Решение задач по физике. Онлайн-база готовых решений.
Поиск по задачам:
Вход на сайт
23303. Считая серебро одновалентным металлом со сферической поверхностью Ферми, вычислить следующие величины: 1) энергию Ферми и температуру Ферми; 2) радиус kF сферы Ферми в k-пространстве; 3) скорость Ферми; 4) площадь поперечного сечения поверхности Ферми; 5) циклотронную частоту в поле Н = 5000 э; 6) среднюю длину свободного пробега электронов при комнатной температуре и вблизи абсолютного нуля температур; 7) радиус циклотронной орбиты в поле Н = 5000 э; 8) длину ребра кубической элементарной ячейки; 9) длину векторов обратной решетки первых двух координационных сфер в k-пространстве; 10) объем первой зоны Бриллюэна. Использовать в расчетах следующие данные для Ag: плотность 10,5 г*см^-3; атомный вес А = 107,87, удельное сопротивление р = 1,61*10^-6 ом*см при 295 °К и 0,0038*10^-6 ом*см при 20 °К.
23304. Показать, что средняя энергия E, приходящаяся на одну частицу при 0 °К для электронов, подчиняющихся статистике Ферми — Дирака, равна E = 3/5 EF(0), где EF(0) — энергия Ферми при T = 0 °К. Полагая E(Т) (среднюю энергию электрона при конечной температуре) равной E(T) = 3/5 EF(0) [1 + 5п2/12 (kT/EF(0))2], найти величину отношения (Cv)FD/(Cv)кл для электронного газа с энергией Ферми, равной 7 эв. (Cv)FD — удельная теплоемкость газа, состоящего из частиц, подчиняющихся статистике Ферми — Дирака, а (Сv)кл — удельная теплоемкость газа, подчиняющегося классической статистике.
23305. Вычислить ток термоэлектронной эмиссии от вольфрамовой проволоки длиной 3 см и радиусом 1 мм, нагретой до 2000°С (работу выхода ф для вольфрама принять равной 4,5 эв).
23306. Показать, что электромагнитная волна, падающая на поверхность металла, быстро затухает по мере проникновения в металл (скин-эффект). Вычислить классическую глубину скин-слоя и показать, что она значительно меньше средней длины свободного пробега в чистом металле при низких температурах.
23307. Показать, что когда к металлу приложено магнитное поле H, волновой вектор k данного состояния изменяется, описывая в k-пространстве орбиту, определяемую пересечением энергетической поверхности плоскостью, перпендикулярной полю Н. Показать, что циклотронная эффективная масса для данной орбиты равна m*= h2/2п dA/dE, где А — площадь этой орбиты в k-пространстве, а E — энергия.
23308. Найти давление газа электронов, подчиняющихся статистике Ферми — Дирака. Вычислить величину давления для случая меди.
23309. Пользуясь классическими методами, вычислить частоту продольных плазменных колебаний в электронном газе с однородным положительно заряженным фоном. Как, по вашему мнению, повлияет на результат квантовомеханическое рассмотрение этой задачи?
23310. Согласно простой модели одновалентного металла, состоящего из точечных положительных атомных ядер, погруженных в однородный электронный газ (модель «желе»), средняя энергия, приходящаяся на один электрон, равна E = 9/10 e2/r + 3h2/10mr2(9/4п)^2/3, где r — радиус сферы, содержащей один электрон. Найти равновесное значение r0, модуль всестороннего сжатия В при 0 °К и скорость звука.
23311. Приложенное переменное гармоническое поле (частоты w) вызывает возмущение плотности газа свободных электронов. Ограничиваясь членами первого порядка по возмущению, показать, что реакция электронного газа на такое возмущение описывается диэлектрической проницаемостью, равной e(w, q) = ####.
23312. Показать, что для модели свободных электронов металла диагональная компонента тензора сопротивления не зависит от магнитного поля (т. е. что эффект поперечного магнето-сопротивления отсутствует).
23313. Объяснить смысл времени релаксации т и обсудить вопрос о том, при каких условиях это понятие применимо. б) Многие кинетические явления в благородных металлах можно описать простой двухзонной моделью, в которой двумя группами носителей являются области «шеек» (индекс 1) и «вздутий» (индекс 2) поверхности Ферми. Вывести из данной модели выражение для отклонений от правила Матиссена при высоких температурах. Для этого надо рассмотреть следующие вопросы. 1) Показать, что выражение для остаточного сопротивления сплава можно записать в виде 1/p0 = B1т1 + B2т2, где т1 и т2 — времена релаксации двух групп носителей. Какими параметрами этого сплава определяются коэффициенты В1 и В2? 2) Предположить, что время релаксации, обусловленное электрон-фононным взаимодействием при высоких температурах, одинаково для шеек и для вздутий и равно т0. Рассмотреть далее только разбавленные сплавы при высоких температурах, для которых можно считать т1, т2 >> т0. 3) Отклонение от правила Матиссена можно характеризовать величиной отношения d/р0, где d = Рсплава(Т) - Рчистого металла(T) - p0. Определить, как зависит величина d от концентрации сплава и от температуры. 4) Показать, что обычно d > 0, и установить, в каком случае d больше: для сплава из двух металлов одинаковой валентности (обычно т1 = 5т2) или для гетеровалентного (обычно т1 = 2т2) сплава. Зная, что в первом случае d/р0 = 0,2, определить, какая часть тока обусловлена шейками в чистом металле, если там электроны являются неосновными носителями.
23314. Найти число электронных состояний (отнесенное к одному атому) внутри сферы, вписанной в первую зону Бриллюэна, для ГЦК, ОЦК решеток и решетки типа у-латуни. Каким условиям должны удовлетворять различные члены, дающие вклад в свободную энергию, чтобы выполнялись правила Юм - Розери для фазовых переходов в бинарных сплавах?
