Вход на сайт |
|
3074.
На горизонтальной плоскости с коэффициентом трения k лежит тело массы m. В момент t = 0 к нему приложили горизонтальную силу, меняющуюся со временем по закону F = at, где a — постоянный вектор. Найти путь, пройденный телом за первые t секунд после начала действия этой силы.
3075.
Тело массы m бросили вертикально вверх со скоростью v0. Найти скорость v', с которой тело упадет обратно, если сила сопротивления воздуха равна kv2, где k — постоянная, v — скорость тела.
3076.
Частица массы m движется в некоторой плоскости Р под действием постоянной по модулю силы F, вектор которой поворачивается в этой плоскости с постоянной угловой скоростью ω. Считая, что в момент t = 0 частица покоилась, найти: а) ее скорость в зависимости от времени; б) путь, проходимый частицей между двумя последовательными остановками, и среднюю скорость за это время.
3077.
Небольшую шайбу А положили на наклонную плоскость, составляющую угол α с горизонтом, и сообщили начальную скорость v0 (рис. 1.27). Найти зависимость скорости шайбы от угла φ, если коэффициент трения k = tg α и в начальный момент φ0 = π/2.
Рис. 1.27 3078. Цепочку длины l поместили на гладкую сферическую поверхность радиуса R так, что один ее конец закреплен на вершине сферы. С каким ускорением w начнет двигаться каждый элемент цепочки, если ее верхний конец освободить? Предполагается, что длина цепочки l < 1/2πR. 3079. Небольшое тело поместили на вершину гладкого шара радиуса R. Затем шару сообщили в горизонтальном направлении постоянное ускорение w0, и тело начало скользить вниз. Найти: а) скорость тела относительно шара в момент отрыва; б) угол θ0 между вертикалью и радиус-вектором, проведенным из центра шара в точку, где происходит отрыв; вычислить θ0 при w0 = g. 3080. Частица массы m равномерно движется по окружности с заданной скоростью v под действием силы F = a/rn, где a и n — постоянные, r — расстояние от центра окружности. При каких значениях n движение по окружности будет устойчивым? Каков радиус такой окружности? 3081. Муфточка А может свободно скользить вдоль гладкого стержня, изогнутого в форме полукольца радиуса R (рис. 1.28). Систему привели во вращение с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси OO'. Найти угол θ, соответствующий устойчивому положению муфточки. Рис. 1.28 3082. Винтовку навели на вертикальную черту мишени, находящейся точно в северном направлении, и выстрелили. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти, на сколько сантиметров и в какую сторону пуля, попав в мишень, отклонится от черты. Выстрел произведен в горизонтальном направлении на широте φ = 60°, скорость пули v = 900 м/с и расстояние до мишени s = 1,0 км. 3083. Горизонтальный диск вращают с постоянной угловой скоростью ω = 6,0 рад/с вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. По одному из диаметров диска движется небольшое тело массы m = 0,50 кг с постоянной относительно диска скоростью v' = 50 см/с. Найти силу, с которой диск действует на это тело в момент, когда оно находится на расстоянии r = 30 см от оси вращения. 3084. Горизонтально расположенный гладкий стержень АВ вращают с постоянной угловой скоростью ω = 2,00 рад/с вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец А. По стержню свободно скользит муфточка массы m = 0,50 кг, движущаяся из точки А с начальной скоростью v0 = 1,00 м/с. Найти действующую на муфточку силу Кориолиса (в системе отсчета, связанной с вращающимся стержнем) в момент, когда муфточка оказалась на расстоянии r = 50 см от оси вращения. 3085. Горизонтальный диск радиуса R вращают с постоянной угловой скоростью ω вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его край. По периферии диска равномерно относительно него движется частица массы m. В момент, когда она оказывается на максимальном расстоянии от оси вращения, результирующая сил инерции Fин, действующих на частицу в системе отсчета "диск", обращается в нуль. Найти: а) ускорение w' частицы относительно диска; б) зависимость Fин от расстояния до оси вращения. 