Вход на сайт |
|
2972.
Катер, двигаясь вниз по реке, обогнал плот в пункте A. Через τ = 60 мин после этого он повернул обратно и затем встретил плот на расстоянии l = 6,0 км ниже пункта А. Найти скорость течения, если при движении в обоих направлениях мотор катера работал одинаково.
2973.
Точка прошла половину пути со скоростью v0. Оставшуюся часть пути она половину времени двигалась со скоростью v1, а последний участок — со скоростью v2. Найти среднюю за все время движения скорость точки.
2974.
Автомашина движется с нулевой начальной скоростью по прямому пути сначала с ускорением w = 5,0 м/с2, затем равномерно и, наконец, замедляясь с тем же ускорением w, останавливается. Все время движения τ = 25 с. Средняя скорость за это время <v> = 72 км/ч. Сколько времени автомашина двигалась равномерно?
2975.
Точка движется по прямой в одну сторону. На рис. 1.1 показан график пройденного ею пути s в зависимости от времени t. Найти с помощью этого графика: а) среднюю скорость точки за время движения; б) максимальную скорость; в) момент времени t0, в который мгновенная скорость равна средней скорости за первые t0 секунд; г) среднее ускорение за первые 10 и 16 с.
Рис. 1.1 2976. Две частицы, 1 и 2, движутся с постоянными скоростями v1 и v2. Их радиус-векторы в начальный момент равны r1 и r2. При каком соотношении между этими четырьмя векторами частицы испытают столкновение друг с другом? 2977. Корабль движется по экватору на восток со скоростью v0 = 30 км/ч. С юго-востока под углом φ = 60° к экватору дует ветер со скоростью v = 15 км/ч. Найти скорость v' ветра относительно корабля и угол φ' между экватором и направлением ветра в системе отсчета, связанной с кораблем. 2978. Два пловца должны попасть из точки А на одном берегу реки в прямо противоположную точку B на другом берегу. Для этого один из них решил переплыть реку по прямой АВ, другой же — все время держать курс перпендикулярно к течению, а расстояние, на которое его снесет, пройти пешком по берегу со скоростью u. При каком значении u оба пловца достигнут точки B за одинаковое время, если скорость течения v0 = 2,0 км/ч и скорость каждого пловца относительно воды v' = 2,5 км/ч? 2979. От бакена, который находится на середине широкой реки, отошли две лодки, А и В. Обе лодки стали двигаться по взаимно перпендикулярным прямым: лодка А — вдоль реки, а лодка B — поперек. Удалившись на одинаковое расстояние от бакена, лодки вернулись затем обратно. Найти отношение времен движения лодок τА/τB, если скорость каждой лодки относительно воды в η = 1,2 раза больше скорости течения. 2980. Лодка движется относительно воды со скоростью, в n = 2,0 раза меньшей скорости течения реки. Под каким углом к направлению течения лодка должна держать курс, чтобы ее снесло течением как можно меньше? 2981. Два тела бросили одновременно из одной точки: одно — вертикально вверх, другое — под углом θ = 60° к горизонту. Начальная скорость каждого тела v0 = 25 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти расстояние между телами через t = 1,70 с. 2982. Две частицы движутся с ускорением g в однородном поле тяжести. В начальный момент частицы находились в одной точке и имели скорости v1 = 3,0 м/с и v2 = 4,0 м/с, направленные горизонтально и в противоположные стороны. Найти расстояние между частицами в момент, когда векторы их скоростей окажутся взаимно перпендикулярными. 2983. Три точки находятся в вершинах равностороннего треугольника со стороной a. Они начинают одновременно двигаться с постоянной по модулю скоростью v, причем первая точка все время держит курс на вторую, вторая — на третью, третья — на первую. Через сколько времени точки встретятся? 2984. Точка А движется равномерно со скоростью v так, что вектор v все время "нацелен" на точку В, которая в свою очередь движется прямолинейно и равномерно со скоростью u < v. В начальный момент v  u и, и расстояние между точками равно l. Через сколько времени точки встретятся?
