Решение задач по физике. Онлайн-база готовых решений.
Поиск по задачам:
Вход на сайт
21286. Объемная плотность заряда в сферических координатах описывается функцией ####, где p0 и R — постоянные, a Pn(cos Q) — полином Лежандра степени n > 1. Найти потенциал ф электрического поля в неограниченном пространстве.
21287. Объемная плотность заряда в цилиндрических координатах имеет вид ####, где p0 и R — постоянные, a целое положительное число n больше единицы. Найти потенциал ф электрического поля в каждой точке пространства.
21288. Потенциал фn бесконечной цилиндрической поверхности радиуса R задан фn = фо cos nф, где фо — постоянная, n— целое число, ф— полярный угол, а ось Z совпадает с осью данной цилиндрической поверхности. Найти потенциал ф электрического поля в каждой точке пространства, если внутри и снаружи цилиндрической поверхности заряды отсутствуют. Определить распределение поверхностной плотности а заряда на цилиндрической поверхности.
21289. Потенциал фn сферической поверхности радиуса R задан фn = ф0[Ylm(Q,ф) - Y*lm(Q,ф)], где Ylm(Q,ф) — сферическая функция, а Q и ф — полярный и азимутальный углы сферической системы координат, начало которой совпадает с центром сферы. Найти потенциал ф электрического поля в каждой точке пространства в предположении, что внутри и снаружи сферической поверхности заряды отсутствуют. Определить распределение поверхностной плотности s заряда на сферической поверхности.
21290. Определить потенциал ф электрического поля в области 0 < x, ограниченной тремя плоскостями x = 0, у = 0 и y = b. Предполагается, что плоскость х = 0 имеет однородный потенциал ф0, а две другие плоскости поддерживаются при нулевом потенциале. Внутри данной области заряды отсутствуют.
21291. Определить потенциал ф электрического поля внутри бесконечно длинной коробки прямоугольного сечения (0 < х < а, 0 < у < b) при следующих краевых условиях: потенциал двух граней х = 0 и у = b однороден и равен фо, а потенциал двух других граней коробки равен нулю. Внутри коробки зарядов нет.
21292. Определить потенциал ф электрического поля внутри полусферы радиуса R, если потенциал на ее поверхности имеет постоянное значение фо, а основание полусферы поддерживается при нулевом потенциале. Внутри полусферы заряды отсутствуют.
21293. Неограниченная плоскость имеет выступ в виде полусферы радиуса R. Потенциал полусферы однороден и равен фо, а плоскость поддерживается при нулевом потенциале. Определить потенциал ф электрического поля в полупространстве над плоскостью с выступом, считая, что в этом полупространстве заряды отсутствуют.
21294. Одна половина сферической поверхности радиуса R имеет постоянный потенциал фa, а другая — постоянный потенциал фb. Найти потенциал ф электрического поля снаружи сферы, где заряды отсутствуют.
21295. Окружность радиуса R делит плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю. Внутренняя область имеет однородный потенциал ф0, а внешняя поддерживается при нулевом потенциале. Используя разложение по полиномам Лежандра, определить потенциал ф электрического поля в каждой точке полупространства над указанной плоскостью. В рассматриваемой области заряды отсутствуют.
21296. Сферическая поверхность радиуса R состоит из двух равномерно и разноименно заряженных полусфер, поверхностная плотность заряда которых равна s и —s. Ось Z совпадает с осью симметрии и направлена от отрицательных зарядов к положительным. Найти потенциал ф электрического поля внутри и снаружи сферической поверхности.
21297. Потенциал фn бесконечной цилиндрической поверхности радиуса R имеет вид фn = фa при 0 < ф < п и фn = фb при п < ф < 2п, где фa и фb— постоянные, ф— полярный угол, а ось Z совпадает с осью цилиндрической поверхности. Найти потенциал ф в каждой точке пространства в предположении, что внутри и снаружи цилиндрической поверхности зарядов нет.
21298. Поверхностная плотность заряда бесконечной цилиндрической поверхности радиуса R имеет вид s = sа при 0 < ф < п и s = sb при п < ф < 2п, где sa и sb — постоянные, ф— полярный угол, а ось Z совпадает с осью цилиндрической поверхности. Найти потенциал ф электрического поля в каждой точке пространства.
21299. Решить задачу 69 путем разложения искомого потенциала ф в интеграл Фурье — Бесселя. 69. Окружность радиуса R делит плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю. Внутренняя область имеет однородный потенциал ф0, а внешняя поддерживается при нулевом потенциале. Используя разложение по полиномам Лежандра, определить потенциал ф электрического поля в каждой точке полупространства над указанной плоскостью. В рассматриваемой области заряды отсутствуют.
21300. Тонкий диск радиуса R равномерно заряжен с поверхностной плотностью s. Используя разложение в интеграл Фурье — Бесселя, найти потенциал ф электрического поля в каждой точке пространства.
