Решение задач по физике. Онлайн-база готовых решений.
Поиск по задачам:
Вход на сайт
14787. Найти сечение рассеяния рентгеновых лучей на идеальном монокристалле, состоящем из N одинаковых атомов с формфакторами Fa (q) (считать, что эти формфакторы те же, что и в случае изолированных атомов). Элементарная ячейка имеет форму куба с ребром а, кристалл имеет форму прямоугольного параллелепипеда с ребрами L1, L2, L3, параллельными ребрам элементарной ячейки. Определить положение главных максимумов, убедиться в выполнении уравнения Лауэ (VIII.46). Найти величину сечения в этих максимумах.
14788. Кристалл состоит из кубических элементарных ячеек с ребром a и имеет форму прямой призмы с прямоугольным равнобедренным треугольником в основании (катеты основания L1 = L2, боковое ребро L3). Определить положения главных максимумов, найти величину сечения в этих максимумах.
14789. Найти распределение интенсивности в дифракционном пятне вблизи одного из главных максимумов при рассеянии рентгеновых лучей на монокристалле, рассмотренном в задаче 505. Волновой вектор падающих рентгеновых лучей параллелен ребру L3, а k >> 1/a. Определить ширину дифракционного максимума и полное сечение, отвечающее рассеянию в пределах одного дифракционного пятна.
14790. Вычислить распределение интенсивности в дифракционном пятне вокруг главного максимума при произвольном направлении падения и произвольном соотношении между k и 1/а. Рентгеновы лучи рассеиваются на монокристалле, имеющем форму прямоугольного параллелепипеда с ребрами L1, L2, L3.
14791. Решить предыдущую задачу для случая рассеяния на монокристаллическом образце шарообразной формы (радиус R).
14792. Определить типы волн, которые могут распространяться в прямоугольном волноводе с идеально проводящими стенками (длины сторон a, b). Найти для них закон дисперсии и конфигурации полей (т.е. зависимость компонент поля от координат).
14793. Определить коэффициенты затухания a разных типов волн в прямоугольном волноводе. Поверхностный импеданс стенок волновода e задан.
14794. Бесконечно протяженный диэлектрический слой заполняет в вакууме область —a < x < a и имеет проницаемости e и ц. Показать, что такой слой может действовать как волновод (для этого нужно, чтобы поле бегущей электромагнитной волны концентрировалось, в основном, внутри слоя). Определить типы волн, которые могут распространяться в таком волноводе. Ограничиться случаем, когда векторы поля не зависят от координаты y.
14795. Диэлектрический слой с проницаемостями e, ц, заполняющий область 0 < x < a, нанесен на поверхность идеального проводника. В области x > a — вакуум. Какие типы электромагнитных волн с амплитудой, убывающей при удалении от слоя, могут распространяться вдоль слоя? Сравнить возможные типы волн с системой волн, полученной в предыдущей задаче.
14796. Найти возможные типы волн в круглом волноводе радиуса a, считая его стенки идеально проводящими. Определить граничную частоту w0 для такого волновода.
14797. Используя результат предыдущей задачи, найти коэффициенты затухания a разных типов волн в круглом волноводе. Поверхностный импеданс стенок e задан.
14798. Определить фазовую vф и групповую vg скорости волн в прямоугольном и круглом волноводах с идеально проводящими стенками. Построить их зависимость от L = 2пc/w.
14799. Определить фазовую vф и групповую vg скорости волн в волноводе геометрическим методом. Для этого рассмотреть простейшую волну типа H10 в прямоугольном волноводе, разложить ее на плоские волны и исследовать отражение этих волн от стенок волновода.
14800. Исследовать структуру поперечной электромагнитной волны в идеально проводящей коаксиальной линии (большой и малый радиусы соответственно b и a). Подсчитать средний поток энергии y вдоль линии. Рассмотреть предельный случай одиночного идеально проводящего провода.