3086. С вершины гладкой сферы радиуса R = 1,00 м начинает соскальзывать небольшое тело массы m = 0,30 кг. Сфера вращается с постоянной угловой скоростью ω = 6,0 рад/с вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Найти в системе отсчета, связанной со сферой, центробежную силу инерции и силу Кориолиса в момент отрыва тела от поверхности сферы. 3087. Поезд массы m = 2000 т движется со скоростью v = 54 км/ч на широте φ = 60°. Определить горизонтальную составляющую F силы давления поезда на рельсы, если путь проложен: а) по меридиану; б) по параллели. 3088. На экваторе с высоты h = 500 м на поверхность Земли падает тело (без начальной скорости относительно Земли). Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти, на какое расстояние и в какую сторону отклонится от вертикали тело при падении. 3089. Частица совершила перемещение по некоторой траектории в плоскости ху из точки 1 с радиус-вектором r1 = i + 2j в точку 2 с радиус-вектором r2 = 2i – 3j. При этом на нее действовали некоторые силы, одна из которых F = 3i + 4j. Найти работу, которую совершила сила F. Здесь r1, r2 и F — в СИ. 3090. Локомотив массы m начинает двигаться со станции так, что его скорость меняется по закону v = a  , где a — постоянная, s — пройденный путь. Найти суммарную работу всех сил, действующих на локомотив, за первые t секунд после начала движения.
3091.
Кинетическая энергия частицы, движущейся по окружности радиуса R, зависит от пройденного пути s по закону Т = as2, где a — постоянная. Найти силу, действующую на частицу, в зависимости от s.
3092.
Тело массы m медленно втащили на горку, действуя силой F, которая в каждой точке направлена по касательной к траектории (рис. 1.29). Найти работу этой силы, если высота горки h, длина ее основания l и коэффициент трения k.
3093.
Шайба массы m = 50 г соскальзывает без начальной скорости по наклонной плоскости, составляющей угол α = 30° с горизонтом, и, пройдя по горизонтальной плоскости расстояние l = 50 см, останавливается. Найти работу сил трения на всем пути, считая всюду коэффициент трения k = 0,15.
3094.
Два бруска с массами m1 и m2, соединенные недеформированной легкой пружинкой, лежат на горизонтальной плоскости. Коэффициент трения между брусками и плоскостью равен k. Какую минимальную постоянную силу нужно приложить в горизонтальном направлении к бруску с массой m1 чтобы другой брусок сдвинулся с места?
3095.
Цепочка массы m = 0,80 кг, длины l = 1,5 м лежит на шероховатом столе так, что один ее конец свешивается у его края. Цепочка начинает сама соскальзывать, когда ее свешивающаяся часть составляет η = 1/3 длины цепочки. Какую работу совершат силы трения, действующие на цепочку, при ее полном соскальзывании со стола?
3096.
Тело массы m бросили под углом α к горизонту с начальной скоростью v0. Найти среднюю мощность, развиваемую силой тяжести за все время движения тела, и мгновенную мощность этой силы как функцию времени.
3097.
Частица массы m движется по окружности радиуса R с нормальным ускорением, которое меняется со временем по закону wn = at2, где a — постоянная. Найти зависимость от времени мощности всех сил, действующих на частицу, а также среднее значение этой мощности за первые t секунд после начала движения.
3098.
Небольшое тело массы m находится на горизонтальной плоскости в точке О. Телу сообщили горизонтальную скорость v0. Найти: а) среднюю мощность, развиваемую силой трения за все время движения, если коэффициент трения k = 0,27, m = 1,0 кг и v0 = 1,5 м/с; б) максимальную мгновенную мощность силы трения, если коэффициент трения меняется по закону k = ax, где α — постоянная, х — расстояние от точки О.
3099.
В системе отсчета, вращающейся вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью ω = 5,0 рад/с, движется небольшое тело массы m = 0,10 кг. Какую работу совершила центробежная сила инерции при перемещении этого тела по произвольному пути из точки 1 в точку 2, которые расположены на расстояниях r1 = 30 см и r2 = 50 см от оси вращения?
3100.
Система состоит из двух последовательно соединенных пружинок с коэффициентами жесткости k1 и k2. Найти минимальную работу, которую необходимо совершить, чтобы растянуть эту систему на Δl.
