниях от полусферы (|r| >> а) в присутствии дополнительного точечного заряда противоположного знака (-q), расположенного в начале координат.
23429. Поверхность вращения задана в цилиндрических координатах r, z уравнением r = f(z). На участке z1 < z < z2 поверхность заряжена с поверхностной плотностью заряда W = Cr^-1 [1 + (df/dz)2]^-1/2, где C = const. Найти потенциал на оси z.
23430. Поверхностный заряд распределен равномерно по площадке прямоугольной формы. Как ведут себя потенциал и напряженность электрического поля при приближении к краю площадки?
23431. Известно, что плотность поверхностного заряда и напряженность электрического поля неограниченно возрастают при приближении к ребру или острию на поверхности проводника. Будет ли электрическое поле иметь особенность на поверхности той же формы, если поверхностный заряд распределить по ней равномерно?
23432. Заряд распределен по поверхности сферы радиуса а с поверхностной плотностью W, являющейся произвольной функцией координат точки на поверхности. Доказать, что радиальная компонента напряженности электрического поля Er(Q) и потенциал ф(Q) в тех точках Q поверхности сферы, где W = 0, связаны соотношением Еr = ф/2а.
23433. Найти дипольный момент системы зарядов, распределенных по поверхности сферы радиуса а с плотностью W = W0 cos Q (Q — сферический полярный угол).
23434. В центр прямолинейного отрезка длины 2l, заряженного с линейной плотностью к, помещен точечный заряд q = -2кl. Найти тензор квадрупольного момента Dik данной системы и потенциал ф на больших расстояниях.
23435. То же для случая точечного заряда q, помещенного в центр круга радиуса а, равномерно заряженного с поверхностной плотностью W = -q/(пa2).
23436. Шесть одинаковых по абсолютной величине точечных зарядов расположены в вершинах правильного шестиугольника. Знаки любых двух соседних зарядов противоположны. Мультиполь какого порядка образует данная система? По какому закону убывает ее потенциал на больших расстояниях r от центра?
23437. Какую форму должно иметь тело, равномерно заряженное по объему, чтобы при фиксированных значениях объема V и плотности заряда р напряженность электрического поля достигала (в какой-то точке) наибольшего возможного значения? Чему равно это наибольшее значение?
23438. Как распределяется заряд по бесконечно тонкому металлическому проводу произвольной формы (радиус провода одинаков по всей длине и стремится к нулю)? Одинаковы ли значения линейной плотности заряда на участках провода, имеющих различную кривизну?
23439. Доказать, что разность поверхностных плотностей заряда с разных сторон заряженной металлической поверхности, представляющей собой часть сферы, в отсутствие внешних источников одинакова во всех точках.
23440. Найти поток вектора напряженности электрического поля через малое отверстие в заряженной проводящей сфере; заряд сферы q, радиус сферы а, площадь отверстия s << a2.
23441. Найти распределение поверхностной плотности заряда W по бесконечной плоской поверхности проводника, на расстоянии I от которой находится точечный заряд q. Определить численное значение W в единицах Кл/м2 при q = 10^-9 Кл, I = 3 см на расстоянии 2 см от проекции заряда на плоскость.
23442. Найти электрическое поле, создаваемое внутри металлического прямого двугранного угла поверхностным зарядом, равномерно распределенным с плотностью W в плоскости, делящей двугранный угол пополам.
23443. Над бесконечной плоской границей проводника расположены на одинаковой высоте h два одинаковых металлических шарика, на которые помещены заряды q и -q. Радиусы шариков а много меньше высоты h и расстояния между их центрами l. Найти разность потенциалов между шариками.
23444. В пространстве между двумя параллельными бесконечными металлическими плоскостями х = 0 и х = L распределен заряд с объемной плотностью р = р0 sin (пх/L). Найти потенциал и электрическое поле между плоскостями.
23445. Точечный заряд q расположен на расстоянии b от центра О заземленного проводящего шара радиуса а < b. Показать, что поле этой системы совпадает (вне шара) с полем данного заряда и заряда q` = -qa/b, помещенного в «инверсную» точку, лежащую на прямой Oq на расстоянии b` = а2/b от центра шара.
23446. Найти силу, действующую на точечный заряд q, расположенный внутри сферической полости в проводнике. Радиус полости а, расстояние от заряда до ее центра b.
23447. Найти систему изображений для точечного диполя с моментом р, расположенного на расстоянии b от центра изолированного проводящего шара радиуса а и ориентированного а) вдоль направления на центр шара; б) перпендикулярно этому направлению.