14801. Определить возможные типы непоперечных электромагнитных волн в коаксиальной линии с идеально проводящими стенками (радиусы a и b > a).
14802. Определить коэффициент затухания a поперечной электромагнитной волны в коаксиальной линии. Заданы радиусы a, b > a и поверхностный импеданс e = e, + ie".
14803. Рассмотреть распространение аксиально симметричной волны электрического типа вдоль одиночного бесконечно длинного цилиндрического проводника с конечной проводимостью, находящегося в вакууме. Определить фазовую скорость волны. Показать, что в случае идеально проводящего провода волна перейдет в поперечную электромагнитную волну (Использовать приближенное граничное условие Леонтовича).
14804. Аксиально симметричная E-волна распространяется в круглом волноводе радиуса b, частично заполненном диэлектриком. Диэлектрик имеет проницаемость e и занимает область a < r < b. Считая a << b, определить зависимость фазовой скорости от частоты и граничную частоту. При каких условиях фазовая скорость будет меньше c? Рассмотреть предельный случай волновода, полностью заполненного диэлектриком.
14805. Между двумя идеально проводящими плоскостями x = +/- a (рис. а) помещена в плоскости у = 0 лестничная перегородка (рис. б), состоящая из тонких металлических полосок, ориентированных вдоль оси х. Расстояния между полосками и их ширина малы по сравнению с длиной волны. Область у > 0 над лестничной перегородкой заполнена диэлектриком с проницаемостью е, в области у < 0 — воздух. Найти возможные типы бегущих волн, которые могут распространяться в такой системе вдоль оси z. Как связана постоянная распространения этих волн с частотой?
14806. Прямоугольный волновод с поперечным сечением a х b и идеально проводящими стенками заполнен ферродиэлектриком. Постоянное магнитное поле приложено перпендикулярно широкой стенке волновода (вдоль оси у). Тензоры электрической и магнитной проницаемостей ферродиэлектрика имеют вид #### . Определить составляющие электромагнитного поля, постоянную распространения и граничную частоту волновода для случая, когда поле не зависит от y.
14807. Электрическое и магнитное поля в волноводе с идеально проводящими стенками, не содержащем диэлектрика, описываются функциями ####. Если в волновод вставить диэлектрический сердечник, имеющий форму цилиндра произвольного сечения с осью, параллельной оси волновода, то поля в волноводе примут вид ####. Диэлектрик в общем случае может характеризоваться тензорными параметрами eik, цik- Показать с помощью уравнений Максвелла, что постоянная распространения изменится на величину ####, где deik = eik — 1, dцik = цik — 1, интеграл в числителе берется по площади сечения диэлектрического стержня (dS), интеграл в знаменателе — по площади сечения волновода (S).
14808. В прямоугольный волновод с идеально проводящими стенками вносится ферродиэлектрическая пластинка толщиной d << a, намагниченная вдоль оси волновода (рис.). Пользуясь формулой, полученной в предыдущей задаче, определить с точностью до членов порядка d изменение dk постоянной распространения волны типа H10. Диэлектрическая проницаемость пластинки — скалярная величина, тензор ее магнитной проницаемости приведен в условии задачи 435.
14809. В коаксиальный волновод (рис.) вставлена тонкая феррито-вая пластина (d < a, b), намагниченная вдоль оси волновода. Определить изменение dk постоянной распространения поперечной электромагнитной волны.
14810. Решить предыдущую задачу для случая, когда постоянное подмагничивающее поле H0 направлено перпендикулярно оси волновода. Рассмотреть два направления этого поля: а) H0 перпендикулярно широкой грани пластинки; б) H0 перпендикулярно узкой грани пластинки.
14811. Определить типы собственных колебаний в полом резонаторе с идеально проводящими стенками. Резонатор имеет форму прямоугольного параллелепипеда, его размеры a х b х h.
14812. Определить число собственных колебаний dN (w), приходящихся на интервал частот dw; в полом резонаторе объема V, рассмотренном в предыдущей задаче. Считать, что выполняются неравенства dw << w и dN >> 1.