2985.
Поезд длины l = 350 м начинает двигаться по прямому пути с постоянным ускорением w = 3,0•10–2 м/с2. Через t = 30 с после начала движения был включен прожектор локомотива (событие 1), а через τ = 60 с после этого — сигнальная лампа в хвосте поезда (событие 2). Найти расстояние между этими событиями в системах отсчета, связанных с поездом и Землей. Как и с какой постоянной скоростью V относительно Земли должна перемещаться некоторая К-система отсчета, чтобы оба события произошли в ней в одной точке?
2986.
Кабина лифта, у которой расстояние от пола до потолка равно 2,7 м, начала подниматься с постоянным ускорением 1,2 м/с2. Через 2,0 с после начала подъема с потолка кабины стал падать болт. Найти: а) время свободного падения болта; б) перемещение и путь болта за время свободного падения в системе отсчета, связанной с шахтой лифта.
2987.
Две частицы, 1 и 2, движутся с постоянными скоростями v1 и v2 по двум взаимно перпендикулярным прямым к точке их пересечения О. В момент t = 0 частицы находились на расстояниях l1 и l2 от точки О. Через сколько времени после этого расстояние между частицами станет наименьшим? Чему оно равно?
2988.
Из пункта А, находящегося на шоссе (рис. 1.2), необходимо за кратчайшее время попасть на машине в пункт В, расположенный в поле на расстоянии l от шоссе. Известно, что скорость машины по полю в η раз меньше ее скорости по шоссе. На каком расстоянии от точки D следует свернуть с шоссе?
2989.
Точка движется вдоль оси х со скоростью, проекция которой vx как функция времени описывается графиком (рис. 1.3). Имея в виду, что в момент t = 0 координата точки х = 0, начертить примерные графики зависимостей от времени ускорения wx, координаты х и пройденного пути s.
Рис. 1.3 2990. За промежуток времени τ = 10,0 с точка прошла половину окружности радиуса R = 160 см. Вычислить за это время: а) среднюю скорость (v); б) модуль среднего вектора скорости |(v)|; в) модуль среднего вектора полного ускорения |<w>|, если точка двигалась с постоянным тангенциальным ускорением. 2991. Радиус-вектор частицы меняется со временем t по закону r = at(1–αt), где a — постоянный вектор, α — положительная постоянная. Найти: а) скорость v и ускорение w частицы в зависимости от времени; б) промежуток времени Δt, по истечении которого частица вернется в исходную точку, а также путь s, который она пройдет при этом. 2992. В момент t = 0 частица вышла из начала координат в положительном направлении оси х. Ее скорость меняется со временем по закону v = v0(1– t/τ), где v0 — вектор начальной скорости, модуль которого v0 = 10,0 см/с, τ = 5,0 с. Найти: а) координату х частицы в моменты времени 6,0, 10 и 20 с; б) моменты времени, когда частица будет находиться на расстоянии 10,0 см от начала координат; в) путь s, пройденный частицей за первые 4,0 и 8,0 с; изобразить примерный график s (t). 2993. Частица движется в положительном направлении оси х так, что ее скорость меняется по закону v = a  , где a — положительная постоянная. Имея в виду, что в момент t = 0 она находилась в точке х = 0, найти: а) зависимость от времени скорости и ускорения частицы; б) среднюю скорость частицы за время, в течение которого она пройдет первые s метров пути.
2994.
Точка движется, замедляясь, по прямой с ускорением, модуль которого зависит от ее скорости v по закону w = a , где a — положительная постоянная. В начальный момент скорость точки равна v0. Какой путь она пройдет до остановки? За какое время этот путь будет пройден?
2995.
