Решение задач по физике. Онлайн-база готовых решений.
Поиск по задачам:
Вход на сайт
3176.
Двойная звезда — это система из двух звезд, движущихся под действием притяжения вокруг центра инерции системы. Найти расстояние между компонентами двойной звезды, если ее суммарная масса М и период обращения Т.
3177.
Найти потенциальную энергию гравитационного взаимодействия: а) двух материальных точек с массами m± и m2, находящихся на расстоянии r друг от друга; б) материальной точки массы m и тонкого однородного стержня массы М и длины l, если они находятся на одной прямой на расстоянии a друг от друга; определить также силу их взаимодействия.
3178.
Планета массы m движется по эллипсу вокруг Солнца так, что наибольшее и наименьшее расстояния ее от Солнца равны соответственно r1 и r2. Найти момент импульса М этой планеты относительно центра Солнца.
3179.
Доказать с помощью законов сохранения, что полная механическая энергия планеты массы m, движущейся вокруг Солнца по эллипсу, зависит только от его большой полуоси a. Найти формулу зависимости этой энергии от a.
3180.
Планета А движется по эллиптической орбите вокруг Солнца. В момент, когда она находилась на расстоянии r0 от Солнца, ее скорость равнялась v0 и угол между радиус-вектором r0 и вектором скорости v0 составлял α. Найти наибольшее и наименьшее расстояния, на которые удаляется от Солнца эта планета при своем движении.
3181.
Космическое тело А движется к Солнцу, имея вдали от него скорость v0 и прицельный параметр l — плечо вектора v0 относительно центра Солнца (рис. 1.51). Найти наименьшее расстояние, на которое это тело приблизится к Солнцу.
3182.
Частица массы m находится вне однородного шара массы М на расстоянии r от его центра. Найти: а) потенциальную энергию гравитационного взаимодействия частицы и шара; б) силу тяготения, с которой шар действует на частицу.
3183.
Доказать, что сила тяготения, действующая на частицу А внутри однородного сферического слоя вещества, равна нулю.
3184.
Частицу массы m переместили из центра основания однородного полушара массы М и радиуса R на бесконечность. Какую работу совершила при этом гравитационная сила, действующая на частицу со стороны полушара?
3185.
Имеется однородный шар массы М и радиуса R. Найти напряженность G и потенциал φ гравитационного поля этого шара как функции расстояния r от его центра (при r < R и r > R). Изобразить примерные графики зависимостей G(r) и φ(r).
3186.
Внутри однородного шара с плотностью ρ имеется сферическая полость, центр которой находится на расстоянии l от центра шара. Найти напряженность G поля тяготения внутри полости.
3187.
Однородный шар имеет массу М и радиус R. Найти давление р внутри шара, обусловленное гравитационным сжатием, как функцию расстояния r от его центра. Оценить р в центре Земли, считая, что Земля является однородным шаром.
3188.
Найти собственную потенциальную энергию гравитационного взаимодействия вещества, образующего: а) тонкий однородный сферический слой массы m и радиуса R; б) однородный шар массы m и радиуса R (воспользоваться ответом к задаче 1.214).
3189.
Два спутника Земли движутся в одной плоскости по круговым орбитам. Радиус орбиты одного спутника r = 7000 км, радиус орбиты другого — на Δr = 70 км меньше. Через какой промежуток времени спутники будут периодически сближаться на минимальное расстояние?
3190.
Вычислить отношение следующих ускорений: ускорения w1, вызываемого силой тяготения на поверхности Земли, ускорения w2, обусловленного центробежной силой инерции на экваторе Земли, и ускорения w3, сообщаемого телам на Земле Солнцем.
3191.
На какой высоте над полюсом Земли ускорение свободного падения убывает на один процент; в два раза?
3192.
Телу сообщили на полюсе Земли скорость v0, направленную вертикально вверх. Зная радиус Земли и ускорение свободного падения на ее поверхности, найти высоту, на которую поднимется тело. Сопротивлением воздуха пренебречь.
3193.
Искусственный спутник вывели на круговую орбиту вокруг Земли со скоростью v — относительно поступательно движущейся системы отсчета, связанной с осью вращения Земли. Найти расстояние от спутника до поверхности Земли. Радиус Земли и ускорение свободного падения на ее поверхности считать известными.