14813. Резонатор имеет форму прямого кругового цилиндра высотой h и радиуса а. Считая стенки резонатора идеально проводящими, найти частоты собственных колебаний. Рассмотреть колебания электрического и магнитного типов.
14814. Две круглые металлические пластинки радиуса R находятся на малом расстоянии d друг от друга, образуя конденсатор. Обкладки конденсатора замкнуты проводником толщиной 2а, имеющим форму кольца радиуса b (рис.). Найти собственную частоту колебаний такого «открытого резонатора», предполагая применимым квазистационарное приближение. Все проводники считать идеально проводящими.
14815. Найти собственную частоту w0 колебаний системы, изображенной на рис., предполагая, что соответствующая ей длина волны L0 велика по сравнению с размерами системы. Потерями энергии и краевыми эффектами пренебречь.
14816. Для уменьшения потерь энергии на излучение вместо открытого колебательного контура (см. рис.) используют закрытый резонатор, состоящий из соединенных вместе тороидальной камеры и плоского конденсатора с круглыми пластинами (его разрез и размеры показаны на рис. 36). Найти собственную частоту w0 основного типа колебаний такого резонатора в квазистационарном приближении. При каких условиях применимо такое приближение? Стенки резонатора считать идеально проводящими.
14817. Решить предыдущую задачу для тороидального резонатора с камерой прямоугольного сечения (рис.).
14818. Резонатор представляет собой цилиндр кругового сечения (внутренний радиус b, высота h), вдоль оси которого вставлен идеально проводящий стержень радиуса a (рис.). Стенки цилиндра также обладают идеальной проводимостью. Между стержнем и одним из торцов цилиндра оставлен зазор d. Найти собственные частоты поперечных относительно оси системы электромагнитных колебаний, считая, что длина волны этих колебаний много больше зазора d (но не высоты h цилиндра). Как изменится спектр колебаний при d — > 0?
14819. Известны собственные частоты колебаний wv и собственные функции Ev, Hv, резонатора с идеально проводящими стенками. Вычислить изменение собственных частот, вызванное конечной проводимостью стенок резонатора. Поверхностный импеданс e стенок мал.
14820. Полый резонатор имеет форму куба со стороной a. Проводимость стенок s, магнитная проницаемость ц = 1. Вычислить добротность резонатора для произвольного типа колебаний. Как она зависит от частоты? При каких частотах резонансные свойства системы исчезнут?
14821. Полый резонатор, стенки которого имеют поверхностный импеданс e, возбуждается сторонним током j (r) e^-iwt, текущим внутри резонатора. Частота тока от близка к одной из собственных частот резонатора. Найти электромагнитное поле, возбуждаемое в резонаторе, и его зависимость от частоты w вблизи резонанса.
14822. Открытый резонатор инфракрасного диапазона состоит из двух параллельных круглых зеркал диаметром D, находящихся на расстоянии L друг против друга (рис.). Пусть собственное колебание такой системы реализуется в виде двух волн с L << L, D, распространяющихся перпендикулярно плоскостям зеркал навстречу друг другу и образующих стоячую электромагнитную волну. Оценить по порядку величины добротность такого резонатора в приближении геометрической оптики. Учесть потери энергии при отражениях от зеркал (коэффициент отражения R) и излучение через боковую поверхность резонатора за счет дифракции. Параметры резонатора: D = L = 1 см; R = 0,95; L = 3*10-4 см.
14823. Зеркала открытого резонатора, рассмотренного в предыдущей задаче, слегка непараллельны. Угол между их плоскостями b << 1. Оценить дополнительные потери на излучение и соответствующий вклад в добротность резонатора, обусловленный непараллельностью зеркал. Какие значения угла b допустимы без существенного уменьшения полной добротности резонатора?