Радиус-вектор точки А относительно начала координат меняется со временем t по закону r = ati–bt2j, где a и b — положительные постоянные, i и j — орты осей х и у. Найти: а) уравнение траектории точки у (х); изобразить ее график; б) зависимости от времени векторов скорости v, ускорения w и модулей этих величин; в) зависимость от времени угла α между векторами w и v; г) средний вектор скорости за первые t секунд движения и модуль этого вектора.
2996.
Точка движется в плоскости ху по закону: х = at, у = at(1–αt), где a и α — положительные постоянные, t — время. Найти: а) уравнение траектории точки у (х); изобразить ее график; б) скорость v и ускорение w точки в зависимости от времени; в) момент t0, в который вектор скорости составляет угол π/4 с вектором ускорения.
2997.
Точка движется в плоскости ху по закону х = a sin ωt, у = a(1–cos ωt), где a и ω — положительные постоянные. Найти: а) путь s, проходимый точкой за время τ; б) угол между векторами скорости и ускорения точки.
2998.
Частица движется в плоскости ху с постоянным ускорением w, направление которого противоположно положительному направлению оси у. Уравнение траектории частицы имеет вид y=ах–bх2, где a и b — положительные постоянные. Найти скорость частицы в начале координат.
2999.
Небольшое тело бросили под углом к горизонту с начальной скоростью v0. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: а) перемещение тела в функции времени r(t); б) средний вектор скорости <v> за первые t секунд и за все время движения.
3000.
Тело бросили с поверхности Земли под углом α к горизонту с начальной скоростью v0. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: а) время движения; б) максимальную высоту подъема и горизонтальную дальность полета; при каком значении угла α они будут равны друг другу; в) уравнение траектории у(х), где у и х — перемещения тела по вертикали и горизонтали соответственно; г) радиусы кривизны начала и вершины траектории.
3001
Имея в виду условие предыдущей задачи, изобразить примерные графики зависимости от времени модулей векторов нормального wn и тангенциального wτ ускорений, а также проекции вектора полного ускорения wv на направление вектора скорости.
3002.
Шарик начал падать с нулевой начальной скоростью на гладкую наклонную плоскость, составляющую угол α с горизонтом. Пролетев расстояние h, он упруго отразился от плоскости. На каком расстоянии от места падения шарик отразится второй раз?
3003.
Пушка и цель находятся на одном уровне на расстоянии 5,10 км друг от друга. Через сколько времени снаряд с начальной скоростью 240 м/с достигнет цели в отсутствие сопротивления воздуха?
3004.
Из пушки выпустили последовательно два снаряда со скоростью v0 = 250 м/с: первый — под углом θ1 = 60° к горизонту, второй — под углом θ2 = 45° (азимут один и тот же). Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти интервал времени между выстрелами, при котором снаряды столкнутся друг с другом.
3005.
Воздушный шар начинает подниматься с поверхности Земли. Скорость его подъема постоянна и равна v0. Благодаря ветру шар приобретает горизонтальную компоненту скорости vx = ay, где a — постоянная, у — высота подъема. Найти зависимости от высоты подъема: а) величины сноса шара х(у); б) полного, тангенциального и нормального ускорений шара.
3006.
Частица движется в плоскости ху со скоростью v = аi + bхj, где i и j — орты осей х и у, a и b — постоянные. В начальный момент частица находилась в точке х = у = 0. Найти: а) уравнение траектории частицы у(х); б) радиус кривизны траектории в зависимости от х.
3007.
Частица А движется в одну сторону по некоторой заданной траектории с тангенциальным ускорением wτ = aτ, где a — постоянный вектор, совпадающий по направлению с осью х (рис. 1.4), а τ — единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором скорости в данной точке. Найти зависимость от х скорости частицы, если в точке х = 0 ее скорость пренебрежимо мала.