3194.
Вычислить радиус круговой орбиты стационарного спутника Земли, который остается неподвижным относительно ее поверхности. Каковы его скорость и ускорение в инерциальной системе отсчета, связанной в данный момент с центром Земли?
3195.
Спутник, движущийся по круговой орбите радиуса R = 2,00•104 км в экваториальной плоскости Земли с Запада на Восток, появляется над некоторым пунктом на экваторе через каждые τ = 11,6 ч. Вычислить на основании этих данных массу Земли. Гравитационная постоянная предполагается известной.
3196.
Спутник движется в экваториальной плоскости Земли с Востока на Запад по круговой орбите радиуса R = 1,00•104 км. Найти в системе отсчета, связанной с Землей, его скорость и ускорение.
3197.
Спутник должен двигаться в экваториальной плоскости Земли вблизи ее поверхности по или против направления вращения Земли. Найти в системе отсчета, связанной с Землей, во сколько раз кинетическая энергия спутника во втором случае будет больше, чем в первом.
3198.
Искусственный спутник Луны движется по круговой орбите, радиус которой в η раз больше радиуса Луны. При своем движении спутник испытывает слабое сопротивление со стороны космической пыли. Считая, что сила сопротивления зависит от скорости спутника по закону F = αv2, где α — постоянная, найти время движения спутника до падения на поверхность Луны.
3199.
Вычислить первую и вторую космические скорости для Луны. Сравнить полученные результаты с соответствующими скоростями для Земли.
3200.
Космический корабль подлетает к Луне по параболической траектории, почти касающейся поверхности Луны. В момент максимального сближения с Луной на короткое время был включен тормозной двигатель, и корабль перешел на круговую орбиту спутника Луны. Найти приращение модуля скорости корабля при торможении.
3201.
Космический корабль вывели на круговую орбиту вблизи поверхности Земли. Какую дополнительную скорость необходимо сообщить кораблю, чтобы он смог преодолеть земное тяготение?
3202.
На каком расстоянии от центра Луны находится точка, в которой напряженность результирующего поля тяготения Земли и Луны равна нулю? Считать, что масса Земли в η = 81 раз больше массы Луны, а расстояние между центрами этих планет в n = 60 раз больше радиуса Земли R.
3203.
Какую наименьшую работу надо совершить, чтобы доставить космический корабль массы m = 2,0•103 кг с поверхности Земли на Луну?
3204.
Найти приближенно третью космическую скорость v3, т. е. наименьшую скорость, которую необходимо сообщить телу относительно поверхности Земли, чтобы оно смогло покинуть Солнечную систему. Вращением Земли вокруг собственной оси пренебречь.
3205.
Тонкий однородный стержень АВ массы m = 1,0 кг движется поступательно с ускорением w = 2,0 м/с2 под действием двух антипараллельных сил F1 и F2 (рис. 1.52). Расстояние между точками приложения этих сил a = 20 см. Кроме того, известно, что F2 = 5,0 Н. Найти длину стержня.
3206.
К точке, радиус-вектор которой относительно начала координат О равен r = ai + bj, приложена сила F = Аi + Bj, где a, b, А, B — постоянные, i и j — орты осей х и у. Найти момент N и плечо l силы F относительно точки О.
3207.
К точке с радиус-вектором r1 = ai приложена сила F1 = Aj, а к точке с r2 = bj — сила F2 = Bi. Здесь оба радиус-вектора определены относительно начала координат О, i и j — орты осей х и у, a, b, А и B — постоянные. Найти плечо l равнодействующей силы относительно точки О.
3208.
К квадратной пластинке приложены три силы, как показано на рис. 1.53. Найти модуль, направление и точку приложения равнодействующей силы, если эту точку взять на стороне ВС.
3209.
Найти момент инерции: а) тонкого однородного стержня относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его конец, если масса стержня m и его длина l; б) тонкой однородной прямоугольной пластинки относительно оси, проходящей перпендикулярно к плоскости пластинки через одну из ее вершин, если стороны пластинки aи b, а ее масса m.
3210.
Вычислить момент инерции: а) медного однородного диска относительно оси симметрии, перпендикулярной к плоскости диска, если его толщина b = 2,0 мм и радиус R = 100 мм; б) однородного сплошного конуса относительно его оси симметрии, если масса конуса m и радиус его основания R.