23315. Проводимость металла не зависит от толщины d образца до тех пор, пока средняя длина свободного пробега L0 не станет сравнимой с d. Считая рассеяние на поверхности хаотическим, показать, что если свободный пробег оканчивается на поверхности, то проводимость изменяется следующим образом: s/s0 = L/L0 = 3d/4L0 + d/2L0 ln L0/d; здесь s — проводимость образца в виде тонкой пленки; s0 — проводимость массивного образца, L и L0 — средние длины пробега соответственно для пленки и для массивного образца.
23316. Показать, что сопротивление жидкого металла p = ####, где |S(q)|2 — квадрат абсолютной величины структурного фактора для жидкости; |Va(q)|2 — квадрат матричного элемента слабого псевдопотенциального взаимодействия между состояниями k и k + a; EF — энергия Ферми; W0 — атомный объем. Считать, что 1) полный псевдопотенциал является суммой слабых псевдопотенциалов с центрами в различных атомных узлах; 2) вероятность рассеяния определяется борновским приближением. Вычислить значение р для цинка, исходя из данных табл. (значения Va(q) взяты из, значения N |S(q)|2 — из [25]).
23317. Для металлов, у которых на границе зоны Бриллюэна щель между энергетическими зонами мала, существует вероятность перехода электрона через эту щель, если приложено магнитное поле; это явление называют магнитным пробоем. Показать, что магнитный пробой имеет место при условии hwcEF/Eg2 > 1, где EF — энергия Ферми, Eg — ширина энергетической щели, wс — циклотронная частота.
23318. Рассмотреть следующую модель одновалентного металла: в объеме большой сферы радиуса R размещены свободные электроны и однородно распределенные положительные ионные центры (число ионов равно числу электронов). Найти в первом приближении теории возмущений изменение энергии, необходимое для образования вакансии с заданным потенциалом возмущения V(r). Используя асимптотическую форму волновой функции, применить правило Фриделя для фазовых сдвигов и показать, что величина изменения энергии сводится к величине 2/3 EF, где EF — энергия Ферми. Учтя изменение энергии, вызванное возрастанием объема вследствие того, что высвобождаемый ион уходит на поверхность сферы, показать, что полное изменение энергии равно dEv = 4/15 EF. б) Зная, что для изотропного твердого тела дебаевская температура Q пропорциональна скорости звука, показать, что Q = A EF^1/2, где А — множитель, зависящий от атомного объема W и массы атома М. Используя результат пункта (а), показать, что величина Q(dEv/MW^2/3)^-1/2 должна быть константой, и вычислить ее, исходя из данных: ####. Считая, что температура Tf плавления металла пропорциональна dEv, вывести соотношение Линдемана между Q и Tf: Q = const*(Tf/MW^2/3)^1/2.
23319. Электрон движется в одномерном периодическом потенциальном поле, создаваемом атомами, находящимися на расстоянии d друг от друга. Показать, что волновые функции электронов могут иметь вид u(х) exp(ikx), где u(х) — функция той же периодичности, что и потенциал. Предполагая, что в трехмерном случае волновая функция имеет аналогичный вид: u(r) exp(ikr), определить значения волнового вектора k для гранецентрированной кубической решетки.
23320. Пусть в трехмерной кубической решетке (в единице объема) содержится N атомов, причем каждый из атомов имеет Z валентных электронов. Вывести выражение для радиуса сферы Ферми (в обратной решетке) в приближении свободных электронов. Для случая двумерной квадратной решетки построить (в обратной решетке) поверхность Ферми для атомов с одним, двумя, тремя и четырьмя валентными электронами. Изобразить поверхность Ферми в первой зоне Бриллюэна для случая, когда на атом приходится четыре электрона.
23321. Показать, что на границах первой зоны Бриллюэна волновые функции свободного электрона в одномерной периодической решетке с периодом d вырождены. Показать, что если каждый атом вносит малое возмущение, то в первом приближении по возмущению волновые функции на границе зоны пропорциональны sin nпx/d и cos nпx/d (n — целое).
23322. Показать, что для случая одномерной решетки существование энергетических разрывов на границе зоны Бриллюэна эквивалентно условию брэгговского отражения электронных волн.
23323. Рассмотреть энергетические уровни в одномерной решетке с периодом d, где потенциальная энергия имеет вид V = V0 при -b < х < 0, V = 0 при 0 < x < d - b, V(x + d) = V(x). Определить значения энергии для верхнего края первой зоны и нижнего края второй зоны на границе зон, если V0 = 0,1; d = 8 и b = 3 ат.ед.
23324. Показать, что в случае, когда движение электрона в кристалле можно рассматривать как распространение плоской волны exp(ik*r), квант hk соответствует импульсу. Показать, что если на кристалл действует внешнее электрическое поле, то скорость изменения импульса в зависимости от времени такова, что электрон может рассматриваться как частица, обратная масса которой является тензорной величиной, имеющей компоненты (1/m*)ij = 1/h2 d2E/dki dkj.
23325. Обсудить различия между металлом, полупроводником и диэлектриком с точки зрения структуры их энергетических зон. Дать схематическое изображение поверхности Ферми двумерного кубического кристалла, который имеет небольшое число носителей эффективных зарядов на атом (полуметалл). Объяснить это явление с точки зрения картины энергетических зон.
23326. Нижняя граница зоны проводимости висмута характеризуется тензором обратных эффективных масс вида (####). Найти компоненты этого тензора и определить характер энергетических поверхностей вблизи нижней границы зоны проводимости.
23327. Найти выражение для структурного фактора и вычислить его для решетки, имеющей гексагональную плотноупакованную структуру. Показать, что для этой структуры ширина энергетической щели для состояний, соответствующих гексагональной грани зоны Бриллюэна, обращается в нуль.
