Решение задач по физике. Онлайн-база готовых решений.
Поиск по задачам:
Вход на сайт
21386. Две одинаковые равномерно заряженные сферические поверхности радиуса R расположены на большом расстоянии друг от друга. Полный заряд каждой сферической поверхности равен Q, а их угловые скорости вращения вокруг собственных осей симметрии равны w1 и w2. Определить магнитную энергию W взаимодействия сферических поверхностей.
21387. Заряд Q однородно заполняет объем конуса (х2 + у2 = z2, 0 < z < h), который вращается вокруг своей оси симметрии с постоянной угловой скоростью w. На большом расстоянии r от конуса находится частица с внутренним магнитным моментом ц. Определить силу F, приложенную к частице.
21388. Заряд Q однородно заполняет объем шара радиуса R. Найти напряженность Н магнитного поля в центре шара, если последний вращается вокруг своего диаметра с постоянной угловой скоростью w. Во сколько раз изменится напряженность магнитного поля в центре шара, если заряд Q равномерно размазать по его поверхности?
21389. Равномерно заряженная с поверхностной плотностью s коническая поверхность (х2 + у2 = z2, 0 < z < h) вращается вокруг своей оси симметрии с постоянной угловой скоростью w. Найти напряженность Н магнитного поля в вершине конической поверхности.
21390. В сферических координатах компоненты вектора j средней объемной плотности орбитального тока, текущего в возбужденном атоме водорода, равны ####, где а — боровский радиус, b — постоянная Планка, m и е — масса и заряд электрона, а r — расстояние до-протона. Орбитальный ток создает в пространстве магнитное поле. Найти напряженность Н этого магнитного поля в начале координат.
21391. Средняя плотность заряда электронного облака в атоме водорода равна p = ###, где а — боровский радиус, r — расстояние до протона, а е — заряд электрона. Если поместить атом во внешнее однородное магнитное поле с напряженностью Н0, то электронное облако придет во вращение, которое создаст в пространстве ток с объемной плотностью j = ep/2mc (r x H0), где m — масса электрона, а с — скорость света в вакууме. На какую величину dH изменится напряженность магнитного поля в центре атома вследствие вращения электронного облака?
21392. Заряд Q однородно распределен по объему шара радиуса R. Одна половина шара вращается вокруг своей оси симметрии с постоянной угловой скоростью w1, а другая вращается с постоянной угловой скоростью w2 в противоположном направлении. Найти напряженность Н магнитного поля в центре составного шара. Какую часть заряда Q необходимо однородно распределить внутри первой вращающейся половины и какую во второй, чтобы напряженность магнитного поля в центре шара равнялась нулю?
21393. Объемная плотность заряда в пространстве, дается выражением ###, где а и b — постоянные. Найти напряженность Н магнитного поля в начале координат, если заряды вращаются около оси Z с постоянной угловой скоростью w. Рассмотреть случаи а > b и а < b.
21394. Шаровой сектор получен пересечением сферы радиуса R конической поверхностью с вершиной в центре сферы. Заряд Q однородно заполняет объем шарового сектора, телесный угол которого равен 2п(1 — cos Qo). Определить напряженность Н магнитного поля в вершине шарового сектора, если последний вращается вокруг своей оси симметрии с постоянной угловой скоростью w.
21395. Заряд Q равномерно распределен внутри конуса (х2 + y2 = z2, 0 < z < h), который вращается вокруг своей оси симметрии с постоянной угловой скоростью w. В вершине конуса находится частица с внутренним магнитным моментом ц. Определить магнитную энергию W взаимодействия частицы с вращающимся конусом.
21396. В сферических координатам компоненты вектора j средней объемной плотности орбитального тока, текущего в возбужденном атоме водорода, равны ###, где а — боровский радиус, b — постоянная Планка, m и е — масса и заряд электрона, r — расстояние до протона, имеющего внутренний магнитный момент ц, направленный по оси Z. Определить магнитную энергию W взаимодействия магнитного момента протона с орбитальным током. Поскольку орбитальный ток обусловлен движением электрона, а внутренний магнитный момент протона связан с его спином, данная задача описывает спин-орбитальное взаимодействие протона с электроном в атоме водорода.