3211.
Показать, что для тонкой пластинки произвольной формы имеется следующая связь между моментами инерции: I1 + I2 = I3, где 1, 2, 3 — три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через одну точку, причем оси 1 и 2 лежат в плоскости пластинки. Используя эту связь, найти момент инерции тонкого круглого однородного диска радиуса R и массы m относительно оси, совпадающей с одним из его диаметров.
3212.
Однородный диск радиуса R = 20 см имеет круглый вырез, как показано на рис. 1.54. Масса оставшейся (заштрихованной) части диска m = 7,3 кг. Найти момент инерции такого диска относительно оси, проходящей через его центр инерции и перпендикулярной к плоскости диска.
3213.
Исходя из формулы для момента инерции однородного шара, найти момент инерции тонкого сферического слоя массы m и радиуса R относительно оси, проходящей через его центр.
3214.
На однородный сплошной цилиндр массы М и радиуса R намотана легкая нить, к концу которой прикреплено тело массы m (рис. 1.55). В момент t = 0 система пришла в движение. Пренебрегая трением в оси цилиндра, найти зависимость от времени: а) угловой скорости цилиндра; б) кинетической энергии всей системы.
3215.
Концы тонких нитей, плотно намотанных на ось радиуса r диска Максвелла, прикреплены к горизонтальной штанге. Когда диск раскручивается, штангу поднимают так, что диск остается неизменно на одной и той же высоте. Масса диска с осью m, момент инерции прибора относительно его оси I. Найти натяжение каждой нити и ускорение штанги.
3216.
Горизонтальный тонкий однородный стержень АВ массы m и длины l может свободно вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец А. В некоторый момент на конец B начала действовать постоянная сила F, которая все время перпендикулярна к первоначальному положению покоившегося стержня и направлена в горизонтальной плоскости. Найти угловую скорость стержня как функцию его угла поворота φ из начального положения.
3217.
В установке (рис. 1.56) известны масса однородного сплошного цилиндра m, его радиус R и массы тел m1 и m2. Скольжения нити и трения в оси цилиндра нет. Найти угловое ускорение цилиндра и отношение натяжений T1/T2 вертикальных участков нити в процессе движения.
3218.
В системе (рис. 1.57) известны массы тел m1 и m2, коэффициент трения k между телом m1 и горизонтальной плоскостью, а также масса блока m, который можно считать однородным диском. Скольжения нити по блоку нет. В момент t = 0 тело m2 начинает опускаться. Пренебрегая массой нити и трением в оси блока, найти работу силы трения, действующей на тело m1, за первые t секунд после начала движения.
3219.
Однородный цилиндр радиуса R раскрутили вокруг его оси до угловой скорости ω0 и поместили затем в угол (рис. 1.58). Коэффициент трения между стенками угла и цилиндром равен k. Сколько оборотов сделает цилиндр до остановки?
3220.
Однородный диск радиуса R раскрутили до угловой скорости ω и осторожно положили на горизонтальную поверхность. Сколько времени диск будет вращаться на поверхности, если коэффициент трения равен k? Давление диска на поверхность считать равномерным.
3221.
Маховик с начальной угловой скоростью ω0 начинает тормозиться силами, момент которых относительно его оси пропорционален квадратному корню из его угловой скорости. Найти среднюю угловую скорость маховика за все время торможения.
3222.
Однородный сплошной цилиндр радиуса R и массы М может свободно вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси О (рис. 1.59). На цилиндр в один ряд намотан тонкий шнур длины l и массы m. Найти угловое ускорение цилиндра в зависимости от длины х свешивающейся части шнура. Считать, что центр тяжести намотанной части шнура находится на оси цилиндра.
3223.
Однородный шар массы m и радиуса R скатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Найти: а) значения коэффициента трения, при которых скольжения не будет; б) кинетическую энергию шара через t секунд после начала движения.
3224.
Однородный цилиндр массы m = 8,0 кг и радиуса R = 1,3 см (рис. 1.60) в момент t = 0 начинает опускаться под действием силы тяжести. Пренебрегая массой нити, найти: а) натяжение каждой нити и угловое ускорение цилиндра; б) зависимость от времени мгновенной мощности, которую развивает сила тяжести.