Рис. 1.4 3008. Точка движется по окружности со скоростью v = at, где a = 0,50 м/с2. Найти ее полное ускорение в момент, когда она пройдет n = 0,10 длины окружности после начала движения. 3009. Точка движется, замедляясь, по окружности радиуса R так, что в каждый момент времени ее тангенциальное и нормальное ускорения по модулю равны друг другу. В начальный момент t = 0 скорость точки равна v0. Найти: а) скорость точки в зависимости от времени и от пройденного пути s; б) полное ускорение точки в функции скорости и пройденного пути. 3010. Точка движется по дуге окружности радиуса R. Ее скорость зависит от пройденного пути s по закону v = a  , где a — постоянная. Найти угол ее между вектором полного ускорения и вектором скорости в зависимости от s.
3011.
Частица движется по дуге окружности радиуса R по закону l = a sin ωt, где l — смещение из начального положения, отсчитываемое вдоль дуги, a и ω — постоянные. Положив R = 1,00 м, a = 0,80 м и ω = 2,00 рад/с, найти: а) полное ускорение частицы в точках l = 0 и ±а; б) минимальное значение полного ускорения wмин и смещение lm, ему соответствующее.
3012.
Точка движется по плоскости так, что ее тангенциальное ускорение wτ = a, а нормальное ускорение wn = bt4, где a и b — положительные постоянные, t — время. В момент t = 0 точка покоилась. Найти зависимости от пройденного пути s радиуса кривизны R траектории точки и ее полного ускорения w.
3013.
Частица движется с постоянной по модулю скоростью v по плоской траектории у(х). Найти ускорение частицы в точке х = 0 и радиус кривизны траектории в этой точке, если траектория имеет вид: а) параболы у = aх2; б) эллипса (х/a)2 + (у/b)2 = 1. Здесь a и b — постоянные.
3014.
Частица А движется по окружности радиуса R = 50 см так, что ее радиус-вектор r относительно точки О (рис. 1.5) поворачивается с постоянной угловой скоростью ω = 0,40 рад/с. Найти модуль скорости частицы, а также модуль и направление вектора ее полного ускорения.
3015.
Колесо вращается вокруг неподвижной оси так, что угол φ его поворота зависит от времени как φ = at2, где a = 0,20 рад/с2. Найти полное ускорение до точки А на ободе колеса в момент t = 2,5 с, если линейная скорость точки А в этот момент v = 0,65 м/с.
3016.
Снаряд вылетел со скоростью v = 320 м/с, сделав внутри ствола n = 2,0 оборота. Длина ствола l = 2,0 м. Считая движение снаряда в стволе равноускоренным, найти его угловую скорость вращения вокруг оси в момент вылета.
3017.
Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону φ = at – bt3, где a = 6,0 рад/с, b = 2,0 рад/с3. Найти: а) средние значения угловой скорости и углового ускорения за промежуток времени от t = 0 до остановки; б) угловое ускорение в момент остановки тела.
3018.
Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с угловым ускорением р = at, где a = 2,0•10–2 рад/с3. Через сколько времени после начала вращения вектор полного ускорения произвольной точки тела будет составлять угол α = 60° с ее вектором скорости?
3019.
Твердое тело вращается, замедляясь, вокруг неподвижной оси с угловым ускорением р ~  , где ω — его угловая скорость. Найти среднюю угловую скорость тела за время, в течение которого оно будет вращаться, если в начальный момент его угловая скорость была равна w0.
3020.
Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси так, что его угловая скорость зависит от угла поворота φ по закону ω = ω0 – аφ, где ω0 и a — положительные постоянные. В момент времени t = 0 угол φ = 0. Найти зависимости от времени: а) угла поворота; б) угловой скорости.
3021.
Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с угловым ускорением β = β0cosφ, где β0 — постоянный вектор, φ — угол поворота из начального положения. Найти угловую скорость тела в зависимости от угла φ. Изобразить график этой зависимости.
3022.