23448. Центр изолированной проводящей сферы радиуса а лежит в начале координат. Полный заряд сферы равен нулю. Плоскость z = 0 вне сферы заряжена с постоянной поверхностной плотностью W. Найти потенциал и напряженность поля на оси z вне сферы.
23449. Найти положение равновесия точечного заряда внутри полусферической полости в проводнике.
23450. Найти систему изображений для точечного заряда, расположенного над бесконечной проводящей плоскостью с полусферическим выступом.
23451. Решить методом изображений задачу о поле точечного заряда q над плоской границей раздела двух сред с различными диэлектрическими проницаемостями е1 и e2.
23452. С помощью теоремы взаимности найти потенциал изолированного незаряженного проводящего шара радиуса а, на расстоянии b от центра которого расположен точечный заряд q.
23453. Найти заряд qi, индуцированный на заземленном проводящем шаре радиуса а точечным зарядом q, расположенным на расстоянии b от его центра.
23454. Плоский конденсатор емкости С образован двумя одинаковыми параллельными пластинами, расстояние между которыми d много меньше их размеров. Заряд каждой пластины равен нулю. Найти разность потенциалов между пластинами U, созданную точечным зарядом q, в следующих случаях. 1) Заряд находится внутри конденсатора вдали от его краев на расстоянии I от одной из пластин. 2) Заряд находится вне конденсатора на малой высоте над одной из пластин и на большом расстоянии от ее краев. 3) Заряд находится вне конденсатора на большом (по сравнению с размерами пластин) расстоянии R от некоторой точки О внутри него. Направление из точки О на заряд образует угол Q с нормалью к пластинам.
23455. Чему равна разность потенциалов U между двумя зеркально симметричными проводниками произвольной формы, образующими конденсатор емкости С, если на один из них помещен заряд q, а другой не заряжен?
23456. Найти силу тока, текущего по проводу, соединяющему пластины плоского конденсатора, если внутри него перпендикулярно пластинам движется со скоростью v, много меньшей скорости света с, точечный заряд q. Расстояние между пластиинами равно d.
23457. Найти потенциал ф(х, у) в пространстве между двумя бесконечными параллельными плоскостями х = 0 и х = L, если на первой из них ф = 0, а на второй 1) ф = ф0 sin ky; 2) ф = ф0|sin ky| (ф0 и k - константы).
23458. Проводящая цилиндрическая поверхность радиуса а разделена бесконечно тонким разрезом вдоль образующей на две одинаковые половины, имеющие потенциалы +U и -U. Найти распределение потенциала ф: а) внутри цилиндрической поверхности; б) вне ее.
23459. Найти потенциал ф(r, Q) внутри бесконечной цилиндрической полости радиуса а в проводнике, если на цилиндрической поверхности радиуса r = b < а, соосной с границей полости, задана: а) плотность поверхностного заряда W = W0 cos nQ; б) мощность двойного (дипольного) слоя pd = p0 cos nQ (r, Q — цилиндрические координаты, n = 1, 2, 3,...).
23460. Между двумя параллельными бесконечными металлическими плоскостями х = 0 и х = L распределен в плоскости z = 0 поверхностный заряд с плотностью W = W0 sin (пх/L). Найти потенциал ф(x, z).
23461. В поперечном сечении z = 0 бесконечной прямоугольной металлической трубы распределен поверхностный заряд с плотностью W = W0 sin(пx/a) sin(пy/b) (а и b — внутренние размеры поперечного сечения трубы, х и у — декартовы координаты в поперечном сечении, отсчитываемые от вершины прямоугольника вдоль его сторон). Найти потенциал ф(х, у, z).
23462. Точечный заряд q помещен внутрь бесконечной прямоугольной металлической трубы с внутренними размерами поперечного сечения а и b. По какому закону убывают потенциал и напряженность поля вдоль трубы на больших расстояниях от заряда? Каково поперечное распределение потенциала на больших расстояниях?
23463. Внутри бесконечной металлической трубы с заданной произвольной формой поперечного сечения в конечной области распределен заряд с заданной объемной плотностью p(r, z) (r — поперечный радиус-вектор, z — продольная координата). Найти потенциал ф(r, z) вне области заряда, считая известной систему собственных функций фn(r) и собственных значений кn задачи о колебаниях плоской упругой мембраны с закрепленной границей, совпадающей с границей внутренней области поперечного сечения трубы.