3225.
Тонкие нити плотно намотаны на концах однородного сплошного цилиндра массы m. Свободные концы нитей прикреплены к потолку кабины лифта. Кабина начала подниматься с ускорением w0. Найти ускорение w' цилиндра относительно кабины и силу F, с которой цилиндр действует (через нити) на потолок.
3226.
На гладкой наклонной плоскости, составляющей угол α = 30° с горизонтом, находится катушка с ниткой, свободный конец которой укреплен, как показано на рис. 1.61. Масса катушки m = 200 г, ее момент инерции относительно собственной оси I = 0,45 г•м2, радиус намотанного слоя ниток r = 3,0 см. Найти ускорение оси катушки.
3227.
Однородный сплошной цилиндр массы m лежит на двух горизонтальных брусьях. На цилиндр намотана нить, за свешивающийся конец которой тянут с постоянной вертикально направленной силой F (рис. 1.62). Найти максимальное значение силы F, при котором цилиндр будет катиться еще без скольжения, если коэффициент трения между ним и брусьями равен k. С каким ускорением wмакс будет перемещаться ось цилиндра?
3228.
На горизонтальной шероховатой плоскости лежит катушка ниток массы m. Ее момент инерции относительно собственной оси I = βmR2, где β — числовой коэффициент, R — внешний радиус катушки. Радиус намотанного слоя ниток равен r. Катушку без скольжения начали тянуть за нить постоянной силой F, направленной под углом α к горизонту (рис. 1.63). Найти: а) модуль и направление вектора ускорения оси катушки; б) работу силы F за первые t секунд после начала движения.
3229.
Установка (рис. 1.64) состоит из двух одинаковых сплошных однородных цилиндров каждый массы m, на которые симметрично намотаны две легкие нити. Найти натяжение каждой нити в процессе движения. Трения в оси верхнего цилиндра нет.
3230.
В системе (рис. 1.65) известны масса m груза А, масса М блока В, момент инерции I блока B относительно его оси и радиусы блока R и 2R. Масса нитей пренебрежимо мала. Найти ускорение груза А после того, как систему предоставили самой себе.
3231.
Сплошной однородный цилиндр А массы m1 может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, которая укреплена на подставке B массы m2 (рис. 1.66). На цилиндр плотно намотана легкая нить, к концу К которой приложили постоянную горизонтальную силу F. Трения между подставкой и опорной горизонтальной плоскостью нет. Найти: а) ускорение точки К; б) кинетическую энергию этой системы через t секунд после начала движения.
3232.
На гладкой горизонтальной плоскости лежит доска массы m1 и на ней однородный шар массы m2. К доске приложили постоянную горизонтальную силу F. С какими ускорениями будут двигаться доска и центр шара в отсутствие скольжения между ними?
3233.
Сплошному однородному цилиндру массы m и радиуса R сообщили вращение вокруг его оси с угловой скоростью ω0. затем его положили боковой поверхностью на горизонтальную плоскость и предоставили самому себе. Коэффициент трения между цилиндром и плоскостью равен k. Найти: а) время, в течение которого движение цилиндра будет происходить со скольжением; б) полную работу силы трения скольжения, действующей на цилиндр.
3234.
Однородный шар радиуса r скатывается без скольжения с вершины сферы радиуса R. Найти угловую скорость шара после отрыва от сферы. Начальная скорость шара пренебрежимо мала.
3235.
Сплошной однородный цилиндр радиуса R = 15 см катится по горизонтальной плоскости, которая переходит в наклонную плоскость, составляющую угол α = 30° с горизонтом (рис. 1.67). Найти максимальное значение скорости v0, при котором цилиндр перейдет на наклонную плоскость еще без скачка. Считать, что скольжения нет.
3236.
На внутренней стороне тонкого жесткого обруча радиуса R прикреплено небольшое тело А, масса которого равна массе обруча. Обруч катится без скольжения по горизонтальной плоскости так, что в моменты, когда тело А оказывается в нижнем положении, скорость центра обруча равна v0 (рис. 1.68). При каких значениях v0 обруч не будет подпрыгивать?
3237.
Найти кинетическую энергию гусеницы трактора, движущегося со скоростью v, если масса гусеницы равна m (рис. 1.69).
3238.