21397. Средняя объемная плотность тока в атоме водорода, обусловленная спином электрона, задана j = c rot[ц0 F(r)], где F (r) = 1/пa3 ехр(-2r/a). Здесь а — боровский радиус, с — скорость света в вакууме, r — расстояние до протона, а ц0 — внутренний магнитный момент электрона. Найти напряженность Н магнитного поля в центре атома водорода. Принимая во внимание, что протон имеет внутренний магнитный момент ц, определить магнитную энергию W взаимодействия протона с найденным магнитным полем. Поскольку внутренние магнитные моменты частиц связаны с их спинами, величина —W характеризует спин-спиновое взаимодействие электрона с протоном в атоме водорода.
21398. Заряд Q равномерно распределен по объему эллипсоида вращения с полуосями а и b (а < b). Эллипсоид вращается с постоянной угловой скоростью w вокруг своей оси симметрии, проходящей вдоль полуоси b. В центре эллипсоида находится частица с внутренним магнитным моментом ц. Определить момент N сил, приложенный к частице.
21399. Бесконечно тонкий диск радиуса R, равномерно заряженный с поверхностной плотностью s, вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью w. Пользуясь общей формулой ###, найти напряженность Н магнитного поля на оси диска. Здесь i(r,) — поверхностная плотность тока, созданного вращающимся диском. Исследуя напряженность магнитного поля на больших расстояниях от диска, определить магнитный момент ц вращающегося диска, Получить магнитный момент также непосредственным вычислением по формуле ###.
21400. Объемная плотность тока в пространстве выражается через d-функцию следующим образом: j(r) = (а x V) d(r — r0), где а и r0 — постоянные векторы. Найти векторный потенциал A и напряженность Н магнитного поля. Исследуя полученные выражения, определить физический смысл вектора a.
21401. Каждая единица объема электронного облака в атоме водорода имеет магнитный момент, обусловленный спином электрона. Распределение плотности магнитного момента описывается функцией ц0 F(r), где — внутренний магнитный момент электрона, а F(r)— плотность электронного облака на расстоянии г от протона. Функция F(r) убывает на бесконечности быстрее, чем 1/r. Показать, что данное распределение плотности магнитного момента создает в пространстве такое же магнитное поле, как и ток с объемной плотностью j = с rot [ц0 F(r)], где с — скорость света в вакууме.
21402. По тонкой токовой трубке, образующей прямой угол, течет ток J. Найти напряженность Н магнитного поля в двух случаях: а) на оси X, являющейся продолжением одной из сторон прямого угла; б) на оси Y, проходящей через вершину прямого угла перпендикулярно токовым линиям.
21403. Чему равна напряженность Н магнитного поля в точках биссектрисы прямого угла на расстоянии r от его вершины в предыдущей задаче?
21404. Ток J течет по тонкой токовой трубке в форме равностороннего треугольника со стороной a. Найти напряженность Н магнитного поля в вершине треугольника.
21405. Ток J течет по тонкой токовой трубке, образующей квадрат со стороной 2а. Найти напряженность Н магнитного поля на оси, проходящей через центр квадрата перпендикулярно его плоскости. Исследуя полученное выражение на больших расстояниях от квадрата, определить магнитный момент ц тока.
21406. Ток J течет по тонкой бесконечной прямой токовой трубке, которая имеет локальное искривление в виде полуокружности радиуса R. Найти напряженность Н магнитного поля в центре кривизны указанной полуокружности.
21407. По тонкому кольцу радиуса R течет ток J. Используя закон Био и Савара, определить напряженность. Н магнитного поля на оси кольца, выразив ее через магнитный момент ц тока.
21408. Внутри бесконечного цилиндра радиуса R параллельно его оси течет однородный ток с объемной плотностью j. Пользуясь интегральной формой уравнения Максвелла Int H dl = 4п/c Int j dS, найти напряженность Н магнитного поля внутри и снаружи цилиндра. При помощи соотношения Н = rot A определить векторный потенциал A магнитного поля. При калибровке векторного потенциала принять, что он обращается в нуль на поверхности цилиндра.