Вращающийся диск (рис. 1.6) движется в положительном направлении оси х. Найти уравнение у(х), характеризующее положения мгновенной оси вращения, если в начальный момент ось С диска находилась в точке О и в дальнейшем движется: а) с постоянной скоростью v, а диск раскручивается без начальной угловой скорости с постоянным угловым ускорением β против часовой стрелки; б) с постоянным ускорением w (без начальной скорости), а диск вращается с постоянной угловой скоростью ω против часовой стрелки.
Рис. 1.6 3023. Точка А находится на ободе колеса радиуса R = 0,50 м, которое катится без скольжения по горизонтальной поверхности со скоростью v = 1,00 м/с. Найти: а) модуль и направление вектора ускорения точки A; б) полный путь s, проходимый точкой A между двумя последовательными моментами ее касания поверхности. 3024. Шар радиуса R = 10,0 см катится без скольжения по горизонтальной плоскости так, что его центр движется с постоянным ускорением w = 2,50 см/с2. Через t = 2,00 с после начала движения его положение соответствует рис. 1.7. Найти: а) скорости точек А, B и О; б) ускорения этих точек. 3025. Цилиндр катится без скольжения по горизонтальной плоскости. Радиус цилиндра равен r. Найти радиусы кривизны траекторий точек А и B (см. рис. 1.7). Рис. 1.7 3026. Два твердых тела вращаются вокруг неподвижных взаимно перпендикулярных пересекающихся осей с постоянными угловыми скоростями ω1 = 3,0 рад/с и ω2 = 4,0 рад/с. Найти угловую скорость и угловое ускорение одного тела относительно другого. 3027. Твердое тело вращается с угловой скоростью ω = ati + bt2j, где a = 0,50 рад/с2, b = 0,060 рад/с3, i и j — орты осей х и у. Найти: а) модули угловой скорости и углового ускорения в момент t = 10,0 с; б) угол между векторами угловой скорости и углового ускорения в этот момент. 3028. Круглый конус с углом пол у раствора α = 30° и радиусом основания R = 5,0 см катится равномерно без скольжения по горизонтальной плоскости, как показано на рис. 1.8. Вершина конуса закреплена шарнирно в точке О, которая находится на одном уровне с точкой С — центром основания конуса. Скорость точки С v = 10,0 см/с. Найти модули: а) вектора угловой скорости конуса и угол, который составляет этот вектор с вертикалью; б) вектора углового ускорения конуса. 3029. Твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью ω0 = 0,50 рад/с вокруг горизонтальной оси АВ. В момент t = 0 ось АВ начали поворачивать вокруг вертикали с постоянным угловым ускорением β0 = 0,10 рад/с2. Найти угловую скорость и угловое ускорение тела через t = 3,5 с. 3030. Аэростат масс m начал спускаться с постоянным ускорением w. Определить массу балласта, который следует сбросить за борт, чтобы аэростат получил такое же ускорение, но направленное вверх. Сопротивлением воздуха пренебречь. 3031. В установке (рис. 1.9) массы тел равны m0, m1 и m2, массы блока и нитей пренебрежимо малы и трения в блоке нет. Найти ускорение w, с которым опускается тело m0, и натяжение нити, связывающей тела m1 и m2, если коэффициент трения между этими телами и горизонтальной поверхностью равен k. Исследовать возможные случаи. 3032. На наклонную плоскость, составляющую угол α с горизонтом, поместили два соприкасающихся бруска 1 и 2 (рис. 1.10). Массы брусков равны m1 и m2, коэффициенты трения между наклонной плоскостью и этими брусками — соответственно k1 и k2, причем k1 > k2. Найти: а) силу взаимодействия между брусками в процессе движения; б) минимальное значение угла α, при котором начнется скольжение. 3033. Небольшое тело пустили снизу вверх по наклонной плоскости, составляющей угол α = 15° с горизонтом. Найти коэффициент трения, если время подъема тела оказалось в η = 2,0 раза меньше времени спуска. 