Однородный шар массы m и радиуса r катится без скольжения по горизонтальной плоскости, вращаясь вокруг горизонтальной оси ОА (рис. 1.70). При этом центр шара движется со скоростью v по окружности радиуса R. Найти кинетическую энергию шара.
3239.
Доказать, что на тело массы m в системе отсчета, вращающейся с постоянной угловой скоростью ω вокруг неподвижной оси, действует результирующая: а) центробежная сила инерции Fцб = mω2Rc, где Rc — радиус-вектор центра инерции тела относительно оси вращения; б) сила Кориолиса Fкоp = 2m[v'сω], где v'с — скорость центра инерции тела во вращающейся системе отсчета.
3240.
Середина однородного тонкого стержня АВ массы m и длины l жестко скреплена с осью вращения OO', как показано на рис. 1.71. Стержень привели во вращение с постоянной угловой скоростью ω. Найти результирующий момент центробежных сил инерции относительно точки С — в системе отсчета, связанной с осью OO' и стержнем.
3241.
Конический маятник — тонкий однородный стержень длины l и массы m — вращается равномерно вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω (верхний конец стержня укреплен шарнирно). Найти угол θ между стержнем и вертикалью.
3242.
Однородный кубик со стороной a находится на горизонтальной плоскости с коэффициентом трения k. Кубику сообщили начальную скорость, после чего он прошел некоторое расстояние по плоскости и остановился. Объяснить исчезновение момента импульса кубика относительно оси, лежащей на плоскости и перпендикулярной к направлению движения кубика. Найти расстояние между равнодействующими сил тяжести и нормального давления со стороны опорной плоскости.
3243.
Гладкий однородный стержень АВ массы М и длины l свободно вращается с угловой скоростью ω0 в горизонтальной плоскости вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его конец А. Из точки А начинает скользить по стержню небольшая муфта массы m. Найти скорость v' муфты относительно стержня в тот момент, когда она достигнет его конца В.
3244.
На гладкой горизонтальной поверхности лежит однородный стержень массы m = 5,0 кг и длины l = 90 см. По одному из концов стержня произвели удар в горизонтальном направлении, перпендикулярном к стержню, в результате которого стержню был передан импульс р = 3,0 Н•с. Найти силу, с которой одна половина стержня будет действовать на другую в процессе движения.
3245.
Однородная тонкая квадратная пластинка со стороной l и массы М может свободно вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси, совпадающей с одной из ее сторон. В центр пластинки по нормали к ней упруго ударяется шарик массы m, летевший со скоростью v. Найти: а) скорость шарика v' после удара; б) горизонтальную составляющую результирующей силы, с которой ось будет действовать на пластинку после удара.
3246.
Вертикально расположенный однородный стержень массы М и длины l может вращаться вокруг своего верхнего конца. В нижний конец стержня попала, застряв, горизонтально летевшая пуля массы m, в результате чего стержень отклонился на угол α. Считая m << М, найти: а) скорость летевшей пули; б) приращение импульса системы "пуля — стержень" за время удара; какова причина изменения этого импульса; в) на какое расстояние х от верхнего конца стержня должна попасть пуля, чтобы импульс системы "пуля — стержень" не изменился в процессе удара.
3247.
Горизонтально расположенный однородный диск массы М и радиуса R свободно вращается вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр. Диск имеет радиальную направляющую, вдоль которой может скользить без трения небольшое тело массы m. К телу привязана легкая нить, пропущенная через полую ось диска вниз. Первоначально тело находилось на краю диска и вся система вращалась с угловой скоростью ω. Затем к нижнему концу нити приложили силу F, с помощью которой тело медленно подтянули к оси вращения. Найти: а) угловую скорость системы в конечном состоянии; б) работу, которую совершила сила F.
3248.
Человек массы m1 стоит на краю горизонтального однородного диска массы m2 и радиуса R, который может свободно вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр. В некоторый момент человек начал двигаться по краю диска, совершил перемещение на угол ф' относительно диска и остановился. В процессе движения скорость человека относительно диска зависела от времени по закону v'(t). Пренебрегая размерами человека, найти: а) угол, на который повернулся диск к моменту остановки человека; б) момент силы относительно оси вращения, с которой человек действовал на диск в процессе движения.
3249.