23328. Показать, что уравнение Шредингера для волновой функции Фnk(r) можно записать в виде ((p + hk)2/2m + V(r))unk(r) = En(k)unk(r), где индекс n относится к n-и энергетической полосе, а функция unk(r) имеет периодичность решетки. Определить зависимость En(k) вблизи края зоны (k = 0), выразив правую часть через En(0) и матричные элементы импульса с функциями ui0(r) для всех энергетических полос i. Получить отсюда компоненты тензора обратных эффективных масс (через те же матричные элементы импульса). Показать, что при учете взаимодействия электронов двух разных энергетических полос эффективная масса дырки, соответствующая нижней полосе, и эффективная масса электрона, соответствующая краю верхней полосы, будут равны по величине.
23329. Доказать теорему Блоха для трехмерной решетки.
23330. Используя разложение волновой функции электрона в ряд по плоским волнам, найти вид детерминантного уравнения для определения собственных значений энергии в случае одномерного кристалла. Найти собственные значения энергии для последовательных приближений, получаемых при увеличении числа плоских волн в разложении, если в таком кристалле потенциал с периодом п имеет вид V(х) = -3 - 2 cos2х.
23331. Используя для электронов атомов в объемноцентрированной кубической решетке приближение сильной связи и предполагая при этом, что s-функции могут быть взяты в качестве электронных атомных волновых функций (атомных орбиталей), показать, что энергетические поверхности такой системы при k = 0 имеют сферическую симметрию. Определить эффективную массу у края зоны (вблизи k = 0).
23332. Пользуясь приближением сильной связи, показать, что линейная цепочка атомов с одним свободным концом может иметь уровни в запрещенной зоне, т. е. в щели между нормальными зонами (в трехмерном случае это отвечает учету атомов на поверхности).
23333. Пользуясь приближением сильной связи, найти собственные значения энергии нижнего края зоны для случая одномерной решетки с периодом п, если ее потенциал имеет вид V(х) = -3 - 2 cos2х. Предположить, что атомные волновые функции такие же, как и у простого гармонического осциллятора, Ф(х) = ехр(-ах2), где а — подгоночный параметр, выбираемый так, чтобы энергия, отвечающая состояниям Ф(x), была минимальной.
23334. Энергетические уровни в верхней части валентной зоны в германии при k = 0 являются вырожденными. Детерминантное уравнение для энергий состояний вблизи k = 0 можно получить, используя теорию возмущений; оно имеет вид |####| = 0, где E — энергия состояний k = (kx, ky, kz); A, B, С — компоненты тензора обратных эффективных масс. Рассмотреть ход изменения энергии вблизи k = 0 вдоль основных направлений [100], [111] и др. в k-пространстве и для произвольного направления. Показать, что поверхности постоянной энергии вблизи k = 0 отличаются от сферы.
23335. Доказать, что функции Ванье и собственные функции оператора импульса правильной трехмерной решетки получаются одна из другой преобразованием Фурье. Показать также, что функции Ванье для атомов различных узлов решетки ортогональны.
23336. В двумерной квадратной решетке с постоянной решетки d для точки (п/d, п/d) в зоне Бриллюэна вырождаются четыре плоские волны. Показать, что внутрикристаллическое поле в решетке снимает это вырождение. Определить в этом случае число и симметрию новых состояний.
23337. Рассчитать энергетическую зонную структуру алюминия, исходя из следующих данных: H = p2/2m*+ V, где m*= 1,1716m. Потенциал V имеет только два ненулевых коэффициента Фурье: V[111](Kn) = 0,0295 Ry при Kn|| [111], V[200](Kn) = 0,0550 Ry при Kn|| [200]. Значения V(Kn) равны при одних и тех же значениях |Кn|. Параметр решетки dAl = 7,633 А. Выразить волновую функцию через набор четырех плоских волн, описывающих вырожденное состояние в точке (1/2, 0, 1) зоны Бриллюэна.
23338. Обсудить качественно причины того, почему так легко осуществляется модуляция проводимости в полупроводниках и так трудно — в металлах.
23339. Вывести закон действующих масс для концентраций основных и неосновных носителей в полупроводнике, предполагая, что для носителей тока в зоне проводимости и в валентной зоне, так же как для классических свободных частиц, применима статистика Максвелла — Больцмана и что функция плотности состояний параболическая для обеих зон. Эффективные массы mn*(для электронов) и mp*(для дырок) считать известными и постоянными.
23340. Найти энергию Ферми для собственного полупроводника, принимая, что статистика Максвелла — Больцмана применима и для зоны проводимости, и для валентной зоны.
23341. Явления, возникающие при добавлении в полупроводник донорных или акцепторных примесей, можно объяснить, предполагая, что каждый атом донора (или акцептора) приводит к появлению локального энергетического уровня в запрещенной зоне чуть ниже дна зоны проводимости (или чуть выше потолка валентной зоны), с которого электрон (или дырка) легко возбуждается при термической ионизации. Обосновать эту картину исследованием водородоподобного атома, погруженного в однородную изотропную диэлектрическую среду. Атом донора считать пятивалентным, полагая, что внутри решетки четыре валентных электрона осуществляют химическую связь, а свободный пятый валентный электрон находится в кулоновском поле положительного ионного остова (примесного центра); диэлектрическую проницаемость среды считать равной диэлектрической проницаемости полупроводникового кристалла (е = 16 для Ge, e = 12 для Si). В частности, рассчитать размер электронных орбит и энергию ионизации основного состояния. Можно использовать боровскую теорию водородного атома с круговыми электронными орбитами.
23342. Показать, что вследствие принципа Паули и двукратного спинового вырождения уровня основного состояния донора функция распределения электронов на этих уровнях имеет вид fd0(E) = 1/2 {1 + 1/2 exp[(E - EF)/kT]}^-1.
23343. В полупроводнике, в котором все донорные и акцепторные атомы ионизованы, найти концентрации электронов n0 и дырок р0, выразив их через концентрации донорных и акцепторных примесей Nd, Na и через концентрацию собственных носителей ni.