14824. В резонаторе, образованном двумя параллельными зеркалами (см. рис.), собственные колебания с L << L, D осуществляются в виде стоячих волн в пространстве между зеркалами. Рассмотреть тот тип колебаний, в котором волновой вектор стоячей волны составляет малый угол v с нормалью к плоскостям зеркал. а) Найти условие, определяющее возможные значения v при заданной Л. б) Оценить по порядку величины добротность резонатора как функцию угла v. Рассмотреть различные соотношения между потерями в зеркалах и потерями на излучение.
14825. Пусть система S, движется относительно системы S со скоростью V вдоль оси х. Часы, покоящиеся в S, в точке (x,0, y,0, z,0), в момент t,0 проходят мимо точки (x0, y0, z0) в системе S, где находятся часы, показывающие в этот момент время t0. Написать формулы преобразования Лоренца для этого случая.
14826. Система S, движется относительно системы S со скоростью V. В момент, когда начала координат совпадали, находившиеся там часы обеих систем показывали одно и то же время t = t, = 0. Какие координаты в каждой из этих систем в дальнейшем будет иметь мировая точка, обладающая тем свойством, что находящиеся в ней часы систем S и S, показывают одно и то же время t = t,? Определить закон движения этой точки.
14827. Пусть для измерения времени используется периодический процесс отражения светового «зайчика» попеременно от двух зеркал, укрепленных на концах стержня длиной l. Один период — это время движения «зайчика» от одного зеркала до другого и обратно. Световые часы неподвижны в системе S, и ориентированы параллельно направлению движения. Пользуясь постулатом о постоянстве скорости света, показать, что интервал собственного времени от выражается через промежуток времени dt в системе S формулой (Х.7).
14828. «Поезд» A,B, длина которого l0 = 8,64*108 км в системе, где он покоится, идет со скоростью V = 240000 км/сек мимо «платформы», имеющей такую же длину в своей системе покоя. В голове B, и хвосте A, «поезда» имеются одинаковые часы, синхронизованные между собой. Такие же часы установлены в начале (A) и в конце (В) «платформы». В тот момент, когда голова «поезда» поравнялась с началом «платформы», совпадающие часы показывали 12 час 00 мин. Ответить на следующие вопросы: а) можно ли утверждать, что в этот момент в какой-либо системе отсчета все часы также показывают 12 час 00мин; б) сколько показывают каждые из часов в момент, когда хвост «поезда» поравнялся с началом «платформы»; в) сколько показывают часы в момент, когда голова «поезда» поравнялась с концом «платформы»?
14829. Какой промежуток времени dt занял бы по земным часам полет ракеты до звездной системы Проксима-Центавра и обратно (расстояние до нее 4 световых года), если бы он осуществлялся с постоянной скоростью v = |/0,9999 с? Из расчета какой длительности путешествия следовало бы запасаться продовольствием и другим снаряжением? Каков запас кинетической энергии в такой ракете, если ее масса 10т?
14830. Два масштаба, каждый из которых имеет длину покоя l0, равномерно движутся навстречу друг другу параллельно общей оси x. Наблюдатель, связанный с одним из них, заметил, что между совпадением левых и правых концов масштабов прошло время dt. Какова относительная скорость v масштабов? В каком порядке совпадают их концы для наблюдателей, связанных с каждым из масштабов, а также для наблюдателя, относительно которого оба масштаба движутся с одинаковой скоростью в противоположные стороны?
14831. Вывести формулы лоренцова преобразования от системы S, к системе S для радиуса-вектора r и времени t, не предполагая, что скорость V системы S, относительно S параллельна оси х. Результат представить в векторной форме.
14832. Записать формулы преобразования Лоренца для произвольного 4-вектора Аi = (A, A4), не предполагая, что скорость V системы S, относительно S параллельна оси х.
14833. Вывести формулы сложения скоростей для случая, когда скорость V системы S, относительно S имеет произвольное направление. Формулы представить в векторном виде.