3101.
Тело массы m начинают поднимать с поверхности Земли, приложив к нему силу F, которую изменяют с высотой подъема у по закону F = 2 (aу – 1) mg, где a — положительная постоянная. Найти работу этой силы и приращение потенциальной энергии тела в поле тяжести Земли на первой половине пути подъема.
3102.
Потенциальная энергия частицы в некотором поле имеет вид U = a/r2 — b/r, где a и b — положительные постоянные, r — расстояние от центра поля. Найти: а) значение r0, соответствующее равновесному положению частицы; выяснить, устойчиво ли это положение; б) максимальное значение силы притяжения; изобразить графики зависимостей U (r) и Fr(r) — проекции силы на радиус-вектор r.
3103.
Потенциальная энергия частицы в некотором двумерном силовом поле имеет вид U = aх2 + βy2, где α и β — положительные постоянные, не равные друг другу. Выяснить: а) является ли это поле центральным; б) какую форму имеют эквипотенциальные поверхности, а также поверхности, для которых модуль вектора силы F = const.
3104.
Имеются два стационарных силовых поля: F = aуi и F = aхi + byj, где i, j — орты осей х и у, a и b — постоянные. Выяснить, являются ли эти поля потенциальными.
3105.
Тело массы m пустили вверх по наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Начальная скорость тела равна v0, коэффициент трения — k. Какой путь пройдет тело до остановки и какова на этом пути работа силы трения?
3106.
Небольшая шайба А соскальзывает без начальной скорости с вершины гладкой горки высоты Н, имеющей горизонтальный трамплин (рис. 1.30). При какой высоте h трамплина шайба пролетит наибольшее расстояние s? Чему оно равно?
3107.
Небольшое тело А начинает скользить с высоты h по наклонному желобу, переходящему в полуокружность радиуса h/2 (рис. 1.31). Пренебрегая трением, найти скорость тела в наивысшей точке его траектории (после отрыва от желоба).
3108.
На нити длины l подвешен шарик массы m. С какой наименьшей скоростью надо начать перемещать точку подвеса в горизонтальном направлении, чтобы шарик стал двигаться по окружности вокруг этой точки? Каково при этом натяжение нити в момент, когда она будет проходить горизонтальное положение?
3109.
На горизонтальной плоскости находятся вертикально расположенный неподвижный цилиндр радиуса R и шайба А, соединенная с цилиндром горизонтальной нитью АВ длины l0 (рис. 1.32, вид сверху). Шайбе сообщили начальную скорость v0, как показано на рисунке. Сколько времени она будет двигаться по плоскости до удара о цилиндр? Трения нет.
3110.
Гладкий резиновый шнур, длина которого l и коэффициент упругости k, подвешен одним концом к точке О (рис. 1.33). На другом конце имеется упор В. Из точки О начинает падать небольшая муфта А массы m. Пренебрегая массами шнура и упора, найти максимальное растяжение шнура.
3111.
На гладкой горизонтальной плоскости лежит небольшой брусок А, соединенный нитями с точкой Р (рис. 1.34) и через невесомый блок — с грузом В той же массы, что и у бруска. Кроме того, брусок соединен с точкой О легкой недеформированной пружинкой длины l0 = 50 см и жесткостью χ = 5 mg/l0, где m — масса бруска. Нить РА пережгли, и брусок начал двигаться. Найти его скорость в момент отрыва от плоскости.
3112.
На горизонтальной плоскости лежит доска и на ней брусок массы m = 1,0 кг, соединенный с точкой О (рис. 1.35) легкой упругой недеформированной нитью длины l0 = 40 см. Коэффициент трения между бруском и доской k = 0,20. Доску начали медленно перемещать вправо до положения, при котором брусок стал скользить по ней. Это произошло в момент, когда нить отклонилась от вертикали на угол θ = 30°. Найти работу, которую совершила к этому моменту сила трения, действующая на брусок, в системе отсчета, связанной с плоскостью.
3113.