23464. Двугранный угол Q0 образован двумя заряженными металлическими полуплоскостями, имеющими одинаковый потенциал ф = 0. Получить и исследовать выражения для потенциала и поля во внутренней и внешней областях угла, которые при Q0 = п переходят в соответствующие выражения для равномерно заряженной плоскости.
23465. Два беcконечных проводящих конуса имеют общую ось (z), общую вершину (О) и одинаковые углы раствора 2а (уравнения их поверхностей в сферической системе координат r, Q, ф имеют вид Q = а и Q = п - а). Найти потенциал и электрическое поле в пространстве между конусами (0 < r < оо, а < Q < п - а), если разность потенциалов между ними равна V (электрический контакт между конусами отсутствует).
23466. Найти разность потенциалов U = ф1 - ф2 между двумя незаряженными проводящими концентрическими сферами, создаваемую точечным зарядом q, расположенным на расстоянии b от центра. Радиусы сфер r1 и r2. Рассмотреть случаи: 1) b < r1 < r2; 2) r1 < b < r2; 3) r1 < r2 < b. Вычислить U (в вольтах) при q = 10^-8 Кл, r1 = 2 см, r2 = 4 см, b = 3 см.
23467. Точечный заряд q находится на расстоянии r от центра О сферической диэлектрической оболочки с проницаемостью е; внутренний и внешний радиусы оболочки — а и b. Найти потенциал ф(O) в центре оболочки. Рассмотреть три случая: 1) r > b, 2) а < r < b, 3) r < а.
23468. Найти диэлектрическую проницаемость среды e, рассматривая в качестве модели ее молекул проводящие шарики радиуса а, число которых в единице объема N << а^-3.
23469. Искусственный диэлектрик набран из металлических шариков радиуса а, соединеных попарно прямолинейными отрезками тонкой проволоки. Все отрезки имеют одинаковую длину I и ориентированы параллельно одной прямой М. Число шариков в единице объема N. Полагая выполненными условия N^-1/3 >> l >> а, найти продольную (e) и поперечную (е) диэлектрические проницаемости такой среды, определяющие соответственно ее поляризуемости в направлениях, параллельном и перпендикулярном прямой М.
23470. Найти распределение плотности заряда W на заряженной поверхности проводника, представляющей собой бесконечную плоскость с полусферическим выступом. Радиус полусферы а; значение W вдали от выступа W0.
23471. Найти распределение плотности заряда W по поверхности проводящей сферы радиуса а, внесенной во внешнее однородное поле E0.
23472. Найти возмущения, которые вносит во внешнее однородное поле E0 проводящая сфера, покрытая сферической оболочкой из диэлектрика с проницаемостью е. Радиус сферы и внутренний радиус оболочки а, внешний радиус оболочки b.
23473. Доказать, что проводящий шар приобретает в поле произвольного распределения внешних зарядов такой же дипольный момент, как и в однородном внешнем поле Е0, равном полю данной системы зарядов в центре шара в его отсутствие.
23474. Доказать, что диэлектрический шар приобретает в поле произвольного распределения внешних зарядов такой же дипольный момент, как и в однородном внешнем поле Е0, равном полю данной системы зарядов в центре шара в его отсутствие.
23475. На бесконечной плоской поверхности проводника лежит, соприкасаясь с ней плоскостью основания, диэлектрический полушар радиуса а с проницаемостью е. На оси симметрии данной системы, на расстоянии b >> а от центра шара расположен точечный заряд q. Найти электрическое поле во всем пространстве над проводником.
23476. Найти дипольный момент, приобретаемый в однородном внешнем поле Е следующими диэлектрическими телами (диэлектрическая проницаемость тел е, в окружающей среде е = 1): 1) Тонкий стержень длины I и радиуса а, ориентированный под углом Q к полю Е, 2) Тонкий диск радиуса а и толщины d, образующий своей плоскостью угол Q с полем Е, 3) Тонкая сферическая оболочка радиуса а и толщины d. Какими конкретными условиями имеет смысл определить в каждом случае понятие «тонкий»? Входят ли в эти условия значения е?
23477. Два точечных заряда +q и -q расположены на полюсах шара радиуса а с диэлектрической проницаемостью е. Найти электрический потенциал на больших расстояниях r >> а от центра шара.