14834. Происходит три последовательных преобразования системы отсчета: 1) переход от системы S к системе S,, двигающейся относительно S со скоростью V, параллельной оси х; 2) переход от системы S, к системе S", двигающейся относительно S, со скоростью v, параллельной оси у,; 3) переход от системы S" к системе S,", двигающейся относительно S,, со скоростью, равной релятивистской сумме скоростей — v и —V. Доказать, что система S,,,, как и следует ожидать, неподвижна относительно S и t,,, = t, однако повернута относительно S на некоторый угол в плоскости ху (томасовская прецессия). Вычислить угол ф томасовской прецессии.
14835. Два масштаба, каждый из которых имеет в своей системе покоя длину l0, движутся навстречу друг другу с равными скоростями v относительно некоторой системы отсчета. Какова длина l каждого из масштабов, измеренная в системе отсчета, связанной с другим масштабом?
14836. Два пучка электронов летят навстречу друг другу со скоростями v = 0,9 с относительно лабораторной системы координат. Какова относительная скорость V электронов: а) с точки зрения наблюдателя в лаборатории; б) с точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с одним из пучков электронов?
14837. Эффекты, возникающие при столкновении двух элементарных частиц, не зависят от равномерного движения этих частиц, как целого; эти эффекты определяются лишь их относительной скоростью. Одну и ту же относительную скорость можно сообщить сталкивающимся частицам двумя способами (предполагается для простоты, что частицы обладают одинаковой массой m): а) один ускоритель разгоняет частицы до энергии E, затем быстрые частицы ударяются о неподвижную мишень из тех же частиц; б) два одинаковых ускорителя расположены так, чтобы создаваемые ими пучки частиц были направлены навстречу друг другу; каждый из ускорителей при этом должен разгонять частицы до энергии E0 < E. Сравнить между собой значения E и E0. Рассмотреть, в частности, ультрарелятивистский случай.
14838. Найти формулы преобразования ускорения v для случая, когда система S,, движется относительно системы S с произвольно направленной скоростью V. Представить эти формулы преобразования в векторном виде.
14839. Выразить компоненты четырехмерного ускорения wi через обычное ускорение v и скорость v частицы. Найти w2. Пространственноподобно или времениподобно четырехмерное ускорение?
14840. Выразить ускорение v, частицы в мгновенно сопутствующей ей инерциальной системе через ее ускорение v в лабораторной системе. Рассмотреть случаи, когда скорость v частицы меняется только по величине или только по направлению.
14841. Релятивистская частица совершает «равноускоренное» одномерное движение (ускорение v = w постоянно в собственной системе отсчета). Найти зависимость скорости v (t) и координаты x (t) частицы от времени t в лабораторной системе отсчета, если начальная скорость vo, а начальная координата x0 Рассмотреть, в частности, нерелятивистский и ультрарелятивистский пределы.
14842. Ракета, рассматривавшаяся в задаче 550, разгоняется от состояния покоя до скорости v = |/0,9999 с. Ускорение ракеты составляет |v| = 20 м/сек2 в системе, мгновенно сопутствующей ракете. Сколько времени продлится разгон ракеты по часам в неподвижной системе отсчета и по часам в ракете?
14843. Частица движется со скоростью v и ускорением v, так что за малый промежуток времени dt ее скорость в лабораторной системе S меняется на величину dv = vdt. Пусть S, — инерциальная система, мгновенно сопутствующая частице в момент t, a S,, — такая же система для момента времени t + dt. Пользуясь преобразованиями Лоренца, показать с точностью до членов, линейных по dv, что координаты и время в этих системах связаны формулами: ####. Какой геометрический смысл имеют преобразования (1)? Какой вид приобретают формулы (2) при v << c в первом неисчезающем приближении?
14844. Относительно системы S движутся система S, со скоростью V и два тела со скоростями v1 и v2. Каков угол a между скоростями этих тел при наблюдении в системе S и в системе S,?