21301. На поверхности тонкого диска радиуса R потенциал электрического поля имеет постоянное значение фо. Используя разложение в интеграл Фурье—Бесселя, найти потенциал ф в каждой точке пространства в предположении, что вне диска заряды отсутствуют. Определить распределение поверхностной плотности s заряда на диске.
21302. Потенциал ф электрического поля в цилиндрических координатах имеет вид ####, где а и R — постоянные. Найти распределение объемной плотности р заряда, создавшего это электрическое поле (обратная задача электростатики).
21303. Найти распределение объемной плотности p заряда, создавшего в пространстве электрическое поле, потенциал ф которого в сферических координатах имеет вид ####, где e и R — постоянные, Чему равен полный заряд Q?
21304. Потенциал ф электрического поля в сферических координатах имеет вид ф = Q/R при r > R и ф = Q/r при r > R, где Q и R — постоянные. Найти распределение заряда, создавшего это электрическое поле.
21305. Потенциал ф электрического поля в цилиндрических координатах имеет вид ф = 0 при r < R и ф = q ln R/r при r > R, где q и R — постоянные. Найти распределение заряда, создавшего это электрическое поле.
21306. Используя свойства d-функции, найти распределение объемной плотности р заряда в декартовых, цилиндрических и сферических координатах при наличии в пространстве следующих однородно заряженных систем: а) сферической поверхности радиуса R, заряженной с поверхностной плотностью s (центр сферы совпадает с началом координат); б) тонкого кольца радиусом R, заряженного с линейной плотностью q (кольцо расположено в плоскости XY, а его центр совпадает с началом координат); в) бесконечной нити, совпадающей с осью Z и заряженной с линейной плотностью q; г) плоскости XY, заряженной с поверхностной плотностью s; д) бесконечной цилиндрической поверхности радиуса R, заряженной с поверхностной плотностью s (ось симметрии совпадает с осью Z).
21307. Используя свойства d-функции, а также функции h(a) = {1 при a > 0, 0 при a < 0, найти распределение объемной плотности р заряда в декартовых, цилиндрических и сферических координатах при наличии в пространстве следующих однородных заряженных систем: а) полусферы радиуса R, заряженной с поверхностной плотностью s (начало координат совпадает с центром кривизны, а ось Z направлена в сторону выпуклости полусферы); б) полуокружности радиуса R, лежащей в первой и второй четвертях плоскости XY и заряженной с линейной плотностью q (центр кривизны полуокружности совпадает с началом координат, а ее диаметр лежит на оси X); в) тонкого стержня длины l, лежащего на положительной части оси Z и заряженного с линейной плотностью q (один конец стержня находится в начале координат); г) тонкого диска радиуса R, лежащего в плоскости XY и заряженного с поверхностной плотностью s (центр диска совпадает с началом координат); д) цилиндрической поверхности радиуса R и высоты h, заряженной с поверхностной плотностью s (основание цилиндрической поверхности касается плоскости XY, а ее ось симметрии совпадает с осью Z).
21308. Равномерно заряженный с линейной плотностью q эллипс с полуосями а и b лежит в плоскости XY. Центр эллипса совпадает с началом координат, а большая полуось а находится на оси X. Определить распределение объемной плотности р заряда в декартовых координатах.
21309. Эллиптическая поверхность вращения с полуосями а и b равномерно заряжена с поверхностной плотностью s. Центр эллиптической поверхности совпадает с началом декартовой системы координат, а полуось b лежит на оси Z, являющейся осью аксиальной симметрии. Найти распределение объемной плотности р заряда в декартовых координатах.
21310. Распределение объемной плотности заряда в пространстве в сферических координатах описывается при помощи d-функции следующим образом: p = a/r2 d(1- cos2 Q), где a — постоянная. Определить форму заряженного тела и характер распределения заряда на нем.
21311. Определить вид заряженного тела и характер распределения заряда на нем, если объемная плотность заряда в пространстве описывается следующей функцией декартовых координат: а) р = 2asd(х2 — а2), где а и s — постоянные; б) р = 2aqd(x2 — а2)d(r), где а и q — постоянные; в) p = 2q|/(a2+b2)d(x2 — 2ax — 2by + y2) d(z), где а, b и q — постоянные; г) р = Q/пab d(x2/a2 + y2/b2 -1) d(z), где а, b и Q - постоянные; д) p = Q/пabc d(x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 -1) где а, b, с и Q — постоянные.
21312. Коническая поверхность с образующей l и радиуса основания R равномерно заряжена с поверхностной плотностью о. Вершина конической поверхности находится в начале координат, а высота лежит на положительной части оси Z. Найти распределение объемной плотности р заряда в пространстве в сферических координатах. Используя полученное выражение, вычислить дипольный момент d.
21313. Равномерно заряженный с линейной плотностью q тонкий стержень длины l лежит в первой четверти плоскости XY, образуя с осью X угол ф0. Один из концов стержня совпадает с началом координат. Найти распределение объемной плотности р заряда в пространстве в цилиндрических координатах. Используя полученное выражение, вычислить дипольный момент d.