Гладкий легкий горизонтальный стержень АВ может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец А. На стержне находится небольшая муфточка массы m, соединенная невесомой пружинкой длины l0 с концом А. Жесткость пружинки равна χ. Какую работу надо совершить, чтобы эту систему медленно раскрутить до угловой скорости ω?
3114.
Через блок, укрепленный к потолку комнаты, перекинута нить, на концах которой подвешены тела с массами m1 и m2. Массы блока и нити пренебрежимо малы, трения нет. Найти ускорение wC центра инерции этой системы.
3115.
Две взаимодействующие между собой частицы образуют замкнутую систему, центр инерции которой покоится. На рис. 1.36 показаны положения обеих частиц в некоторый момент и траектория частицы с массой m1. Построить траекторию частицы с массой m2, если m2 = m1/2.
3116.
Замкнутая цепочка А массы m = 0,36 кг соединена нитью с концом вертикальной оси центробежной машины (рис. 1.37) и вращается с постоянной угловой скоростью ω = 35 рад/с. При этом нить составляет угол θ = 45° с вертикалью. Найти расстояние от центра тяжести цепочки до оси вращения, а также натяжение нити.
3117.
Круглый конус А, масса которого m = 3,2 кг и угол полураствора α = 10°, катится равномерно без скольжения по круглой конической поверхности B так, что его вершина О остается неподвижной (рис. 1.38). Центр тяжести конуса А находится на одном уровне с точкой О и отстоит от нее на l = 17 см. Ось конуса движется с угловой скоростью ω. Найти: а) силу трения покоя, действующую на конус А, если ω = 1,0 рад/с; б) при каких значениях ω движение конуса А будет происходить без скольжения, если коэффициент трения между поверхностями k = 0,25?
3118.
В К-системе отсчета вдоль оси х движутся две частицы: одна массы m1 — со скоростью v1, другая массы m2 — со скоростью v2. Найти: а) скорость v K'-системы отсчета, в которой суммарная кинетическая энергия этих частиц минимальна; б) суммарную кинетическую энергию этих частиц в К'-системе.
3119.
Система отсчета, в которой покоится центр инерции данной системы частиц, движется поступательно со скоростью V относительно инерциальной K-системы отсчета. Масса системы частиц равна m, ее полная энергия в системе центра инерции Е. Найти полную энергию Е этой системы частиц в К-системе отсчета.
3120.
На гладкой горизонтальной плоскости находятся две небольшие шайбы с массами m1 и m2, которые соединены между собой невесомой пружинкой. Шайбам сообщили начальные скорости v1 и v2, направления которых взаимно перпендикулярны и лежат в горизонтальной плоскости. Найти полную энергию этой системы E в системе центра инерции.
3121.
Система состоит из двух шариков с массами m1 и m2, которые соединены между собой невесомой пружинкой. B момент t = 0 шарикам сообщили начальные скорости v1 и v2, после чего система начала двигаться в однородном поле тяжести Земли. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти зависимости от времени полного импульса этой системы в процессе движения и радиус-вектора ее центра инерции относительно его начального положения.
3122.
На гладкой горизонтальной плоскости находятся два бруска с массами m1 и m2, соединенные невесомой пружинкой жесткости χ (рис. 1.39). Брусок 2 переместили влево на небольшое расстояние х и отпустили. Найти скорость центра инерции системы после отрыва бруска 1 от стенки.
3123.
На гладкой горизонтальной плоскости лежат два бруска, соединенные невесомой пружинкой жесткости χ и длины в недеформированном состоянии l0. На один из брусков начали действовать постоянной горизонтальной силой F, как показано на рис. 1.40. Найти максимальное и минимальное расстояния между брусками при дальнейшем движении системы, если массы брусков: а) одинаковы; б) равны m1 и m2, а сила F приложена к бруску с массой m2.
3124.
Система состоит из двух одинаковых кубиков, каждый массы m, между которыми находится сжатая невесомая пружина жесткости χ (рис. 1.41). Кубики связаны нитью, которую в некоторый момент пережигают. Найти: а) при каких значениях Δl — начальном сжатии пружины — нижний кубик подскочит после пережигания нити; б) на какую высоту h поднимется центр тяжести этой системы, если сжатие пружины в начальном положении Δl = 7 mg/χ.