14845. Что происходит с углом между скоростями двух тел предыдущей задачи, когда скорость системы S, относительно S стремится к c?
14846. В некоторый момент времени направление луча света от звезды составляет угол v с орбитальной скоростью v Земли (в системе, связанной с Солнцем). Найти изменение направления от Земли на звезду за полгода (аберрация света), не делая приближений, связанных с малостью v/c.
14847. Найти форму видимой кривой, описываемой звездой на небосводе вследствие годичной аберрации. Полярные координаты звезды в системе, связанной с Солнцем, v, а (полярная ось проведена перпендикулярно плоскости земной орбиты). Орбитальная скорость Земли v << с.
14848. Пучок света в некоторой системе отсчета образует телесный угол dQ. Как изменится этот угол при переходе к другой инерциальной системе отсчета?
14849. Если считать, что звезды в ближайшей к нам части Галактики распределены равномерно, то каково будет их распределение dN/dQ, для наблюдателя в ракете, летящей со скоростью, близкой к скорости света?
14850. Найти формулы преобразования частоты w (эффект Допплера) и волнового вектора k плоской монохроматической световой волны при переходе от одной инерциальной системы к другой. Направление относительной скорости V произвольно.
14851. Найти частоту w световой волны, наблюдаемую при поперечном эффекте Допплера (направление распространения света перпендикулярно к направлению движения источника в системе, связанной с приемником света). Каково направление распространения рассматриваемой волны в системе, связанной с источником?
14852. Длина волны света, излучаемого некоторым источником, в той системе, в которой источник покоится, равна L0. Какую длину волны L зарегистрируют: а) наблюдатель, приближающийся со скоростью V к источнику и б) наблюдатель, удаляющийся с такой же скоростью от источника?
14853. Источник, испускающий свет частоты w0 изотропно во все стороны в своей системе отсчета, движется равномерно и прямолинейно относительно наблюдателя со скоростью V, проходя от него в момент наибольшего сближения на прицельном расстоянии d. Число фотонов, излучаемых в единицу времени в единицу телесного угла (интенсивность потока фотонов), равно Jo в системе покоя источника. Найти зависимость частоты w и интенсивности J потока фотонов, регистрируемого наблюдателем, от угла между направлением луча и скорости V. При каких углах Q = Qо регистрируемые частота и интенсивность потока фотонов совпадут с w0 и J0? Какая доля фотонов регистрируется наблюдателем в интервалах 0 < Q < Q0 и Q0 < Q < п? Начертить графики зависимостей w (Q) и J (Q) для V/c = 1/3 и V/c = 4/5. Какой характер имеют эти зависимости при V/c - > 1?
14854. Найти угловое распределение силы света I (световая энергия, излучаемая в единицу времени в единицу телесного угла), а также полный световой поток от источника света, рассмотренного в предыдущей задаче.
14855. Зеркало движется нормально к собственной плоскости со скоростью V. Найти закон отражения плоской монохроматической волны от такого зеркала (заменяющий закон равенства углов падения и отражения при V = 0), а также закон преобразования частоты при отражении. Рассмотреть, в частности, случай V — > с.
14856. Решить предыдущую задачу для случая, когда зеркало перемещается поступательно вдоль собственной плоскости.
14857. Непрозрачный куб с ребром l0 в своей системе покоя движется относительно наблюдателя со скоростью V (рис.). Наблюдатель фотографирует его в момент, когда лучи света, испускаемые поверхностью куба, приходят в объектив фотоаппарата под прямым углом к направлению движения (в системе фотоаппарата). Куб виден под малым телесным углом, вследствие чего лучи, приходящие от разных точек куба, можно считать параллельными. Какой вид будет иметь изображение на фотопластинке? Составить чертеж изображения, нанести на него те вершины и ребра куба, которые будут сфотографированы. Вычислить их относительные длины. Изображению какого неподвижного предмета эквивалентна полученная фотография? Какой вид приняло бы изображение движущегося куба, если бы были справедливы преобразования Галилея?