Два горизонтальных диска свободно вращаются вокруг вертикальной оси, проходящей через их центры. Моменты инерции дисков относительно этой оси равны I1 и I2, а угловые скорости — ω1 и ω2. После падения верхнего диска на нижний оба диска благодаря трению между ними начали через некоторое время вращаться как единое целое. Найти: а) установившуюся угловую скорость вращения дисков; б) работу, которую совершили при этом силы трения.
3250.
На гладкой горизонтальной плоскости лежат небольшая шайба и тонкий однородный стержень длины l, масса которого в η раз больше массы шайбы. Шайбе сообщили скорость v — в горизонтальном направлении перпендикулярно к стержню, после чего она испытала упругое соударение с концом стержня. Найти скорость шайбы и угловую скорость стержня после столкновения. При каком значении η скорость шайбы после столкновения будет равна нулю; изменит направление на противоположное?
3251.
На неподвижной платформе Р, которая может свободно поворачиваться вокруг вертикальной оси OO' (рис. 1.72), установлен мотор М и уравновешивающий противовес N. Момент инерции платформы с мотором и противовесом относительно этой оси равен I. На оси мотора укреплена легкая рамка с однородным шаром А, который свободно вращается с угловой скоростью ω0 вокруг оси ВВ', совпадающей с осью OO'. Момент инерции шара относительно оси вращения равен I0. Найти: а) работу, которую совершит мотор, повернув ось ВВ' на 90°; на 180°; б) момент внешних сил, удерживающий ось установки в вертикальном положении после того, как мотор повернет ось ВВ' на 90°.
3252.
Горизонтально расположенный однородный стержень АВ массы m = 1,40 кг и длины l0 = 100 см вращается свободно вокруг неподвижной вертикальной оси 00', проходящей через его конец А. Точка А находится посередине оси 00', длина которой l = 55 см. При каком значении угловой скорости стержня горизонтальная составляющая силы, действующей на нижний конец оси ОО', будет равна нулю? Какова при этом горизонтальная составляющая силы, действующей на верхний конец оси?
3253.
Середина однородного стержня массы m и длины l жестко соединена с вертикальной осью ОО' так, что угол между стержнем и осью равен θ (см. рис. 1.71). Концы оси 00' укреплены в подшипниках. Система вращается без трения с угловой скоростью ω. Найти: а) модуль и направление момента импульса М стержня относительно точки С, а также его момент импульса относительно оси вращения; б) модуль приращения вектора М относительно точки С за пол-оборота; в) момент внешних сил N, действующих на ось 00' при вращении.
3254.
Волчок массы m = 0,50 кг, ось которого наклонена под углом θ = 30° к вертикали, прецессирует под действием силы тяжести. Момент инерции волчка относительно его оси симметрии I = 2,0 г•м2, угловая скорость вращения вокруг этой оси ω = 350 рад/с, расстояние от точки опоры до центра инерции волчка l = 10 см. Найти: а) угловую скорость прецессии волчка; б) модуль и направление горизонтальной составляющей силы реакции, действующей на волчок в точке опоры.
3255.
На полу кабины лифта, которая начинает подниматься с постоянным ускорением w = 2,0 м/с2, установлен гироскоп — однородный диск радиуса R = 5,0 см на конце стержня длины I = 10 см (рис. 1.73). Другой конец стержня укреплен в шарнире О. Гироскоп прецессирует с угловой скоростью n = 0,5 об/с. Пренебрегая трением и массой стержня, найти собственную угловую скорость диска.
3256.
Волчок, масса которого m = 1,0 кг и момент инерции относительно собственной оси I = 4,0 г•м2, вращается с угловой скоростью ω = 310 рад/с. Его точка опоры находится на подставке, которую перемещают в горизонтальном направлении с постоянным ускорением w = 1,0 м/с2. Расстояние между точкой опоры и центром инерции волчка l = 10 см. Найти модуль и направление вектора ω' — угловой скорости прецессии.
3257.
Однородный шар массы m = 5,0 кг и радиуса R = 6,0 см вращается с угловой скоростью ω = 1250 рад/с вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр и укрепленной в подшипниках подставки. Расстояние между подшипниками l = 15 см. Подставку поворачивают вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω' = 5,0 рад/с. Найти модуль и направление гироскопических сил.