3034. В установке (рис. 1.11) известны угол α наклонной плоскости с горизонтом и коэффициент трения k между телом m1 и наклонной плоскостью. Массы блока и нити пренебрежимо малы, трения в блоке нет. Считая, что в начальный момент оба тела неподвижны, найти отношение масс m2/m1, при котором тело m2: а) начнет опускаться; б) начнет подниматься; в) будет оставаться в покое. 3035. Наклонная плоскость (см. рис. 1.11) составляет угол α = 30° с горизонтом. Отношение масс тел m2/m1 = η = 2/3. Коэффициент трения между телом m1 и наклонной плоскостью k = 0,10. Массы блока и нитей пренебрежимо малы. Найти модуль и направление ускорения тела m2, если система пришла в движение из состояния покоя. 3036. На гладкой горизонтальной плоскости лежит доска массы m1 и на ней брусок массы m2. К бруску приложили горизонтальную силу, увеличивающуюся со временем t по закону F = at, где a — постоянная. Найти зависимости от t ускорений доски w1 и бруска w2, если коэффициент трения между доской и бруском равен k. Изобразить примерные графики этих зависимостей. 3037. Небольшое тело А начинает скользить с вершины клина, основание которого l = 2,10 м (рис. 1.12). Коэффициенты трения между телом и поверхностью клина k = 0,140. При каком значении угла α время соскальзывания будет наименьшим? Чему оно равно? 3038. Брусок массы m втаскивают за нить с постоянной скоростью вверх по наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом (рис. 1.13). Коэффициент трения равен k. Найти угол β, который должна составлять нить с наклонной плоскостью, чтобы натяжение нити было наименьшим. Чему оно равно? 3039. На небольшое тело массы m, лежащее на гладкой горизонтальной плоскости, в момент t = 0 начала действовать сила, зависящая от времени по закону F = at, где a — постоянная. Направление этой силы все время составляет угол α с горизонтом (рис. 1.14). Найти: а) скорость тела в момент отрыва от плоскости; б) путь, пройденный телом к этому моменту. 3040. К бруску массы m, лежащему на гладкой горизонтальной плоскости, приложили постоянную по модулю силу F = mg/3. В процессе его прямолинейного движения угол α между направлением этой силы и горизонтом меняют по закону α = as, где a — постоянная, s — пройденный бруском путь (из начального положения). Найти скорость бруска как функцию угла α. 3041. На горизонтальной плоскости с коэффициентом трения k находятся два тела: брусок и электромотор с батарейкой на подставке. На ось электромотора намотана нить, свободный конец которой соединен с бруском. Расстояние между обоими телами равно l. После включения мотора брусок, масса которого в два раза больше массы другого тела, начал двигаться с постоянным ускорением w. Через сколько времени оба тела столкнутся? 3042. Через блок, прикрепленный к потолку кабины лифта, перекинута нить, к концам которой привязаны грузы с массами m1 и m2. Кабина начинает подниматься с ускорением w0. Пренебрегая массами блока и нити, а также трением, найти: а) ускорения груза m1 относительно шахты лифта и относительно кабины; б) силу, с которой блок действует на потолок кабины. 3043. Найти ускорение w тела 2 в системе (рис. 1.15), если его масса в η раз больше массы бруска 1 и угол между наклонной плоскостью и горизонтом равен α. Массы блоков и нитей, а также трение пренебрежимо малы. Исследовать возможные случаи. 3044. В системе рис. 1.16 массы тел равны m0, m1, m2, трения нет, массы блоков и нитей пренебрежимо малы. Найти ускорение тела m1. Исследовать возможные случаи. < 3045. В установке (рис. 1.17) известны массы стержня М и шарика m, причем М > m. Шарик имеет отверстие и может скользить по нити с некоторым трением. Масса блока и трение в его оси пренебрежимо малы. В начальный момент шарик находился напротив нижнего конца стержня. После того как систему предоставили самой себе, оба тела стали двигаться с постоянными ускорениями. Найти силу трения между шариком и нитью, если через t секунд после начала движения шарик оказался напротив верхнего конца стержня. Длина стержня равна l. 3046. В установке (рис. 1.18) шарик l имеет массу в η = 1,8 раза больше массы стержня 2. Длина стержня l = 100 см. Массы блоков и нитей, а также трение пренебрежимо малы. Шарик установили на одном уровне с нижним концом стержня и отпустили. Через сколько времени он поравняется с верхним концом стержня? 