21409. 191. Решить предыдущую задачу в предположении, что объемная плотность тока имеет аксиальную симметрию j = j(r), где j(r) — произвольная функция расстояния r до оси цилиндра. 190. Внутри бесконечного цилиндра радиуса R параллельно его оси течет однородный ток с объемной плотностью j. Пользуясь интегральной формой уравнения Максвелла Int H dl = 4п/c Int j dS, найти напряженность Н магнитного поля внутри и снаружи цилиндра. При помощи соотношения Н = rot A определить векторный потенциал A магнитного поля. При калибровке векторного потенциала принять, что он обращается в нуль на поверхности цилиндра.
21410. Ток J однородно распределен по сечению бесконечного цилиндра радиуса R. Используя максвелловский тензор натяжений, найти силу F, прижимающую друг к другу две одинаковые половины цилиндра. Здесь F — сила, приложенная к единице длины одной из половин цилиндра. Подтвердить полученный результат независимым вычислением с использованием объемной силы.
21411. По бесконечной цилиндрической поверхности радиуса R параллельно ее оси течет однородный ток с поверхностной плотностью io. Найти напряженность Н магнитного поля, не прибегая к векторному потенциалу.
21412. По плоскости XY параллельно оси X течет однородный ток с поверхностной плотностью i0. Найти напряженность Н магнитного поля, не прибегая к векторному потенциалу.
21413. В пространстве между двумя коаксиальными цилиндрическими поверхностями радиусов R1 и R2 (R1 < R2) течет ток с объемной плотностью j, который однороден по сечению токовой трубки и параллелен ее оси. Найти напряженность Н магнитного поля в каждой точке пространства.
21414. Внутри неограниченной пластины параллельно ее поверхностям z = l и z = -l течет однородный ток с объемной плотностью j. Не прибегая к векторному потенциалу, определить напряженность Н магнитного поля внутри и снаружи пластины, если токовые линии параллельны оси Y.
21415. Вдоль прямой (x = l, y = 0) параллельно оси Z течет ток J. По другой прямой (x = —l, y = 0) течет антипараллельный ток той же величины. Найти напряженность Н магнитного поля. Исследовать Н на больших расстояниях от заданных токов.
21416. Квадратная рамка со стороной а находится в одной плоскости с прямолинейным током J. На каком расстоянии r от тока расположена ближайшая сторона рамки, если поток магнитного поля через поверхность рамки равен Фо?
21417. Прямолинейный ток J1 находится в одной плоскости с током J2, текущим по тонкой квадратной рамке со стороной a. Ближайшая сторона рамки расположена на расстоянии r от тока J1 и имеет одинаковое с ним направление тока. Чему равна сила F, приложенная к рамке?
21418. По плоскости r = l параллельно оси Y течет однородный ток с поверхностной плотностью io. По другой плоскости z = —l течет антипараллельный ток той же величины. Найти напряженность Н магнитного поля в каждой точке пространства. Какой вид приобретает вектор Н, если токи на обеих плоскостях параллельны оси У?
21419. Линейный ток J течет по оси Z из бесконечно удаленной точки z = —оо к началу координат. В плоскости XY он растекается от начала координат во вес стороны равномерно. Определить напряженность Н магнитного поля во всех точках пространства и проверить выполнимость граничного условия для вектора Н при переходе через координатную плоскость XY. Представить вектор Н в виде суммы двух слагаемых Н = H1 + Н2, которые обусловлены соответственно линейным и поверхностным токами.
21420. Линейный ток J течет по оси Z в положительном направлении, взяв начало в бесконечно удаленной точке z = —оо. В точке z = -R этот ток растекается по поверхности однородной сферы радиуса R с центром в начале координат, а затем вновь собирается в диаметрально противоположной точке z = R и продолжает течь вдоль оставшейся части оси Z. Определить напряженность Н магнитного поля в пространстве и проверить выполнимость граничного условия для вектора Н при переходе через указанную сферу.