14858. Тонкий стержень M,N, неподвижен в системе S,, имеет в ней длину l0 и ориентирован так, как показано на рис. Система S, движется со скоростью V || Ох относительно фотопластинки АВ, покоящейся в системе S. В момент прохождения стержня мимо фотопластинки происходит короткая световая вспышка, при которой лучи света падают нормально к плоскости ху фотопластинки. а) Какова длина l изображения на фотопластинке? Может ли она стать равной или превысить l0? б) При каком угле наклона a, сфотографируется только торец стержня? в) Каков угол наклона a стержня к оси Ох?
14859. Шар, движущийся со скоростью V, фотографируется неподвижным наблюдателем под малым телесным углом. Лучи света от шара падают параллельным пучком на объектив фотоаппарата, составляя прямой угол с направлением скорости V. Какую форму будет иметь изображение на фотопластинке? Какая часть поверхности шара будет сфотографирована?
14860. Пусть движущийся непрозрачный куб фотографируется неподвижным наблюдателем в момент, когда лучи, приходящие от куба, составляют произвольный угол а с направлением скорости V куба (в системе наблюдателя). Телесный угол, под которым виден куб, мал, вследствие чего лучи приходят параллельным пучком и падают на фотопластинку нормально к ее поверхности (рис.). Показать, что фотография должна совпадать с фотографией неподвижного, но повернутого на некоторый угол куба. Найти угол поворота изображения при разных значениях V и фиксированном а. При каком значении V будет сфотографирована одна грань А,В,? одна грань В,С,1
14861. Ввести волновой 4-вектор, описывающий распространение плоской монохроматической волны в движущейся со скоростью V в среде с показателем преломления n (фазовая скорость волны в неподвижной среде v, = c/n). Найти формулы преобразования частоты, угла распространения и фазовой скорости.
14862. Плоская волна распространяется в движущейся со скоростью V среде в направлении перемещения среды. Длина волны в вакууме L. Найти скорость v; волны относительно лабораторной системы (опыт Физо). Показатель преломления n определяется в системе S,, связанной со средой, и зависит от длины волны L, в этой системе. Вычисления проводить с точностью до первого порядка по V/c.
14863. Найти, на какие трехмерные тензоры расщепляется 4-тензор II ранга при пространственных поворотах.
14864. Показать, что компоненты антисимметричного 4-тензора II ранга преобразуются при пространственных поворотах как компоненты двух независимых трехмерных векторов.
14865. Составить 4-вектор из частных производных dф/dxi (i = 0,1,2,3), где ф — скаляр. Найти выражение для компонент Vi оператора четырехмерного градиента.
14866. Составить 4-вектор Tik из частных производных dAi/dxk (r, k = 0,1,2,3), где Ai — 4-вектор. Показать, что 4-дивиргенция ViAi является инвариантом, где Vi — оператор 4-градиента, введенный в предыдущей задаче.
14867. Найти закон преобразования величин: a) Ai2; б) TikAk, если Ai — 4-вектор, Tik — 4-тензор.
14868. Два 4-вектора Ai и Bi называются параллельными, если A0/B0 = A1/B1 = A2/B2 = A3/B3. Доказать, что отношение одноименных компонент параллельных 4-векторов инвариантно относительно преобразования Лоренца.
14869. Сколько существенно различных компонент имеет 4-тензор III ранга, антисимметричный по отношению к перестановке любой пары значков? Показать, что они преобразуются при поворотах как компоненты четырехмерного псевдовектора.
14870. Записать преобразование Лоренца (Х.1) в переменных х1, х2, x3, x0 = ct, выразив величину относительной скорости V через угол a по формуле v/c = th a.
14871. Получить матрицу преобразования g от системы S, к системе S путем перемножения матриц простых преобразований. S, движется относительно S со скоростью V (V/c = tha) в направлении, характеризуемом сферическими углами v, ф. Соответствующие оси S и S, параллельны.