3258.
Цилиндрический диск гироскопа массы m = 15 кг и радиуса r = 5,0 см вращается с угловой скоростью ω = 330 рад/с. Расстояние между подшипниками, в которых укреплена ось диска, l = 15 см. Ось вынуждают совершать гармонические колебания вокруг горизонтальной оси с периодом Т = 1,0 с и амплитудой φm = 20°. Найти максимальное значение гироскопических сил, действующих на подшипники со стороны оси диска.
3259.
Корабль движется со скоростью v = 36 км/ч по дуге окружности радиуса R = 200 м. Найти момент гироскопических сил, действующих на подшипники со стороны вала с маховиком, которые имеют момент инерции относительно оси вращения I = 3,8•103 кг•м2 и делают n = 300 об/мин. Ось вращения расположена вдоль корабля.
3260.
Локомотив приводится в движение турбиной, ось которой параллельна осям колес. Направление вращения турбины совпадает с направлением вращения колес. Момент инерции ротора турбины относительно собственной оси I = 240 кг•м2. Найти добавочную силу давления на рельсы, обусловленную гироскопическими силами.
3261.
Какое давление необходимо приложить к торцам стального цилиндра, чтобы длина его не изменилась при повышении температуры на 100 °С?
3262.
Какое давление изнутри (при отсутствии наружного давления) может выдержать: а) стеклянная трубка; б) стеклянная сферическая колба, у которых радиус r = 25 мм и толщина стенок Δr = 1,0 мм?
3263.
Горизонтально расположенный медный стержень длины l = 1,0 м вращают вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину. При какой частоте оборотов он может разорваться?
3264.
Кольцо радиуса r = 25 см, сделанное из свинцовой проволоки, вращают вокруг неподвижной вертикальной сей, проходящей через его центр и перпендикулярной к плоскости кольца. При какой частоте оборотов данное кольцо может разорваться?
3265.
Стальная проволока диаметра d = 1,0 мм натянута в горизонтальном положении между двумя зажимами, находящимися на расстоянии l = 2,0 м друг от друга. К середине проволоки — точке О — подвесили груз массы m = 0,25 кг. На сколько сантиметров опустится точка О?
3266.
Однородный упругий брусок движется по гладкой горизонтальной плоскости под действием постоянной силы F0, равномерно распределенной по торцу. Площадь торца равна S, модуль Юнга материала — Е. Найти относительное сжатие бруска в направлении действия данной силы.
3267.
Тонкий однородный медный стержень длины l и массы m равномерно вращается с угловой скоростью ω в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через один из его концов. Найти силу натяжения в стержне в зависимости от расстояния r до оси вращения, а также удлинение стержня.
3268.
Сплошной медный цилиндр длины l = 65 см поставили на горизонтальную поверхность и сверху приложили вертикальную сжимающую силу F = 1000 Н, которая равномерно распределена по его торцу. На сколько кубических миллиметров изменился при этом объем цилиндра?
3269.
Медный стержень длины l подвесили за один конец к потолку. Найти: а) удлинение стержня Δl под действием его собственного веса; б) относительное приращение его объема ΔV/V.
3270.
Брусок из материала с модулем Юнга Е и коэффициентом Пуассона μ подвергли всестороннему сжатию давлением р. Найти: а) относительное уменьшение его объема; б) связь между коэффициентом сжимаемости р и упругими постоянными Е и μ. Показать, что коэффициент Пуассона μ не может превышать 1/2.
3271.
Стальная балка прямоугольного сечения вмонтирована одним концом в стену (рис. 1.74). Под действием силы тяжести она испытывает некоторый небольшой изгиб. Найти радиус кривизны нейтрального слоя (см. пунктир на рисунке) вблизи точки О, если длина выступающего конца балки I = 6,0 м и ее толщина h = 10 см.
3272.