3125.
Две одинаковые тележки 1 и 2, на каждой из которых находится по одному человеку, движутся без трения по инерции навстречу друг другу по параллельным рельсам. Когда тележки поравнялись, с каждой из них на другую перепрыгнул человек — в направлении, перпендикулярном к движению тележек. В результате тележка 1 остановилась, а тележка 2 продолжала двигаться в прежнем направлении так, что ее скорость стала v. Найти первоначальные скорости тележек v1 и v2, если масса каждой тележки (без человека) М, а масса каждого человека m.
3126.
Две одинаковые тележки движутся друг за другом по инерции (без трения) с одной и той же скоростью v0. На задней тележке находится человек массы m. В некоторый момент человек прыгнул в переднюю тележку со скоростью и относительно своей тележки. Имея в виду, что масса каждой тележки равна М, найти скорости, с которыми будут двигаться обе тележки после этого.
3127.
На краю покоящейся тележки массы М стоят два человека, масса каждого из которых равна m. Пренебрегая трением, найти скорость тележки после того, как оба человека спрыгнут с одной и той же горизонтальной скоростью и относительно тележки: 1) одновременно; 2) друг за другом. В каком случае скорость тележки будет больше и во сколько раз?
3128.
Цепочка массы m = 1,00 кг и длины l = 1,40 м висит на нити, касаясь поверхности стола своим нижним концом. После пережигания нити цепочка упала на стол. Найти полный импульс, который она передала столу.
3129.
Стальной шарик массы m = 50 г падает с высоты h = 1,0 м на горизонтальную поверхность массивной плиты. Найти суммарный импульс, который он передаст плите в результате многократных отскакиваний, если при каждом ударе скорость шарика изменяется в η = 0,80 раз.
3130.
Плот массы М с находящимся на нем человеком массы m неподвижно стоит в пруду. Относительно плота человек совершает перемещение 1' со скоростью v'(t) и останавливается. Пренебрегая сопротивлением воды, найти: а) перемещение плота 1 относительно берега; б) горизонтальную составляющую силы, с которой человек действовал на, плот в процессе движения.
3131.
Через неподвижный блок перекинута веревка, на одном конце которой висит лестница с человеком, а на другом — уравновешивающий груз массы М. Человек массы m совершил перемещение 1' относительно лестницы вверх и остановился. Пренебрегая массой веревки, а также трением в оси блока, найти перемещение 1 центра инерции этой системы.
3132.
Пушка массы М начинает свободно скользить вниз по гладкой наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Когда пушка прошла путь l, произвели выстрел, в результате которого снаряд вылетел с импульсом р в горизонтальном направлении, а пушка остановилась. Пренебрегая массой снаряда по сравнению с массой пушки, найти продолжительность выстрела.
3133.
Летевшая горизонтально пуля массы m попала, застряв, в тело массы М, которое подвешено на двух одинаковых нитях длины l (рис. 1.42). В результате нити отклонились на угол Ф. Считая m << М, найти: а) скорость пули перед попаданием в тело; б) относительную долю первоначальной кинетической энергии пули, которая перешла в тепло.
3134.
На гладкой горизонтальной плоскости находится тело массы М (рис. 1.43) и на нем небольшая шайба массы m. Шайбе сообщили в горизонтальном направлении скорость v. На какую высоту (по сравнению с первоначальным уровнем) поднимется шайба после отрыва от тела М? Трения нет.
3135.
Небольшая шайба массы m без начальной скорости соскальзывает с гладкой горки высотой h и попадает на доску массы М, лежащую у основания горки на гладкой горизонтальной плоскости (рис. 1.44). Вследствие трения между шайбой и доской шайба тормозится и, начиная с некоторого момента, движется вместе с доской как единое целое. 1) Найти суммарную работу сил трения в этом процессе. 2) Можно ли утверждать, что полученный результат не зависит от системы отсчета?
3136.