3047. В системе (рис. 1.19) масса тела 1 в η = 4,0 раза больше массы тела 2. Высота h = 20 см. Массы блоков и нитей, а также трение пренебрежимо малы. В некоторый момент тело 2 отпустили, и система пришла в движение. На какую максимальную высоту от пола поднимется тело 2? 3048. Найти ускорения стержня А и клина B в установке (рис. 1.20), если отношение массы клина к массе стержня равно η и трение между всеми соприкасающимися поверхностями пренебрежимо мало. 3049. В системе (рис. 1.21) известны массы клина М и тела m. Трение имеется только между клином и телом m. Соответствующий коэффициент трения равен k. Массы блока и нити пренебрежимо малы. Найти ускорение тела m относительно горизонтальной поверхности, по которой скользит клин. 3050. 1 79. С каким минимальным ускорением следует перемещать в горизонтальном направлении брусок А (рис. 1.22), чтобы тела 1 и 2 не двигались относительно него? Массы тел одинаковы, коэффициент трения между бруском и обоими телами равен k. Массы блока и нитей пренебрежимо малы, трения в блоке нет. 3051. Призме 1, на которой находится брусок 2 массы m, сообщили направленное влево горизонтальное ускорение w (рис. 1.23). При каком максимальном значении этого ускорения брусок будет оставаться еще неподвижным относительно призмы, если коэффициент трения между ними k < ctg α? 3052. Hа горизонтальной поверхности находится призма 1 массы m1 с углом α (см. рис. 1.23) и на ней брусок 2 массы m2. Пренебрегая трением, найти ускорение призмы. 3053. В системе (рис. 1.24) известны массы кубика m и клина М, а также угол клина α. Массы блока и нити пренебрежимо малы. Трения нет. Найти ускорение клина М. 3054. Частица массы m движется по окружности радиуса R. Найти модуль среднего вектора силы, действующей на частицу на пути, равном четверти окружности, если частица движется: а) равномерно со скоростью v; б) с постоянным тангенциальным ускорением wτ без начальной скорости. 3055. Самолет делает "мертвую петлю" радиуса R = 500 м с постоянной скоростью v = 360 км/ч. Найти вес летчика массы m = 70 кг в нижней, верхней и средней точках петли. 3056. Небольшой шарик массы m, подвешенный на нити, отвели в сторону так, что нить образовала прямой угол с вертикалью, и затем отпустили. Найти: а) полное ускорение шарика и натяжение нити в зависимости от θ — угла отклонения нити от вертикали; б) натяжение нити в момент, когда вертикальная составляющая скорости шарика максимальна; в) угол θ между нитью и вертикалью в момент, когда вектор полного ускорения шарика направлен горизонтально. 3057. Шарик, подвешенный на нити, качается в вертикальной плоскости так, что его ускорения в крайнем и нижнем положениях равны по модулю друг другу. Найти угол отклонения нити в крайнем положении. 3058. Небольшое тело А начинает скользить с вершины гладкой сферы радиуса R. Найти угол θ (рис. 1.25), соответствующий точке отрыва тела от сферы, и скорость тела в момент отрыва. 3059. Прибор (рис. 1.26) состоит из гладкого Г-образного стержня, расположенного в горизонтальной плоскости, и муфточки А массы m, соединенной невесомой пружинкой с точкой В. Жесткость пружинки χ. Вся система вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси, проходящей через точку О. Найти относительное удлинение пружинки. Как зависит результат от направления вращения? 