23344. Найти выражение для энергии Ферми в примесном полупроводнике при условии, что уровни донора и акцептора полностью ионизованы; обсудить условия, при которых это предположение законно. Принять, что статистика Больцмана применима и к зоне проводимости, и к валентной зоне, а также к донорным и акцепторным уровням.
23345. Исходя из уравнения переноса Больцмана и используя приближение времени релаксации, показать, что электрическую проводимость однородного полупроводника, рассматриваемого как больцмановский газ электронов и дырок, можно записать как s = е(nцn + рцр), где цn и цр — подвижности, т.е. средние скорости дрейфа в электрическом поле единичной напряженности. Для электронов и дырок они соответственно равны цn = е/m < v2тn(v) > / < v2 >, цp = е/m < v2тp(v) > / < v2 >, где тn(v) и тр(v) — времена релаксации для электронов и дырок.
23346. Рассматривая кристалл как сосуд, содержащий фононный газ, и используя приближения теории теплоемкости Дебая, показать, что для температур, больших по сравнению с температурой Дебая, число акустических фононов в единице объема составляет 9NТ/2Q (где N — число атомов решетки в единице объема, а Q — температура Дебая). Затем полуколичественно показать, что в полупроводниковом кристалле для температур, больших по сравнению с температурой Дебая, рассеяние электрона или дырки на акустическом фононе можно рассматривать аналогично взаимодействию электрона или дырки с нейтральной частицей, масса которой намного больше эффективной массы электрона или дырки. Показать, что при такой трактовке мы придем к независимости среднего свободного пробега от скорости.
23347. Для веществ, в которых рассеяние на акустических фононах является основным механизмом рассеяния, показать, что при температурах, превышающих температуру Дебая, подвижность электронов (а значит, для постоянной плотности носителей, и электропроводность) должна быть пропорциональна T^-1 в металлах и T^-3/2 в полупроводниках. Сравнить эти результаты с экспериментальными данными для металлов и примесных полупроводников и объяснить причины обнаруженного расхождения.
23348. Образец примесного полупроводникового кристалла р-типа вырезан в виде прямоугольного параллелепипеда и помещен в однородное постоянное магнитное поле B0, как показано на рис. Показать, что проводимость образца уменьшается с увеличением магнитного поля. В частности, если w0тр << 1 (w0 = еВ0/m*рС) и средняя длина свободного пробега не зависит от скорости, то s(B0) = s0(1 - e2B0^2/m*pc2 L2/kT 4 - п/8) (здесь s0 — проводимость в отсутствие магнитного поля, а L — средняя длина свободного пробега). Предполагается, что эффективная масса изотропна и, следовательно, изоэнергетические поверхности в импульсном пространстве имеют сферическую форму.
23349. Показать, что в схеме опыта, показанной на рис. , на клеммах А и В появляется напряжение, которое соответствует электрическому полю Еy = 1/p0ec(т2/(т)2) при условии, что w0^2тp^2 << 1 (эффект Холла). Показать, что когда длина среднего свободного пробега не зависит от скорости, то т2/(т)2 = 3п/8.
23350. Найти частоту и относительную интенсивность всех циклотронных резонансов, ожидаемых для кристалла кремния n-типа. Постоянное магнитное поле приложено: а) вдоль направления [100], б) вдоль [110], в) вдоль [111].
23351. Найти компоненты тензора проводимости в системе координат, в которой оси расположены вдоль направлений (100). Вдоль тех же направлений [111], [111], [111], [111] ориентированы эллипсоидальные зоны проводимости, причем минимумы энергии расположены на тех же направлениях (случай кристалла германия). Показать, что суммарная проводимость кристалла изотропна, несмотря на анизотропию, связанную с каждым отдельным эллипсоидом, при условии, что нет внешнего напряжения или других воздействий, которые могли бы нарушить эквивалентность четырех минимумов энергии.
23352. Показать, что если в полупроводниковом кристалле создан градиент концентрации, то устанавливается диффузионный поток носителей, пропорциональный градиенту концентрации с коэффициентом, равным -Lс/3 (где с — средняя тепловая скорость). Предполагается, что относительное изменение концентрации на расстоянии порядка средней длины свободного пробега мало, что средняя длина свободного пробега не зависит от скорости и что функцию распределения можно записать в виде произведения n(r)ф(v), где n — концентрация в данной точке, а ф(v) — функция распределения скоростей, которая не зависит от координат.
23353. Показать, что подвижности электрона и дырки связаны с соответствующими коэффициентами диффузии соотношениями Эйнштейна Dn = цnkT/e, Dp = цpkT/e. Принять, что длина среднего свободного пробега для электронов и дырок не зависит от скорости.
23354. Найти дифференциальное уравнение, описывающее амбиполярную диффузию и дрейф распределения избыточных пар электрон — дырка внутри полупроводника, имеющего равновесные концентрации электронов n0 и дырок p0, которые сравнимы по величине при приблизительном выполнении условия электронейтральности внутри кристалла.
23355. В известном эксперименте Хайнса — Шокли (схема показана на рис ) дрейфовая подвижность неосновных носителей заряда в примесных образцах полупроводника определяется по результатам измерения времени, необходимого для того, чтобы избыток носителей (инжектируемых через точечный контакт эмиттера) продрейфовал к точечному контакту коллектора, расположенного на известном расстоянии, под действием постоянного поля Е0 внутри кристалла. Можно сделать простой анализ результатов и убедиться, что дрейфовая скорость носителей равна ц*E0, а время t0, необходимое для того, чтобы носители преодолели расстояние d между зондами эмиттера и коллектора, будет поэтому равно d/ц*E, откуда ц*= d/E0t0. В предположении одномерной диффузии, когда инжекцию избыточных носителей в кристалле в точке х = 0 при t = 0 можно описывать d-функцией, показать, что при рассмотрении эффектов диффузии и рекомбинации максимальный коллекторный сигнал (который пропорционален величине dр при x = d) имеет место при t = t0. Величина t0 находится из соотношения t0 = |/1 + 4ad2/D*- 1/4a, где a = ####. Подвижность ц*связана с t0 соотношением ц*= d/E0t0(|/1 + x2 - x); здесь x = 2kT/eE0d(t0/t + 1/2) n + р/n - р.