14872. Записать формулы преобразования для векторов поля E, B; D, H и поляризаций Р, М при переходе к системе S,, движущейся относительно системы S с произвольно направленной скоростью V. Представить формулы преобразования в векторном виде.
14873. В системе отсчета S имеется однородное электромагнитное поле E, H. С какой скоростью относительно S должна двигаться система S,, в которой E, || H,? Всегда ли задача имеет решение и единственно ли оно? Чему равны абсолютные значения Е, и Н,?
14874. В системе отсчета S электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны: E _|_ Н. С какой скоростью относительно S должна двигаться система S,, в которой имеется только электрическое или только магнитное поле? Всегда ли существует решение и единственно ли оно?
14875. Бесконечно длинный круговой цилиндр равномерно заряжен с линейной плотностью x. Вдоль оси цилиндра течет равномерно распределенный ток I. Во всем пространстве проницаемости e = ц = 1. Найти такую систему отсчета, в которой существует только электрическое или только магнитное поле. Найти величину этих полей.
14876. Система дифференциальных уравнений для магнитных силовых линий вида dr х Н = 0 (1) не является релятивистски инвариантной и при переходе в другую инерциальную систему не сохраняет своего вида. а) Показать, что для полей некоторого специального вида система уравнений dr x U + cE dt = 0, E*dr = 0 (2) может рассматриваться как релятивистски инвариантное обобщение системы (1). б) Выяснить структуру полей, для которых такое обобщение возможно, путем рассмотрения условий совместности уравнений (2). Сколько независимых уравнений содержится в системе (2)? в) Какой вид имеет условие интегрируемости системы (2)? г) Убедиться в том, что силовые линии, определяемые системой (2), перемещаются в поперечном направлении со скоростью u = сЕ х H/H2, т.е. являются движущимися даже в случае статических полей.
14877. Показать, что релятивистски инвариантная система уравнений для электрических силовых линий, аналогичная системе (2) предыдущей задачи, имеет вид eiklm Flm dxk = 0 (1). Какие требования налагаются на E и H, а также на распределение зарядов и токов условиями совместности и интегрируемости системы (1)? Как перемещаются силовые линии, определяемые системой (1)?
14878. Найти поля ф, A, E, H точечного заряда е, движущегося равномерно со скоростью V, произведя преобразование Лоренца от системы отсчета, в которой заряд покоится.
14879. Показать, что электрическое поле равномерно движущегося точечного заряда «сплющивается» в направлении движения. При этом происходит ослабление поля Е на линии движения заряда по сравнению с кулоновым полем. Как согласуется это ослабление с формулой преобразования Е = Е,?
14880. Электрический диполь с моментом p0 в системе покоя равномерно движется со скоростью V. Найти создаваемое им электромагнитное поле ф, A, E, H.
14881. Получить формулы преобразования электрического р и магнитного m дипольных моментов поляризованного и намагниченного тела при переходе от инерциальной системы отсчета, в которой тело покоится, к другой инерциальной системе.
14882. Незаряженная проволочная петля с током I, имеющая форму прямоугольника a х b, движется равномерно со скоростью V параллельно своей стороне a. Провод имеет конечное сечение. Найти распределение электрических зарядов на петле, а также ее электрический и магнитный моменты, наблюдаемые в лабораторной системе отсчета.
14883. Найти закон релятивистского преобразования джоулева тепла Q, исходя из определения четырехмерной плотности силы.
14884. Найти формулы преобразования компонент тензора энергии импульса Tik при преобразовании Лоренца.
14885. Найти шпур тензора энергии импульса (Х.28), т. е. результат свертывания его по двум значкам.
14886. Электромагнитное поле отлично от нуля лишь внутри некоторого конечного пространственного объема V, в котором отсутствуют заряды. Доказать, что полные энергия и импульс поля образуют 4-вектор.