Камень падает без начальной скорости с высоты h на поверхность Земли. В отсутствие сопротивления воздуха к концу падения скорость камня относительно Земли v0 = . Получить эту же формулу, проведя решение в системе отсчета, "падающей" на Землю с постоянной скоростью v0.
3137.
Частица массы 1,0 г, двигавшаяся со скоростью v1 = 3,0i – 2,0j, испытала абсолютно неупругое столкновение с другой частицей, масса которой 2,0 г и скорость v2 = 4,0j – 6,0k. Найти скорость образовавшейся частицы — вектор v и его модуль, — если проекции векторов v1 и v2 даны в системе СИ.
3138.
Найти приращение кинетической энергии замкнутой системы из двух шариков с массами m1 и m2 при их абсолютно неупругом столкновении, если до столкновения скорости шариков были v1 и v2.
3139.
Частица массы m1 испытала абсолютно упругое столкновение с покоившейся частицей массы m2. Какую относительную часть кинетической энергии потеряла налетающая частица, если: а) она отскочила под прямым углом к своему первоначальному направлению движения; б) столкновение лобовое?
3140.
Частица 1 испытала абсолютно упругое столкновение с покоившейся частицей 2. Найти отношение их масс, если: а) столкновение лобовое и частицы разлетелись в противоположных направлениях с одинаковыми скоростями; б) частицы разлетелись симметрично по отношению к первоначальному направлению движения частицы 1 и угол между их направлениями разлета θ = 60°.
3141.
Шар, двигавшийся поступательно, испытал упругое соударение с другим, покоившимся, шаром той же массы. При соударении угол между прямой, проходящей через центры шаров, и направлением первоначального движения налетающего шара оказался равным α = 45°. Считая шары гладкими, найти долю η кинетической энергии налетающего шара, которая перешла в потенциальную энергию в момент наибольшей деформации.
3142.
Снаряд, летящий со скоростью v = 500 м/с, разрывается на три одинаковые осколка так, что кинетическая энергия системы увеличивается в η = 1,5 раза. Какую максимальную скорость может иметь один из осколков?
3143.
Частица 1, имевшая скорость v = 10 м/с, испытала лобовое столкновение с покоившейся частицей 2 той же массы. В результате столкновения кинетическая энергия системы уменьшилась на η = 1,0%. Найти модуль и направление скорости частицы 1 после столкновения.
3144.
Частица массы m испытала столкновение с покоившейся частицей массы М, в результате которого частица m отклонилась на угол π/2, а частица М отскочила под углом θ = 30° к первоначальному направлению движения частицы m. На сколько процентов и как изменилась кинетическая энергия этой системы после столкновения, если М/m = 5,0?
3145.
Замкнутая система состоит из двух частиц с массами m1 и m1, которые движутся под прямым углом друг к другу со скоростями v1 и v2. Найти в системе отсчета, связанной с их центром инерции: а) импульс каждой частицы; б) суммарную кинетическую энергию обеих частиц.
3146.
Частица массы m1 испытала абсолютно упругое соударение с покоившейся частицей массы m2, причем m1 > m2. Найти максимальный угол, на который может отклониться налетающая частица в результате соударения.
3147.
На гладкой горизонтальной плоскости лежат три одинаковые шайбы А, B и С (рис. 1.45). Шайбе А сообщили скорость v, после чего она испытала абсолютно упругое соударение одновременно с шайбами B и С. Расстояние между центрами шайб A и B до соударения было в η раз больше диаметра каждой шайбы. Найти скорость шайбы А после соударения. При каком значении η шайба А после соударения отскочит назад; остановится; будет двигаться вперед?
3148.
Молекула испытала соударение с другой, покоившейся, молекулой той же массы. Показать, что угол между направлениями разлета молекул: а) равен 90°, если соударение абсолютно упругое; б) отличен от 90°, если соударение неупругое.
3149.
Ракета выпускает непрерывную струю газа, имеющую скорость и относительно ракеты. Расход газа равен μ кг/с. Показать, что уравнение движения ракеты: mw = F – μu, где m — масса ракеты в данный момент, w — ее ускорение, F — внешняя сила.
3150.