23356. На рис приведены результаты измерений дрейфовой подвижности импульса избыточных носителей заряда в германии р-типа в зависимости от температуры. Объяснить получающуюся кривую и в особенности острый излом на ней при температуре около 300 °К и наблюдаемое затем быстрое уменьшение подвижности импульса.
23357. Для полупроводника n-типа в стационарном состоянии вероятность того, что неосновной носитель при столкновении с поверхностью кристалла не испытает рекомбинации, определяется коэффициентом поверхностного отражения R0. Показать, что граничное условие для уравнения непрерывности у поверхности кристалла можно записать в виде -Dp[d(dp)/dx]s = [dp]s cp/2 1 - R0/1 + R0, где индекс s относится к значениям соответствующих величин у поверхности образца.
23358. Из кристалла примесного германия n-типа вырезаны большие тонкие пластинки одинаковой толщины, равной 2а. Длина и ширина образца достаточно велики для того, чтобы пренебречь краевыми эффектами и, следовательно, гарантировать, что перенос избытка носителей внутри образца происходит в одном измерении. Поверхности обрабатываются таким образом, чтобы на обеих поверхностях образца скорость поверхностной рекомбинации s была одинаковой. Затем кристалл облучается светом, длина волны которого достаточно велика для того, чтобы проникнуть в кристалл без значительного поглощения, но тем не менее близка к краю основного поглощения (где hw = dE) настолько, чтобы создать заметную концентрацию электронно-дырочных пар. Найти стационарную концентрацию избыточных носителей во всех точках внутри кристалла и описать стационарный эффект фотопроводимости, возникающей в образце.
23359. Выразить концентрации равновесных носителей тока n0 и р0 в однородном невырожденном полупроводнике через энергию уровня Ферми, отсчитывая последнюю от дна зоны проводимости или от потолка валентной зоны. Определить квазиуровни Ферми при инжекции неравновесных носителей.
23360. Вывести уравнения, определяющие распределение равновесного потенциала вблизи границы однородного полупроводника с постоянной концентрацией доноров Nd, предполагая, что при данной температуре атомы примеси полностью ионизованы.
23361. Область объемного заряда р — n-перехода обладает емкостью. Вывести выражение для емкости в случае скачкообразного перехода.
23362. Объяснить смысл утверждения, что р — n-переход может служить устройством, задающим концентрацию неравновесных носителей на краях области, содержащей объемный заряд. Вывести зависимость избыточной концентрации носителей от приложенного напряжения.
23363. Инжекция избыточных неосновных носителей заряда через р — n-переход в примесный полупроводник обычно не нарушает нейтральности материала. Обсудить количественные стороны этого утверждения.
23364. Если избыточные концентрации электронов и дырок ввести в определенную плоскость, например в плоскость р — n-перехода, то результирующий электрический ток в хорошем приближении можно считать обусловленным лишь неосновными носителями. Объяснить, почему и при каких условиях можно пренебречь основными носителями.
23365. Определить прямые вольт-амперные характеристики диодов с реальными р — n-переходами.
23366. Обратная характеристика идеального р — n-перехода должна быть насыщенной. Реальные р — n-переходы в большей или меньшей мере отклоняются от такого идеального поведения. Объяснить, почему это происходит.
23367. Контактный транзистор по существу состоит из двух р — n-переходов, разделенных относительно узкой областью базы для n — р — n-конфигурации (рис. ). Неосновные носители заряда, введенные через имеющий положительное смещение эмиттерный переход, диффундируют через область базы и, за исключением потерь на рекомбинацию, собираются на обратно смещенном коллекторном переходе. Обсудить основные факторы, влияющие на характеристики транзистора при постоянном токе.
23368. Описать малый результирующий импульс (сигнал) и большой переходный (неустановившийся) импульс транзистора при переменном токе.
23369. В произвольных ортогональных осях тензоры диэлектрической проницаемости е для нескольких кристаллов при тех длинах волн, при которых нет поглощения, имеют вид ####. (15.1.1) Указать кристаллографические системы, к которым могут принадлежать эти кристаллы. Найти главные оси и соответствующие оптические оси кристаллов, описываемых тензорами (а) - (г). Для каких систем главные и оптические оси могут зависеть от длины волны?
23370. Показать, что тензор электрооптического эффекта первого порядка Xijk для кристалла типа сфалерита ZnS (точечная группа 43m (Td)) имеет только одну отличную от нуля независимую компоненту X. Пусть электрическое поле Е приложено к кристаллу по одному из направлений: [100], [111] или [110]. Найти главные значения и оси тензора диэлектрической проницаемости и оптические оси после приложения поля. Как изменится решение для структуры типа каменной соли NaCl?
23371. Оптические постоянные непрозрачного кубического материала при заданной длине волны L можно определить, измеряя коэффициенты отражения для угла падения ф линейно поляризованного света с длиной волны L при плоскостях поляризации, параллельной (R||) и перпендикулярной (R|_) к плоскости падения. Показать, что этот метод непригоден для ф0, близкого к 0, 45 и 90°.
23372. Щелочно-галоидный кристалл имеет статическую диэлектрическую проницаемость е(0) = 5,9. Его недисперсионная диэлектрическая проницаемость в ближней инфракрасной области е(оо) = 2,25. Коэффициент отражения кристалла равен нулю при длине волны 30,6 мкм. Вычислить частоты продольных и поперечных фононов при k = 0. Результаты выразить в эв, °К и сек^-1 (обычная, или угловая частота). Начертить график зависимости коэффициента отражения от длины волны. Используя таблицы, определить, какой это кристалл.