21421. Исходя из закона Био и Савара получить соотношение Int Hdl = 4п/c J. Здесь L — любой контур интегрирования, сцепляющийся с токовым контуром L,, а Н — напряженность магнитного поля тока J.
21422. В пространстве между двумя не коаксиальными цилиндрическими поверхностями радиусов R1 и R2 (R1 + +l < R2) параллельно их осям течет однородный ток с объемной плотностью j. Расстояние между осями цилиндрических поверхностей равно l. Найти напряженность Н магнитного поля внутри цилиндрической полости радиуса R1.
21423. Две неограниченные бесконечно тонкие пластины, лежащие в плоскости XZ, разделены между собой щелью ширины а. Центральная линия щели совпадает с осью Z. По пластинам параллельно оси Z течет однородный ток с поверхностной плотностью i0. Найти напряженность Н магнитного поля на больших расстояниях r >> a от щели с учетом членов порядка 1/r.
21424. Цилиндр радиуса R1 расположен не коаксиально внутри другого цилиндра радиуса R2. Вдоль первого и второго цилиндров текут однородные антипараллельные токи с объемной плотностью соответственно j1 и j2. Ток наружного цилиндра не проникает во внутренний. Расстояние между параллельными осями бесконечных цилиндров равно l. Найти силу F, приложенную к единице длины внутреннего цилиндра.
21425. Определить величину W = 1/c Int j1 A2 dV, отнесенную к единице длины цилиндров, которые описаны в предыдущей задаче. Здесь А2 — векторный потенциал магнитного поля тока j2. Для однозначности результата принять, что векторный потенциал, созданный токами каждого однородного сплошного цилиндра, равен нулю на его поверхности. Убедиться, что сила, приложенная к единице длины внутреннего цилиндра, по абсолютной величине равна F = dW/dl.
21426. В сферических координатах две компоненты векторного потенциала равны нулю Ar = A0 = 0, а третья имеет вид ###, где а и R — постоянные. Найти распределение объемной плотности j тока, создавшего магнитное поле с данным векторным потенциалом.
21427. В цилиндрических координатах две компоненты векторного потенциала равны нулю Ar = Az = 0, а третья имеет вид ####, где a и R — постоянные. Найти распределение объемной плотности j тока, создавшего магнитное поле с данным векторным потенциалом.
21428. В сферических координатах две компоненты векторного потенциала равны нулю Ar = A0 = 0, а третья имеет вид Aф = ar sin0 при r < R и Aф = aR3/r2 sin 0 при r > R, где а и R — постоянные. Найти распределение поверхностной плотности i тока, создавшего магнитное поле с данным векторным потенциалом.
21429. Переход от векторного потенциала A(f) к новому векторному потенциалу A,(r) = A(r) + grad f не изменяет напряженности постоянного магнитного поля, где f = f(r) — произвольная функция координат. Какому условию должна удовлетворять функция f(r), чтобы переход к новому векторному потенциалу не нарушал также условия Лоренца в магнитостатике?
21430. Объемная плотность тока в пространстве меняется от точки к точке по периодическому закону j = jo cos kr, где постоянные векторы jo и k удовлетворяют соотношению kjo = 0. Найти векторный потенциал а и напряженность Н магнитного поля, которые созданы этим током в неограниченном пространстве.
21431. Объемная плотность тока в полупространстве z < 0 имеет периодическую структуру j = j0 cos kr, где постоянные векторы jo и k удовлетворяют соотношению kj0 = 0, причем вектор j0 параллелен плоскости XY, а три компоненты вектора к отличны от нуля. Найти векторный потенциал а магнитного поля в каждой точке пространства.
21432. По плоскости XY течет ток с поверхностной плотностью i = i0 cos lr, где постоянные векторы io и l лежат в указанной плоскости и удовлетворяют соотношению li0 = 0. Найти векторный потенциал а магнитного поля в каждой точке пространства.