23478. Плоский конденсатор образован двумя одинаковыми прямоугольными пластинами с размерами а и b и расстоянием между ними d. Пространство между пластинами заполнено неоднородным диэлектриком. Найти емкость конденсатора, пренебрегая краевым эффектом, для случаев, когда зависимость диэлектрической проницаемости е от координат задана в виде: 1) е = е(х); 2) е = е(у); 3) е = е1(х)е2(у); (ось х параллельна одной из сторон пластин, ось у перпендикулярна пластинам).
23479. Найти емкость сферического конденсатора, образованного концентрическими сферами радиусов а и b. Пространство между сферами заполнено неоднородным диэлектриком с проницаемостью: 1) е = е(r); 2) е = е(Q); 3) е = е1(r)е2(Q) (r, Q — сферические координаты).
23480. Получить выражение для электрического поля Е, создаваемого точечным зарядом q, лежащим в начале сферической системы координат r, Q, ф, если диэлектрическая проницаемость среды задана в виде: 1) е = е(r); 2) е = е(Q); 3) е = e(Q, ф); 4) е = e1(r)e2(Q, ф).
23481. Найти электрическое поле Е, создаваемое точечным зарядом, расположенным в общей вершине N непересекающихся диэлектрических конусов с углами раствора аi и проницаемостями ei (i = 1, 2,..., N). Вне конусов е = 1.
23482. Центр металлического шара радиуса а лежит на плоской границе раздела двух диэлектрических сред с проницаемостями е1 и e2. На расстоянии b от центра шара в среде с проницаемостью е1 находится точечный заряд q. Найти: 1) потенциал шара ф0, если шар изолирован и не заряжен; 2) заряд q0, индуцированный на шаре, если он заземлен.
23483. Исследовать поведение потенциала и электрического поля вблизи ребра диэлектрического клина, грани которого образуют между собой угол 2а < п, диэлектрическая проницаемость клина равна е; в пространстве вне его е = 1. Найти решения, которые после выполнения предельного перехода а -- > п (т.е. при развертывании клина в полупространство) описывают поле: а) с однородным вектором электрической индукции D, перпендикулярным плоской границе диэлектрика; б) с однородным вектором напряженности Е, параллельным этой границе.
23484. В центре тонкого диэлектрического кольца радиуса а с проницаемостью е лежит точечный заряд q. Поперечное сечение кольца представляет собой круг радиуса b << а. Найти потенциал ф на оси кольца.
23485. Тело произвольной формы, имеющее объем V и диэлектрическую проницаемость e, мало отличающуюся от единицы (е - 1 << 1), вносится в однородное электрическое поле Е. В окружающей среде е = 1. Найти возмущения поля на больших расстояниях r от тела.
23486. Точечный заряд q лежит в центре основания диэлектрического полушара радиуса а с проницаемостью е, мало отличающейся от проницаемости окружающего свободного пространства (е - 1 << 1). Найти дипольный момент полушара р.
23487. Получить граничное условие для нормальной компоненты плотности тока jn.
23488. Через границу раздела сред с различными значениями проводимости (s1, s2) и диэлектрической проницаемости (e1, e2) течет ток с нормальной компонентой плотности jn. Найти плотность поверхностного заряда W на границе.
23489. Найти сопротивление R между обкладками конденсатора произвольной формы, заполненного однородной средой с проводимостью s, если известна емкость С того же конденсатора, заполненного средой с диэлектрической проницаемостью е.
23490. Идеальный сферический электрод радиуса а погружен наполовину в электролит с проводимостью s. Найти сопротивление электролита между электродом и бесконечностью R и распределение плотности тока в нем j. Вычислить R (в омах) при а = 3 см, s = 10^2 (Ом*м)^-1.
23491. 3.5 Решить предыдущую задачу для случая, когда тот же электрод погружен в электролит на глубину h >> а. В решении должны быть сохранены члены порядка а/h. 3.4 Идеальный сферический электрод радиуса а погружен наполовину в электролит с проводимостью s. Найти сопротивление электролита между электродом и бесконечностью R и распределение плотности тока в нем j. Вычислить R (в омах) при а = 3 см, s = 10^2 (Ом*м)^-1.
23492. Концы двух тонких проволочек касаются горизонтальной поверхности электролита, налитого в широкий и глубокий сосуд. Между ними пропущен ток силы l. Найти плотность тока j в электролите.
23493. В электролит с проводимостью s погружены два идеальных электрода, представляющих собой одинаковые шары радиуса а. Глубины погружения шаров h1, h2 и расстояние между ними I много больше а. Найти сопротивление между электродами R, сохраняя в решении члены порядка a/h, а/l.