23373. Вывести правила отбора для структур сфалерита, каменной соли и алмаза, для следующих оптических процессов, в которых участвуют фононы с k = 0: однофононное поглощение, двухфононное поглощение, однофононное бриллюэновское рассеяние, однофононное комбинационное рассеяние, двухфононное комбинационное рассеяние (таблицы необходимых величин имеются в).
23374. Рассмотреть тот же кристалл. Определить, при какой длине волны поглощение фотона приводит к образованию трех фононов с нулевыми квазиимпульсами. Рассчитать отношение интенсивностей соответствующих полос поглощения при 300 °К к интенсивностям тех же полос при 77 °К. Определить длины волн, при которых появится двухфононное (для обоих фононов k = 0) комбинационное рассеяние светового луча с длиной волны 5000 А. Рассчитать отношение интенсивностей рассеянного света при 300° К к соответствующим интенсивностям при 77° К.
23375. Концентрация свободных электронов в полупроводнике равна N. Электроны располагаются в долине, для которой тензор эффективных масс имеет главные компоненты mх, my, mz (анизотропная эффективная масса). К кристаллу прикладывается постоянное магнитное поле В. Определить вклад свободных носителей в диэлектрическую проницаемость кристалла (считать, что главные оси тензора диэлектрической проницаемости совпадают с главными осями тензора эффективных масс).
23376. Пусть в кубическом полупроводниковом кристалле (кремний) концентрация электронов в эквивалентных долинах вдоль направлений [100] равна N, а диагональные компоненты тензора эффективных масс mх, mу и mz. Под действием нагрузки, приложенной к кристаллу, вырождение долин снижается и расщепление уровней энергии описывается выражением dEn = E1(nen - 1/3 Spe), (15.11.1) где n — единичный вектор по направлению этой долины, е — тензор деформации (см.). Рассчитать вклад свободных носителей в компоненты тензора упругооптических коэффициентов (тензор четвертого ранга), считая, что полупроводник полностью вырожден.
23377. В кристалле InSb (n-типа) концентрация электронов N = 10^18 см^-3. Предположим, что эффективная масса электрона равна 0,015m и не зависит от величины энергии (т. е. зона проводимости имеет идеальную параболическую форму). Определить плазменную частоту и длину волны, при которой в отражательной способности появляется соответствующий минимум. Концентрацию электронов можно считать постоянной. Диэлектрическая проницаемость решетки eL = 16.
23378. Рассмотреть полупроводник со структурой сфалерита, в котором минимум наинизшей зоны проводимости расположен в окрестности k = 0 (например, lnР). Используя k*p-приближение гамильтониана для электронов и двухзонную модель, разложить энергию электрона в зоне проводимости в ряд по степеням |k| в окрестности минимума k = 0 (в двухзонной модели учитывается только k*p-взаимодействие между наинизшей зоной проводимости и верхней валентной зоной). Считать, что все другие состояния весьма удалены и не вносят существенного вклада в k*р-взаимодействие. Состояние электрона в зоне проводимости при k = 0 является состоянием s-типа (Г1), а состояние электрона в валентной зоне — состоянием р-типа (Г15), причем трехкратно вырожденным (пренебрегаем спин-орбитальным взаимодействием). Используя полученные результаты, определить «оптическую эффективную массу» электронов в этом материале, т.е. массу m*, которая входит в выражение, определяющее вклад свободных носителей в диэлектрическую проницаемость, de = 4пNe2/w2m*, (15.14.1) и ее зависимость от концентрации носителей. Считать полупроводник полностью вырожденным. Для каких из полупроводников InSb, GaAs, InAs, GaSb, InP, AlSb, GaP допустимо пренебрежение спин-орбитальным расщеплением?
23379. Рассмотреть диэлектрический кристалл, имеющий слоистую тетрагональную структуру, такую, что взаимодействием между слоями можно пренебречь (двумерный кристалл). Валентная зона такого кристалла имеет нулевую ширину, т.е. Ev(k) = const. Выражение для зоны проводимости можно записать в виде Eс(k) = Eс(0) - A (cos akx + cos aky), (15.16.1) где а — параметр решетки, A — зависящая от структуры зоны постоянная. Считаем А положительной. Определить особенности Ван-Хова для прямых межзонных переходов между этими зонами. Определить форму мнимой части диэлектрической проницаемости еi около каждой из этих особенностей, предполагая, что переходы являются разрешенными. Схематически изобразить энергетический спектр.
23380. Полупроводник типа германия имеет у границы зоны Бриллюэна почти изотропную оптически разрешенную ширину запрещенной зоны Eg, из-за чего у этого полупроводника имеется существенное поглощение. Диэлектрическая проницаемость в близкой инфракрасной области для этого материала равна 12, а параметр решетки а0 = 5,42 А. Рассчитать приблизительную величину Eg в электрон-вольтах.
23381. Рассмотреть критическую точку минимума М0 для прямых межзонных переходов, предполагая, что параболическое разложение плотности состояний вблизи М0 справедливо вплоть до значений энергии, равных бесконечности, и что матричные элементы р постоянны. Рассчитать форму соответствующей действительной части диэлектрической проницаемости. Схематически изобразить формы еr для других типов критических точек Ван-Хова.
23382. Полупроводник со структурой вюрцита (CdSe) имеет ширину запрещенной зоны (при k = 0), равную 1,6 эв. Симметрия потолка валентной зоны Г9 (точечная группа С6v), а симметрия дна зоны проводимости Г7. Матричный элемент для прямых переходов между краями этих зон равен 6,1*10^-20 г*см*сек^-1, а приведенная эффективная масса составляет 0,08m. Коэффициент преломления для длин волн, близких к Eg, равен приблизительно 3. Определить производную отражательной способности R по энергии фотонов, близкой к Eg, для случая нормального падения света, распространяющегося вдоль оси с, в предположении одноэлектронного перехода зона — зона.
23383. Определить форму разрешенных переходов и запрещенных непрямых переходов первого порядка на экситонный уровень с квазиимпульсом K, лежащим у края зоны Бриллюэна.