21433. По декартовым плоскостям XY9 XZ и YZ текут поверхностные токи с плотностью соответственно i1 = a1 cos l1r, i2 = a2 cos l2r и i3 = a3 cos l3r. Постоянные векторы l1, l2 и l3 удовлетворяют условию a1l1 = a2l2 = a3l3 = 0 и лежат в плоскостях соответственно XY, XZ и YZ. Найти векторный потенциал а магнитного поля в каждой точке пространства.
21434. Внутри бесконечной пластины, ограниченной плоскостями х = а и х = —а, течет ток с объемной плотностью j = jo sin l1x sin l2y, где постоянный вектор jo параллелен оси Z. Найти векторный потенциал A магнитного поля внутри и вне пластины.
21435. Внутри бесконечного цилиндра радиуса R параллельно его оси течет ток с объемной плотностью j = j0 r3 cos nф, где r — цилиндрическая координата, ф — полярный угол, а ось Z совпадает с осью цилиндра. Целое положительное число n и константа s удовлетворяют условию n2 =/= (s + 2)2. Найти векторный потенциал Л магнитного поля внутри и снаружи цилиндра,
21436. Объемная плотность тока в цилиндрических координатах имеет вид ####, где постоянный вектор j0 параллелен оси Z, R — постоянная, а целое положительное число n больше единицы. Найти векторный потенциал а магнитного поля в каждой точке пространства.
21437. Бесконечный цилиндр радиуса R, равномерно заряженный с объемной плотностью p, вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью w. Найти векторный потенциал A и напряженность Н магнитного поля внутри и снаружи цилиндра.
21438. Внутри бесконечного цилиндра радиуса R параллельно его оси течет ток с объемной плотностью j = j(r), где r — расстояние до оси цилиндра. Пользуясь уравнением для векторного потенциала А, найти его значение внутри и снаружи цилиндра. Произвольное постоянное слагаемое векторного потенциала выбрать так, чтобы величина а обращалась в нуль на поверхности цилиндра.
21439. Шар радиуса R, равномерно заряженный с объемной плотностью р, вращается вокруг своей оси симметрии с постоянной угловой скоростью w. Найти векторный потенциал A и напряженность Н магнитного поля внутри и снаружи шара. Выразить A и H во внешней области шара через его магнитный момент ц.
21440. Используя тензор натяжений Максвелла и результаты предыдущей задачи, определить магнитостатическую силу F, с которой одна половина шара действует на другую в направлении оси вращения.
21441. По бесконечной цилиндрической поверхности радиуса R параллельно ее оси течет ток с поверхностной плотностью i = io cos nф, где n — целое число (n > 1), ф — полярный угол, а ось Z совпадает с осью цилиндрической поверхности и направлена в ту же сторону, что и постоянный вектор io. Найти векторный потенциал A и напряженность Н магнитного поля в каждой точке пространства.
21442. 224. Используя уравнение для векторного потенциала, решить предыдущую задачу в предположении, что n = 0. 223. По бесконечной цилиндрической поверхности радиуса R параллельно ее оси течет ток с поверхностной плотностью i = io cos nф, где n — целое число (n > 1), ф — полярный угол, а ось Z совпадает с осью цилиндрической поверхности и направлена в ту же сторону, что и постоянный вектор io. Найти векторный потенциал A и напряженность Н магнитного поля в каждой точке пространства.
21443. Равномерно заряженная с поверхностной плотностью о бесконечная цилиндрическая поверхность радиуса R вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью w и одновременно движется со скоростью v вдоль той же оси. Найти векторный потенциал A и напряженность Н магнитного поля в каждой точке пространства.
21444. Равномерно заряженная с поверхностной плотностью а сферическая поверхность радиуса R вращается вокруг своего диаметра с постоянной угловой скоростью w. Найти векторный потенциал A и напряженность H магнитного поля в произвольной точке пространства. Исследуя полученные выражения, определить магнитный момент ц вращающейся сферы. Получить магнитный момент также непосредственным вычислением по формуле ц = 1/2c Int r x i dS, где i — поверхностная плотность тока, образованного вращающейся сферой.