23494. В электролит с проводимостью s погружены два идеальных электрода, один из электродов представляет собой бесконечную пластину, перпендикулярную поверхности электролита, а другой — шар, радиус которого а мал по сравнению с глубиной его погружения h, и с расстоянием до пластины l. Найти сопротивление между электродами R, сохраняя в решении члены порядка a/h, а/l.
23495. Проводник представляет собой бесконечный клин с углом между гранями а = п/n, где n — целое число. Указать систему изображений для точечного источника тока l, расположенного внутри клина на равных расстояниях h от его граней. Найти плотность тока j на расстояниях от источника r, значительно превышающих его расстояние до ребра клина.
23496. В металлический сосуд, представляющий собой полусферическую чашу радиуса а налит до краев электролит, проводимость s которого много меньше проводимости стенок сосуда. На расстоянии b от центра поверхности электролита ее касается конец тонкой проволочки. Между проволочкой и чашей пропущен ток силы l. Найти электрическое поле в электролите.
23497. Проводник с конечной проводимостью s представляет собой часть конуса, вырезанную из него двумя сферами с центром в его вершине. Радиусы сфер r1 и r2, угол при вершине конуса 2Q. На сферические поверхности проводника нанесены идеально проводящие покрытия, между которыми поддерживается постоянная разность потенциалов U. Найти распределение плотности тока j в проводнике и его сопротивление R.
23498. Постоянный электрический ток течет в направлении оси х вдоль бесконечного плоского слоя, ограниченного плоскостями у = ± L. Плотность тока в слое j всюду одинакова, а проводимость s изменяется вдоль х по закону s = s0(1 + a cos kx)^-1, где a < 1. Вне слоя s = 0. Найти электрическое поле Е внутри и вне слоя.
23499. Проводимость s задана в декартовой системе координат следующим образом (рис. ): s = 0 при |х| > а; s = s0 = const при |х| < а и |y| < b; s = оо при |х| < а и |у| > b. Между двумя областями с s = оо поддерживается постоянная разность потенциалов U. Найти: а) потенциал и плотность тока в области с конечной проводимостью; б) потенциал в области s = 0.
23500. В стенке проводящей трубы сделан по всей ее длине тонкий продольный разрез. На обе плоскости среза нанесены идеально проводящие покрытия, между которыми поддерживается постоянная разность потенциалов U. Внутренний и внешний радиусы трубы а и b, проводимость s. Считая трубу бесконечно длинной, а разрез бесконечно тонким, найти: а) потенциал ф и плотность тока j в стенке; б) сопротивление R на единицу длины трубы; в) потенциал ф в области внутри трубы; г) потенциал ф в области вне трубы.
23501. Полубесконечный коаксиальный кабель образован металлической трубой с внутренним радиусом b, введенным внутрь нее металлическим стержнем радиуса а < b и разделяющим их цилиндрическим слоем неидеального изолятора толщины b - а с проводимостью s, много меньшей проводимости металла. Наружный и внутренний проводники имеют равные сопротивления на единицу длины р. На входе кабеля между проводниками поддерживается постоянное напряжение U0, создающее в них равные и противоположно направленные (но не одинаковые в различных поперечных сечениях) токи. Найти: а) погонную проводимость утечки кабеля Y — величину, обратную сопротивлению единицы длины изоляционного слоя по отношению к протекающему через него поперечному (радиальному) току; б) сопротивление на входе кабеля R, а также зависимость силы тока в проводниках l и напряжения между ними U от осевой координаты (расстояния до входного сечения) z.
23502. Точечный источник тока I помещен в анизотропную среду с холловской проводимостью, в которой проекции векторов плотности тока j и напряженности поля Е связаны соотношениями ji = SikEk + [Е х а]i; Sik — симметричный тензор, имеющий в главных осях x, y, z компоненты Sxx = S1, Syy = S2, Szz = S3; a — постоянный аксиальный (псевдо) вектор. Получить выражения для потенциала ф(х, y, z). Показать, что при а = 0 линии тока — радиальные прямые.
23503. Цилиндрический конденсатор заполнен анизотропной средой с тензором проводимости, имеющим постоянные компоненты srr, srQ, sQQ в цилиндрической системе координат r, Q, z (ось z совпадает с осью конденсатора). Между внутренним и внешним проводниками конденсатора, имеющими радиусы а и b, поддерживается постоянная разность потенциалов U. Найти электрическое поле Е и плотность тока j в конденсаторе. Нарисовать векторные линии Е и j.