23384. Мнимая часть диэлектрической проницаемости е, обусловленная прямыми разрешенными переходами на определенный дискретный экситонный уровень, дается формулой Лоренца (с несимметричным уширением) ei(E) ~ ####. (15.24.1) Рассчитать вещественную часть диэлектрической проницаемости, которая соответствует тем же оптическим процессам.
23385. Определить характер симметрии экситонных уровней, образованных валентным электроном симметрии Г8+ и электроном проводимости симметрии Г6-, для кристалла типа германия. Ограничиться S-образными огибающими функциями. Какие из этих уровней будут разрешенными для дипольных оптических переходов, а какие для квадрупольных?
23386. В германии в валентной зоне представление Г`23 и в зоне проводимости представления Г`2 и Г15 получаются расщеплением восьмикратно вырожденных 2п/а [111] уровней модели свободных электронов. Определить матричные элементы р между Г`25, Г`2 и Г15 в приближении слабой связи (предполагается, что взаимодействие между электронами на 2п/a [111] уровнях свободных электронов и электронами на всех других уровнях с k = 0 пренебрежимо мало). Симметризованные комбинации плоских волн типа [111] предложены Mapиотом.
23387. Электрический ток индуцируется так, что обтекает стенки тонкой свинцовой трубки, имеющей указанные на рис. размеры и поддерживаемой при температуре 4,2° К. Измерения показали, что затухание тока за время 2,5*10^4 сек составило менее чем 2 %. Определить верхнее предельное значение электропроводности свинцового образца. Предположить, что магнитное поле проникает в сверхпроводник на глубину 5*10^-6 см. (Эта задача основана на экспериментах, проведенных Куином и Иттнером.)
23388. Металлический шар, помещенный в магнитное поле, охлаждается ниже некоторой критической температуры Тс, при которой металл становится сверхпроводящим. Изобразить схематически конфигурацию линий магнитного потока выше и ниже температуры Тс и сопоставить свойства этого металла со свойствами другого металла, для которого при Т < Тc сопротивление становится просто равным нулю, но который, с другой стороны, не обнаруживает свойств сверхпроводимости. Показать, что свойства сверхпроводника согласуются со следующим предположением: j = -ne2/mc A, (16.2.1) где j — плотность тока; A — векторный потенциал, определяемый соотношением rot А = H; H — магнитное поле; n — концентрация электронов в металле; e и m — соответственно заряд и масса электрона.
23389. Критическая температура сверхпроводящего олова в нулевом магнитном поле равна 3,7 °К, а критическое поле при 0°К равно 306 э. Найти в сверхпроводящем состоянии приближенное значение максимального тока, протекающего в оловянной проволоке диаметром 0,1 см при 2 °К. Определить диаметр проволоки, при котором по ней может протекать ток в 100 а без перехода олова в нормальное состояние.
23390. Эллипсоидальный образец сверхпроводника 1-го рода, имеющего критическое поле Hс, помещен в магнитное поле Н (0 < H < Hс). Ось образца ориентирована параллельно направлению поля. Определить зависимость намагниченности образца от поля Н. Показать, что при Н в интервале Hc(1 - D) < H < Hc в образце должны существовать как нормальные, так и сверхпроводящие области (здесь D — размагничивающий фактор). Построить график зависимости намагниченности от поля Н для: а) бесконечно протяженного цилиндра с осью, параллельной Н; б) сферы. Для эллипсоида вращения, ориентированного в направлении поля, величина D задается соотношением D = (1/e2 - 1)[1/2e ln 1 + e/1 - e - 1], где е = |/1 - b2/а2; а — ось эллипсоида, в направлении поля; b — ось эллипсоида, перпендикулярная направлению поля.
23391. Для сверхпроводника 1-го рода вычислить разность свободных энергий Гиббса для случая нулевого поля и для случая однородной намагниченности во внешнем поле Н. Отсюда через критическое поле Нс получить выражение для разности энтропии и удельных теплоемкостей, соответствующих нормальному и сверхпроводящему состояниям. Показать, что при критической температуре имеется скачок удельной теплоемкости, скачок же скрытой теплоты перехода отсутствует.
23392. В табл. приведены значения удельных теплоемкостей олова, соответствующие сверхпроводящему Cs и нормальному Сn состояниям (последние величины получены при внешних магнитных полях, больших Нс). Определить величину вклада электронов Ces в удельную теплоемкость в сверхпроводящем состоянии и построить график зависимости логарифма Сеs от 1/T. Какой смысл имеет построенный график?
23393. В табл. приведены результаты измерений зависимости критического поля Нс от температуры для обычного олова (среднее значение атомной массы M = 118,7) и для двух образцов олова с другой концентрацией изотопов (здесь Т0,01 — температура, при которой отношение Нс/Нс(0) = 0,01). Было найдено также, что все образцы удовлетворяют полиномиальному соотношению h = 1 - 1,08t2 - 0,06t4 + 0,35t6 - 0,21t8, где h = Hc/Hc(0), Нс — критическое поле, равное при 0°К величине Hс(0), t = T/Tc (Тс — критическая температура в нулевом поле). Найти критическую температуру Тс для каждого образца. Найти отсюда характерное свойство соотношения между Тс и М для изотопов олова и для изотопов ртути и объяснить его важность. Критические температуры для образцов ртути, содержащих различные концентрации изотопов, приводятся в табл.. (Эта задача основана на экспериментах Серина и др.)
23394. Электрический ток проходит через контакт двух металлов: свинца и алюминия, отделенных друг от друга очень тонким изолирующим слоем. На рис. ,а схематически изображена зависимость туннельного тока от приложенного напряжения при температуре 0,5 °К, причем максимуму тока соответствует напряжение V1 = 11,8*10^-4 в, минимуму — напряжение V2 = 15,2*10^-4 в. Объяснить, почему кривая имеет такую форму, и найти величину энергетической щели для сверхпроводящих свинца и алюминия. При какой температуре можно ожидать, что максимум и минимум тока исчезают и зависимость тока от напряжения будет характеризоваться кривой, изображенной на рис. ,б? Предположить, что в температурном интервале от 0°К до Тс/2 величина энергетической щели сверхпроводника изменяется незначительно.