21445. По бесконечной цилиндрической поверхности радиуса R течет ток с поверхностной плотностью i = i1 при 0 < ф < п; и i = i2 при п < ф < 2п, где i1 и i2 - постоянные векторы, ф — полярный угол, а ось Я совпадает с осью цилиндрической поверхности и параллельна векторам i1 и i2. Найти векторный потенциал а магнитного поля внутри и снаружи цилиндрической поверхности.
21446. Компоненты Hr, H0 и Hф напряженности H магнитного поля в сферических координатах ####, где b и R — постоянные. Пользуясь соотношением H = rot А, определить векторный потенциал а магнитного поля при дополнительном условии div A = 0.
21447. Определить энергию W магнитного поля равномерно заряженной сферической поверхности радиуса R, которая вращается вокруг своего диаметра с постоянной угловой скоростью w. Полный заряд сферы Q. Выразить энергию W через магнитный момент ц вращающейся сферы.
21448. Определить энергию W магнитного поля однородно заряженного шара радиуса R, вращающегося вокруг своего диаметра с постоянной угловой скоростью w. Полный заряд шара Q. Выразить энергию W через магнитный момент ц вращающегося шара.
21449. Определить энергию W магнитного поля, приходящуюся на единицу длины однородно заряженного цилиндра радиуса R, который вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью и. Заряд на единицу длины цилиндра равен q. Выразить энергию W через магнитный момент ц единицы длины вращающегося цилиндра.
21450. Определить энергию W магнитного поля, приходящуюся на единицу длины равномерно заряженной с плотностью s цилиндрической поверхности радиуса R, которая вращается вокруг своей оси с угловой скоростью w. Выразить энергию W через магнитный момент ц единицы длины вращающейся цилиндрической поверхности.
21451. Определить энергию W магнитного поля, приходящуюся на единицу длины цилиндрической поверхности, описанной в задаче 223. 223. По бесконечной цилиндрической поверхности радиуса R параллельно ее оси течет ток с поверхностной плотностью i = io cos nф, где n — целое число (n > 1), ф — полярный угол, а ось Z совпадает с осью цилиндрической поверхности и направлена в ту же сторону, что и постоянный вектор io. Найти векторный потенциал A и напряженность Н магнитного поля в каждой точке пространства.
21452. По одной половине бесконечной цилиндрической поверхности радиуса R параллельно ее оси течет ток с поверхностной плотностью i. а по другой половине течет антипараллельный ток той же величины. Определить энергию W магнитного поля, приходящуюся на единицу длины цилиндрической поверхности.
21453. Вдоль цилиндра радиуса R течет однородный ток J, а по другому цилиндру того же радиуса течет антипараллельный ток той же величины. Определить векторный потенциал A магнитного поля на больших расстояниях от цилиндров. Будет ли конечной энергия магнитного поля, приходящаяся на единицу длины такой системы?
21454. Может ли существовать внутри полой области переменное во времени электрическое поле без магнитного?
21455. Может ли существовать переменное во времени магнитное поле без электрического?
21456. Может ли существовать однородное электрическое поле при наличии переменного во времени магнитного поля?
21457. Может ли однородное электрическое (или магнитное) поле быть переменным во времени?
21458. При выводе закона сохранения электромагнитной энергии как следствия уравнений Максвелла обычно заменяют выражение с/4п (Н rot Е — Е rot Н) через div s, где s = с/4п (Е x Н) — вектор Пойнтинга. Доказать, что s — не единственный вектор, дивергенция которого равна указанному выражению.
21459. В цилиндрических координатах компоненты вектора напряженности магнитного поля в свободном пространстве имеют вид Нr = Hф = 0 и Hz = Н(r,t), где функция H (r, t) и ее производные ограничены. Определить напряженность Е вихревого электрического поля, индуцированного данным магнитным полем.
21460. Заряд Q и масса m однородно заполняют объем шара. В начальный момент времени t0 = 0 включается внешнее магнитное поле с напряженностью H = H(t), которая постоянна по направлению и удовлетворяет начальному условию Н(0) = 0. Зависимостью вектора H о г координат в пределах шара можно пренебречь. Под влиянием магнитного поля шар приходит во вращение. Пренебрегая обратным влиянием вращающегося шара на внешнее магнитное поле, определить угловую скорость w вращения.