Ракета движется в отсутствие внешних сил, выпуская непрерывную струю газа со скоростью u, постоянной относительно ракеты. Найти скорость ракеты v в момент, когда ее масса равна m, если в начальный момент она имела массу m0 и ее скорость была равна нулю. Воспользоваться формулой, приведенной в предыдущей задаче.
3151.
Найти закон изменения массы ракеты со временем, если ракета движется в отсутствие внешних сил с постоянным ускорением w, скорость истечения газа относительно ракеты постоянна и равна u, а ее масса в начальный момент равна m0.
3152.
Космический корабль массы m0 движется в отсутствие внешних сил с постоянной скоростью v0. Для изменения направления движения включили реактивный двигатель, который стал выбрасывать струю газа с постоянной относительно корабля скоростью и, все время перпендикулярной к направлению движения корабля. В конце работы двигателя масса корабля стала равной m. На какой угол α изменилось направление движения корабля за время работы двигателя?
3153.
Тележка с песком движется по горизонтальной плоскости под действием постоянной силы F, совпадающей по направлению с ее вектором скорости. При этом песок высыпается через отверстие в дне с постоянной скоростью μ кг/с. Найти ускорение и скорость тележки в момент t, если в момент t = 0 тележка с песком имела массу m0 и ее скорость была равна нулю. Трением пренебречь.
3154.
Платформа массы m0 начинает двигаться вправо под действием постоянной горизонтальной силы F (рис. 1.46). Из неподвижного бункера на нее высыпается песок. Скорость погрузки постоянна и равна μ кг/с. Найти зависимость от времени скорости и ускорения платформы в процессе погрузки. Трение пренебрежимо мало.
3155.
Цепочка АВ длины l находится в гладкой горизонтальной трубке так, что часть ее длины h свободно свешивается, касаясь своим концом B поверхности стола (рис. 1.47). В некоторый момент конец А цепочки отпустили. С какой скоростью выскочит из трубки этот конец цепочки?
3156.
Момент импульса частицы относительно некоторой точки О меняется со временем по закону М = a + bt2, где a и b — постоянные векторы, причем a b. Найти относительно точки О момент силы N, действующей на частицу, когда угол между векторами N и М окажется равным 45°.
3157.
Шарик массы m бросили под углом α к горизонту с начальной скоростью v0. Найти модуль вектора момента импульса шарика относительно точки бросания в зависимости от времени движения. Вычислить М в вершине траектории, если m = 130 г, α = 45° и v0 = 25 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.
3158.
Шайба А массы m, скользя по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью v, испытала в точке О (рис. 1.48) абсолютно упругий удар с гладкой неподвижной стенкой. Угол между направлением движения шайбы и нормалью к стенке равен α. Найти: а) точки, относительно которых момент импульса М шайбы остается постоянным в этом процессе; б) модуль приращения вектора момента импульса шайбы относительно точки О', которая находится в плоскости движения шайбы на расстоянии l от точки О.
3159.
Небольшой шарик массы m, привязанный на нити длины l к потолку в точке О, движется по горизонтальной окружности с постоянной угловой скоростью ω. Относительно каких точек момент импульса М шарика остается постоянным? Найти модуль приращения вектора момента импульса шарика относительно точки О за половину оборота.
3160.
Шарик массы m падает без начальной скорости с высоты h над поверхностью Земли. Найти модуль приращения вектора момента импульса шарика за время падения — относительно точки О системы отсчета, движущейся поступательно со скоростью v в горизонтальном направлении. В момент начала падения точка О совпадала с шариком. Сопротивление воздуха не учитывать.
3161.
Горизонтальный гладкий диск вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр — точку О. Из этой точки в момент t = 0 пустили шайбу со скоростью v0. Найти момент импульса шайбы М(t) относительно точки О в системе отсчета, связанной с диском. Убедиться, что этот момент импульса обусловлен действием силы Кориолиса.
3162.
Частица движется по замкнутой траектории в центральном силовом поле, где ее потенциальная энергия U = kr2, k — положительная постоянная, r — расстояние частицы до центра поля О. Найти массу частицы, если наименьшее расстояние ее до точки О равно r1, а скорость на наибольшем расстоянии от этой точки — v2.