23395. Двойной джозефсоновский контакт имеет вид. показанный на рис. Обнаружено, что когда ток l, протекающий через два сверхпроводника, достигает критической величины, напряжение скачком уменьшается до нуля. В случае свободного от потерь тока критический ток lc является модулированным, когда приложено магнитное поле, перпендикулярное плоскости кольца. Обнаружено также, что при увеличении поля модуляции критического тока являются периодической функцией поля. Объяснить это явление и рассчитать период модуляции. Показать, каким образом это явление может быть использовано при измерении очень малых напряжений. Оценить наименьшее изменение напряжения, которое можно определить в случае, когда постоянная времени не превышает 1 сек.
23396. Известно, что для массивного образца сверхпроводника 1-го рода критическое поле равно 500 э. Найдено, что для пленки толщиной в 5*10^-5 см критическое поле равно 550 э. Какой будет величина критического поля для образца толщиной 10^-6 см? Предположить, что проникновение поля в сверхпроводник задается лондоновской теорией и глубина проникновения не зависит от магнитного поля; эффектами размагничивания пренебречь.
23397. Оценить глубину проникновения для чистого олова, основываясь на нелокальной теории и используя следующие данные: критическая температура Tc = 3,7 °К; плотность равна 7,3 г*см^-3; атомная масса М = 118,7; эффективная масса m*= 1,9m (где m — масса свободного электрона). Оценить глубину проникновения для образца олова с малым содержанием индия, в котором остаточное удельное сопротивление (определяемое из измерений проводимости в нормальном состоянии) равно 4*10^-6 ом*см. Это остаточное удельное сопротивление в 10^3 - 10^4 раз превосходит величину сопротивления для номинально чистого олова.
23398. Рассмотреть устойчивость сверхпроводящей фазы сверхпроводника, помещенного в магнитное поле, по величине меньшее, чем термодинамическое критическое поле Нс; при рассмотрении использовать длину когерентности E и глубину проникновения L. Используя тот факт, что параметр Ландау — Гинзбурга х для случая, когда поверхностная энергия в критическом поле является положительной, должен быть меньше 1/ |/2, показать, что предположение о связи между отношением L/E и параметром х является вполне приемлемым. Почему сверхпроводник целиком не переходит в нормальное состояние при внешних полях, превышающих Hс, когда поверхностная энергия отрицательна? Найдено, что некий сверхпроводник, у которого Hс = 165 э, ведет себя, как сверхпроводник 2-го рода, когда глубина проникновения при введении примесей увеличивается не менее чем на 10^-5 см. Определив х как |/2e*HcL2/hc, рассчитать значение величины е*, имеющей размерность заряда, и объяснить смысл полученного результата. Пусть при дальнейшем увеличении концентрации примесей глубина проникновения возрастает до 2*10^-5 см. Каким тогда должно быть магнитное поле, необходимое для подавления всех сверхпроводящих свойств?
23399. Используя уравнение Лондонов и предполагая, что длина когерентности E меньше, чем глубина проникновения L, вывести соотношения, позволяющие связать намагниченность свободного от деформаций сверхпроводника 2-го рода с величиной приложенного поля. Предположить, что в случае смешанного состояния доменная структура сверхпроводника является ламинарной. Выразить наибольшее и наименьшее значения критического поля Нс1 и Hс2, определяющие границы смешанного состояния, через E, L и термодинамическое критическое поле Нс. Экспериментально установлено, что критические поля Hc1 и Нс2 для хорошо отожженного сплава равны соответственно 300 и 5400 э. Каким будет значение термодинамического критического поля для этого сплава?
23400. Было обнаружено, что критическое значение поля Нс для некоторого сверхпроводящего сплава равно 400 э и что при наложении поля 500 э намагниченность такого сплава уменьшается до половины его отрицательного значения при Нс1. Найти расстояние между центрами вихрей потока, предположив для смешанного состояния справедливость модели Абрикосова.
23401. Зная парамагнитную восприимчивость электронов в нормальном металле, оценить максимальное значение критического поля Нc2, которое может быть получено для сверхпроводника при 0°К. Предположить, что ни один сверхпроводник не обладает критической температурой, превышающей 20 °К.
23402. Экспериментально обнаружено, что в случае деформированного сверхпроводника 2-го рода при полях, значительно меньших Hс2, плотность критического тока lс задается соотношением jc = а/b + H, где а и b — постоянные для образца данного материала, H — локальное поле. Используя это соотношение, найти выражения, описывающие изменение поля Hi внутри длинной цилиндрической трубки с толщиной стенок w, для случая, когда внешнее поле Не возрастает от нуля до некоторой величины Нm и затем вновь уменьшается до нуля. Каково наибольшее значение поля, которое может быть экранировано от внутреннего с помощью трубки из сплава Nb3Sn (толщина стенок трубки 1 см) при 4,2 °К, если а = 5*10^9 э*а*см^-2 и b = 6000 э? Если бы для такого поля потребовалась ловушка внутри трубки, какое внешнее поле нужно было бы приложить сначала?
23403. В случае деформированных сверхпроводников 2-го рода в приемлемо высоких полях соотношение между плотностью критического тока и магнитным полем имеет вид jc ~ a/H. Было найдено, что изменение параметра а в зависимости от температуры подчиняется закону (a - ba)/kT = const. Показать, что эти факты находятся в хорошем соответствии с моделью, согласно которой пучки магнитных потоков закрепляются на дефектах решетки. Используя модель вязкого течения потока, найти зависимость от времени изменения магнитного поля внутри данной тонкостенной сверхпроводящей трубки, для которой выполняется приведенное выше соотношение для параметра а.