21461. Доказать, что запаздывающие электромагнитные потенциалы #### удовлетворяют условию Лоренца divA + 1/c dф/dt = 0. Предполагается, что написанные объемные интегралы сходятся.
21462. Найти уравнения для скалярного ф и векторного A потенциалов в кулоновской калибровке div A = 0. Величины ф и A определяются соотношениями E = -grad ф - 1/c dA/dt, H = rot A.
21463. Заряд е движется в плоскости XY по прямой у = х — l, имея постоянную скорость v и удаляясь от начала координат. В начальный момент времени t0 = 0 он находился на оси X, Найти распределение объемной плотности р заряда и объемной плотности j тока в пространстве.
21464. Заряд е совершает гармоническое колебание вдоль оси X по закону х = а sin wt. Написать выражение для объемной плотности р заряда и объемной плотности j тока. Проверить справедливость уравнения непрерывности для этих величин. Найти средние по времени за период Т = 2п/w объемные плотности заряда р и тока j и доказать, что Int pdV = e.
21465. Заряд е движется в плоскости XY по окружности радиуса R с постоянной угловой скоростью w. В начальный момент времени t0 = 0 он находился на оси X. Написать выражение для объемной плотности р заряда и объемной плотности j тока в цилиндрических координатах, начало которых совпадает с центром окружности. Проверить справедливость уравнения непрерывности для величин р и j. Доказать, что средние по времени за период Т = 2п/w объемные плотности заряда и тока р и j удовлетворяют соотношениям ###.
21466. Равномерно заряженная с линейной плотностью q окружность радиуса R вращается с угловой скоростью w вокруг своего диаметра. Найти распределение объемной плотности р заряда и объемной плотности j тока в пространстве в сферических координатах. Начало координат совпадает с центром окружности, а ось Z направлена по оси вращения. Проверить справедливость уравнения непрерывности для найденных величин.
21467. Заряд Q однородно заполняет объем шара радиуса R, который вращается вокруг своего неподвижного диаметра с переменной во времени угловой скоростью w. Найти распределение объемных плотностей заряда р и тока j в пространстве в сферических координатах.
21468. Определить квазистационарное электромагнитное поле заряда е, который медленно движется с постоянной скоростью v.
21469. Заряд Q и масса m однородно заполняют объем шара радиуса R, который вращается с произвольной угловой скоростью w = w(t) вокруг своего неподвижного центра. Определить магнитный момент ц вращающегося шара. Чему равен коэффициент р пропорциональности между магнитным ц и механическим M моментами ц = bM?
21470. Замкнутая механическая система состоит из двух произвольно движущихся частиц, заряды которых e1 и e2, а массы m1 и m2 соответственно. Доказать, что если начало координат выбрано в центре инерции, то магнитный ц и механический M моменты системы пропорциональны друг другу, и найти коэффициент пропорциональности.
21471. Механическая система конечного числа частиц с одинаковым отношением заряда к массе движется в пространстве. Какому условию должен удовлетворять полный импульс P системы, чтобы суммарный магнитный момент всех частиц не зависел от выбора начала координат?
21472. Равномерно заряженный тонкий диск радиуса R вращается с угловой скоростью w вокруг своего неподвижного диаметра. Полный заряд диска Q. Вычислить магнитный момент ц вращающегося диска.
21473. Равномерно заряженная с линейной плотностью q квадратная рамка со стороной a вращается с угловой скоростью w вокруг одной из своих сторон. Вычислить магнитный момент ц вращающейся рамки.
21474. Нейтрон с магнитным моментом ц0 движется по заданной траектории и его радиус-вектор rн меняется со временем как rн = rн(t). Определить распределение плотности Iн магнитного момента в пространстве ###, где dц(r,t) — магнитный момент элемента объема dV. Последний в результате предельного перехода dV - > 0 стягивается к точке с радиус-вектором r.