3163.
Небольшой шарик подвесили к точке О на легкой нити длиной l. Затем шарик отвели в сторону так, что нить отклонилась на угол θ от вертикали, и сообщили ему скорость в горизонтальном направлении перпендикулярно к вертикальной плоскости, в которой расположена нить. Какую начальную скорость надо сообщить шарику, чтобы в процессе движения максимальный угол отклонения нити от вертикали оказался равным π/2?
3164.
На гладкой горизонтальной плоскости движется небольшое тело массы m, привязанное к нерастяжимой нити, другой конец которой втягивают в отверстие О (рис. 1.49) с постоянной скоростью. Найти натяжение нити в зависимости от расстояния r тела до отверстия, если при r = r0 угловая скорость нити была равна ω0.
3165.
На массивный неподвижный блок радиуса R намотана легкая нерастяжимая нить, к свободному концу которой подвешено небольшое тело массы m. В момент t = 0 систему предоставили самой себе, и она пришла в движение. Найти ее момент импульса относительно оси блока в зависимости от t.
3166.
Однородный шар массы m и радиуса R начинает скатываться без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Найти зависимость от времени момента импульса шара относительно точки касания в начальный момент. Как изменится результат в случае абсолютно гладкой наклонной плоскости?
3167.
Некоторая система частиц имеет суммарный импульс р и момент импульса М относительно точки О. Найти ее момент импульса М' относительно точки О', положение которой по отношению к точке О определяется радиус-вектором r0. Выяснить, в каком случае момент импульса системы частиц не будет зависеть от выбора точки О.
3168.
Доказать, что момент импульса М системы частиц относительно точки О К-системы отсчета может быть представлен как M = + [rCp], где — ее собственный момент импульса (в поступательно движущейся системе отсчета, связанной с центром инерции), rС — радиус-вектор центра инерции относительно точки О, р — суммарный импульс системы частиц в К-системе отсчета.
3169.
Шарик массы m, двигавшийся со скоростью v0, испытал упругое лобовое соударение с одним из шариков покоившейся жесткой гантели, как показано на рис. 1.50. Масса каждого шарика гантели равна m/2, расстояние между ними — l. Пренебрегая размерами шариков, найти собственный момент импульса М гантели после соударения, m. е. момент импульса в поступательно движущейся системе отсчета, связанной с центром инерции гантели.
3170.
На гладкой горизонтальной плоскости лежат две небольшие одинаковые шайбы, каждая массы m. Шайбы соединены друг с другом легкой недеформированной пружинкой, длина которой l0 и жесткость и. В некоторый момент одной из шайб сообщили скорость v0 — в горизонтальном направлении перпендикулярно к пружинке. Найти максимальное относительное удлинение пружинки в процессе движения, если известно, что оно значительно меньше единицы.
3171.
Некоторая планета массы М движется по окружности вокруг Солнца со скоростью v = 34,9 км/с (относительно гелиоцентрической системы отсчета). Найти период обращения этой планеты вокруг Солнца.
3172.
Период обращения Юпитера вокруг Солнца в 12 раз больше соответствующего периода для Земли. Считая орбиты планет круговыми, найти: а) во сколько раз расстояние от Юпитера до Солнца превышает расстояние от Земли до Солнца; б) скорость и ускорение Юпитера в гелиоцентрической системе отсчета.
3173.
Некоторая планета массы М движется вокруг Солнца по эллипсу так, что минимальное расстояние между ней и Солнцем, равно r, а максимальное — R. Найти с помощью законов Кеплера период обращения ее вокруг Солнца.
3174.
Небольшое тело начинает падать на Солнце с расстояния, равного радиусу земной орбиты. Начальная скорость тела в гелиоцентрической системе отсчета равна нулю. Найти с помощью законов Кеплера, сколько времени будет продолжаться падение.
3175.
Представим себе, что мы создали модель Солнечной Системы в η раз меньше натуральной величины, но из материалов той же самой средней плотности, что у Солнца и планет. Как изменятся при этом периоды обращения моделей планет по своим орбитам?
|