Изгиб упругого стержня характеризуется формой упругой линии, проходящей через центры тяжести поперечных сечений стержня. Уравнение для определения этой линии при малых изгибах имеет вид N(x) = EI , где N(х) — изгибающий момент упругих сил в сечении с координатой х, Е — модуль Юнга, I — момент инерции поперечного сечения относительно оси, проходящей через нейтральный слой (I =z2dS, рис. 1.75). Пусть стальной стержень квадратного сечения со стороной a вмонтирован одним концом в стенку так, что выступающий конец его имеет длину l (рис. 1.76). Пренебрегая массой стержня, найти когда локомотив идет по закруглению радиуса R = 250 м со скоростью v = 50 км/ч. Расстояние между рельсами l = 1,5 м. Турбина делает n = 1500 об/мин. форму упругой линии и стрелу прогиба X, если на его конец А действует: а) изгибающий момент пары сил N0; б) сила F, направленная вдоль оси у.
3273.
Стальная балка длины l свободно опирается своими концами на два упора (рис. 1.77). Момент инерции ее поперечного сечения равен I (см. предыдущую задачу). Пренебрегая массой балки и считая прогибы малыми, найти стрелу прогиба λ под действием силы F, приложенной к ее середине.
3274.
Стальная балка имеет прямоугольное сечение, высота которого равна h. Воспользовавшись уравнением из задачи 1.301, найти стрелу прогиба к, которая обусловлена собственным весом балки, в двух случаях: а) балка вмонтирована одним концом в стену так, что длина ее выступающего конца равна l (рис. 1.78, а); б) балка длины 2l своими концами свободно опирается на две опоры (рис. 1.78, б).
3275.
Стальная пластинка толщины h имеет форму квадрата со стороной l, причем h << l. Пластинка жестко скреплена с вертикальной осью 00, которую вращают с постоянным угловым ускорением β (рис. 1.79). Найти стрелу прогиба λ, считая изгиб малым.
3276.
Установить связь между крутящим моментом N и углом закручивания φ для: а) трубы, у которой толщина стенок Δr значительно меньше радиуса трубы; б) сплошного стержня круглого сечения. Предполагается, что их длина l, радиус r и модуль сдвига G известны.
3277.
Вычислить момент сил N, которые вызывают закручивание стальной трубы длины l = 3,0 м на угол φ = 2,0° вокруг ее оси, если внутренний и внешний диаметры трубы равны d1 = 30 мм и d2 = 50 мм.
, где N(х) — изгибающий момент упругих сил в сечении с координатой х, Е — модуль Юнга, I — момент инерции поперечного сечения относительно оси, проходящей через нейтральный слой (I =
z2dS, рис. 1.75). Пусть стальной стержень квадратного сечения со стороной a вмонтирован одним концом в стенку так, что выступающий конец его имеет длину l (рис. 1.76). Пренебрегая массой стержня, найти когда локомотив идет по закруглению радиуса R = 250 м со скоростью v = 50 км/ч. Расстояние между рельсами l = 1,5 м. Турбина делает n = 1500 об/мин. форму упругой линии и стрелу прогиба X, если на его конец А действует: а) изгибающий момент пары сил N0; б) сила F, направленная вдоль оси у.
3273.
Стальная балка длины l свободно опирается своими концами на два упора (рис. 1.77). Момент инерции ее поперечного сечения равен I (см. предыдущую задачу). Пренебрегая массой балки и считая прогибы малыми, найти стрелу прогиба λ под действием силы F, приложенной к ее середине.
3274.
Стальная балка имеет прямоугольное сечение, высота которого равна h. Воспользовавшись уравнением из задачи 1.301, найти стрелу прогиба к, которая обусловлена собственным весом балки, в двух случаях: а) балка вмонтирована одним концом в стену так, что длина ее выступающего конца равна l (рис. 1.78, а); б) балка длины 2l своими концами свободно опирается на две опоры (рис. 1.78, б).
3275.
Стальная пластинка толщины h имеет форму квадрата со стороной l, причем h << l. Пластинка жестко скреплена с вертикальной осью 00, которую вращают с постоянным угловым ускорением β (рис. 1.79). Найти стрелу прогиба λ, считая изгиб малым.
3276.
Установить связь между крутящим моментом N и углом закручивания φ для: а) трубы, у которой толщина стенок Δr значительно меньше радиуса трубы; б) сплошного стержня круглого сечения. Предполагается, что их длина l, радиус r и модуль сдвига G известны.
3277.
Вычислить момент сил N, которые вызывают закручивание стальной трубы длины l = 3,0 м на угол φ = 2,0° вокруг ее оси, если внутренний и внешний диаметры трубы равны d1 = 30 мм и d2 = 50 мм.