3060. Велосипедист едет по круглой горизонтальной площадке, радиус которой R, а коэффициент трения зависит только от расстояния r до центра О площадки по закону k = k0(1–r/R), где k0 — постоянная. Найти радиус окружности с центром в точке О, по которой велосипедист может ехать с максимальной скоростью. Какова эта скорость? 3061. Автомашина движется с постоянным тангенциальным ускорением wτ = 0,62 м/с2 по горизонтальной поверхности, описывая окружность радиуса R = 40 м. Коэффициент трения скольжения между колесами машины и поверхностью k = 0,20. Какой путь пройдет машина без скольжения, если в начальный момент ее скорость равна нулю? 3062. Автомашина движется равномерно по горизонтальному пути, имеющему форму синусоиды у = a sin (х/α), где a и α — некоторые постоянные. Коэффициент трения между колесами и дорогой равен k. При какой скорости движение автомашины будет происходить без скольжения? 3063. Цепочка массы m, образующая окружность радиуса R, надета на гладкий круговой конус с углом полураствора θ. Найти натяжение цепочки, если она вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси, совпадающей с осью симметрии конуса. 3064. Через закрепленный блок перекинута невесомая нить, к концам которой прикреплены грузы с массами m1 и m2. Между нитью и блоком имеется трение. Оно таково, что нить начинает скользить по блоку, когда отношение m2/m1 = η0. Найти: а) коэффициент трения; б) ускорение грузов, если m2/m1 = η > η0. 3065. Частица массы m движется по внутренней гладкой поверхности вертикального цилиндра радиуса R. Найти силу давления частицы на стенку цилиндра, если в начальный момент ее скорость равна v0 и составляет угол α с горизонтом. 3066. Найти модуль и направление вектора силы, действующей на частицу массы m при ее движении в плоскости ху по закону х = a sin ωt, у = b cos ωt, где a, b, ω — постоянные. 3067. Тело массы m бросили под углом к горизонту с начальной скоростью v0. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: а) приращение импульса Δр тела за первые t секунд движения; б) модуль приращения импульса Δр тела за все время движения. 3068. На покоившуюся частицу массы m в момент t = 0 начала действовать сила, меняющаяся со временем по закону F = at(τ – t), где a — постоянный вектор, τ — время, в течение которого действует данная сила. Найти: а) импульс частицы после окончания действия силы; б) путь, пройденный частицей за время действия силы. 3069. Частица массы m в момент t = 0 начинает двигаться под действием силы F = F0 sin ωt, где F0 и ω — постоянные. Найти путь, пройденный частицей, в зависимости от времени t. Изобразить примерный график этой зависимости. 3070. Частица массы m в момент t = 0 начинает двигаться под действием силы F = F0 cos ωt, где F0 и ω — постоянные. Сколько времени частица будет двигаться до первой остановки? Какой путь она пройдет за это время? Какова максимальная скорость частицы на этом пути? 3071. Катер массы m движется по озеру со скоростью v0. В момент t = 0 выключили его двигатель. Считая силу сопротивления воды движению катера пропорциональной его скорости F = –rv, найти: а) время движения катера с выключенным двигателем; б) скорость катера в зависимости от пути, пройденного с выключенным двигателем, а также полный путь до остановки; в) среднюю скорость катера за время, в течение которого его начальная скорость уменьшится в η раз. 3072. Пуля, пробив доску толщиной h, изменила свою скорость от v0 до v. Найти время движения пули в доске, считая силу сопротивления пропорциональной квадрату скорости. 3073. Небольшой брусок начинает скользить по наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Коэффициент трения зависит от пройденного пути х по закону k = ax, где a — постоянная. Найти путь, пройденный бруском до остановки, и максимальную скорость его на этом пути. |