21475. Частица с массой m и зарядом e совершает эллиптическое движение в кулоновском потенциальном поле притяжения a/r, где a < 0. Полная энергия частицы равна E. Найти средний по времени за период движения дипольный момент d заряда. Выразить его через специфический интеграл движения в кулоновском поле I = v x M + ar/r, где v — скорость заряженной частицы, а М — ее момент.
21476. Радиус-вектор rd точки расположения диполя с моментом d = d(t) меняется со временем по заданному закону rd = rd(t). Определить распределение объемных плотностей заряда и тока в пространстве. Вычислить магнитный момент ц найденного тока.
21477. Точечный диполь с моментом d вращается по окружности радиуса R с постоянной угловой скоростью w. Окружность лежит в плоскости XY, а ее центр совпадает с началом координат. Вектор d постоянен по модулю и направлен по касательной к окружности в сторону вращения от оси X к У. Определить тензор Dab квадрупольного момента системы.
21478. Частица с массой т и зарядом е совершает эллиптическое движение в кулоновском потенциальном поле a/r, где a < 0. Полная энергия и момент частицы равны соответственно E и M. Начало декартовой системы координат помещено в центр силового поля, а ось X направлена по большой полуоси эллиптической траектории, лежащей в плоскости XY. Найти средние по времени за период компоненты тензора Dab квадрупольного момента движущегося заряда.
21479. В резерфордовской модели атома водорода электрон с массой m и зарядом e движется по эллиптической орбите, имея энергию E и момент М. Большая полуось a эллипса совпадает с осью X, а орбита лежит в плоскости XY. Определить среднюю за период движения напряженность квазистационарного электрического поля на больших расстояниях r > a от атома с учетом дипольного момента и тензора квадрупольного момента. Исследовать полученный результат в предельном случае, когда эллипс превращается в окружность.
21480. Векторный потенциал плоской линейно-поляризованной волны имеет вид A = lF(wt-kr), где w = kc, l — постоянный вектор, а F — дифференцируемая функция своего аргумента. В рассматриваемой калибровке электромагнитных потенциалов скалярный потенциал равен нулю тождественно и div A = 0. Определить вектор Пойнтинга s и плотность энергии w электромагнитной волны.
21481. Покоящийся цилиндр радиуса R и высоты h расположен перпендикулярно направлению распространения монохроматической плоской электромагнитной волны, которая описывается векторным потенциалом A = A0 cos(wt - kr + a). Длина волны мала по сравнению с величинами R и h, поэтому за цилиндром простирается область тени. На поверхности цилиндра электромагнитная волна полностью поглощается. Определить силу F, приложенную к цилиндру в среднем по времени за период Т = 2п/w.
21482. Монохроматическая плоская электромагнитная волна, описываемая векторным потенциалом A = A0 cos(wt — kr + a), падает на поверхность неподвижного шара радиуса R и полностью отражается от этой поверхности. Длина волны мала по сравнению с радиусом R, поэтому за шаром находится область тени. Определить силу F, приложенную к шару в среднем по времени за период Т = 2п/w.
21483. Линейно-поляризованная и циркулярная волны в комплексном виде записываются так: ###, где L = 1, 2, C0 — комплексная постоянная, l(L) и b(L) - единичные векторы поляризации, которые удовлетворяют условиям ###. Индекс L отмечает два независимых состояния поляризации волны, отвечающих одному и тому же волновому вектору k. Доказать, что для линейно-поляризованной и циркулярной волн справедливы следующие правила суммирования: ###, где A и B — произвольные комплексные векторы.
21484. Две монохроматические волны E1 = E01 cos(wt — kr + a1) и Е2 = Е02 cos (wt — kr + a2) поляризованы во взаимно перпендикулярных направлениях. Считая амплитуды этих волн одинаковыми, найти поляризацию результирующей волны.
21485. Две монохроматические волны поляризованы по кругу в противоположные стороны и распространяются в одном направлении. Амплитуды и частоты волн одинаковы, а фазы отличаются на постоянную величину. Определить суммарную волну.