21314. Выразить через d-функцию распределение объемной плотности р заряда точечного диполя с моментом d, находящегося в точке с радиус-вектором r0.
21315. Используя предельный переход lim el = d и выражение для потенциала зарядов е и —е, находящихся в точках с радиус-векторами r+ = r0 + l и r- = r0, определить потенциал ф электрического поля точечного диполя с моментом d.
21316. Диполь с моментом d расположен в начале координат, а центр шара радиуса R находится в точке с радиус-вектором r (r > R). Заряд Q однородно заполняет объем шара. Найти энергию U взаимодействия диполя с шаром, а также силу F, приложенную к шару.
21317. Объем шара радиуса R заполнен зарядом с объемной плотностью р = аr2, где а — постоянная, а r — расстояние до начала координат, расположенного в центра шара. В точке с радиус-вектором r0 находится диполь с моментом d. Определить силу F и момент N сил, приложенные к диполю в двух случаях: a) r0 > R; 6) r0 < R.
21318. Диполь с моментом d1 расположен с начале координат, а другой диполь с моментом d2 находится в точке с радиус-вектором r. Определить силу F и момент N сил, приложенные к каждому диполю.
21319. Распределение объемной плотности заряда в пространстве имеет вид p(r) = (aV)d(r), где а — постоянный вектор. Пользуясь общим решением уравнения Пуассона, найти потенциал электрического поля в каждой точке пространства. По виду полученного потенциала определить физический смысл вектора a.
21320. В каждой точке пространства задан электрический дипольный момент Р = Р(r) единицы объема. Векторная функция Р(r) убывает на бесконечности быстрее, чем 1/r2. Доказать, что заданное распределение плотности дипольного момента Р создает в каждой точке пространства такое же электрическое поле, как и заряд, распределенный с объемной плотностью р(r) = — div P(r).
21321. В сферических координатах средняя плотность заряда электронного облака возбужденного атома водорода описывается функцией ###, где а — боровский радиус, а r — расстояние до протона, имеющего заряд е. Определить тензор Dab квадрупольного момента атома. Чему равен дипольный момент d?
21322. Начало декартовой системы координат совпадает с центром кривизны полусферы радиуса R, а ось Z направлена вдоль оси симметрии в сторону выпуклости поверхности. Определить компоненты дипольного da и тензора Dab квадрупольного моментов, если заряд Q равномерно распределен по: а) объему полусферы; б) поверхности полусферы; в) поверхности и основанию полусферы.
21323. Окружность состоит из двух равномерно и разноименно заряженных полуокружностей. Определить компоненты тензора квадрупольного момента.
21324. Равномерно заряженная по поверхности полусфера радиуса R имеет заряд Q и возвышается над плоскостью XY. Основание полусферы касается осей X и У в точках с положительными координатами. Определить компоненты тензора Dab квадрупольного момента.
21325. Однородно заряженная полуокружность имеет заряд Q и лежит в первой четверти плоскости XY. Один конец полуокружности находится в начале координат, а другой — в точке x = 2R оси X. Определить компоненты тензора Dab квадрупольного момента.
21326. Центр эллипса с полуосями a и b совпадает с началом декартовой системы координат. Большая полуось а лежит на оси X, а малая — на оси Y. Линейная плотность q заряда на эллипсе однородна. Считая эксцентриситет е эллипса малым (e < 1), определить компоненты тензора Dab квадрупольного момента с точностью до членов порядка е2.
21327. Центр однородно заряженной с поверхностной плотностью а эллиптической поверхности вращения с полуосями а и b совпадает с началом декартовой системы координат. Полуось b лежит на оси Z, являющейся осью вращения. Эксцентриситет е эллипса с полуосями а и b значительно меньше единицы (e < 1). Сохраняя члены с наименьшей степенью параметра e, определить компоненты тензора Dab квадрупольного момента.
21328. В вершинах квадрата со стороной 2а расположены точечные заряды так, что знак заряда е меняется на противоположный при переходе к соседней вершине. Используя общую формулу ###, найти тензоры квадрупольного момента в декартовых системах координат XYZ и X,Y,Z,, повернутых около общей оси Z = Z, (рис.). Определить матрицу поворота aab и убедиться непосредственным вычислением, что найденные тензоры Dab и D,ab удовлетворяют соотношению D,ab = aas aby Dsy, где штрихом отмечены компоненты тензора квадрупольного момента в штрихованной системе координат.
21329. Два одинаковых точечных диполя находятся на оси X на равном расстоянии a от начала координат. В точке с отрицательной координатой дипольный момент d антипараллелен оси X, а другой дипольный момент в плоскости XY образует с осью X угол а. Определить компоненты дипольного da и тензора Dab квадрупольного моментов системы.
21330. Определить компоненты тензора Dab квадрупольного момента однородно заряженного эллипсоида вращения с полуосями а и b. Центр эллипсоида вращения совпадает с началом декартовой системы координат, а полуось b лежит на оси Z, являющейся осью аксиальной симметрии. Полный заряд равен Q. Какой вид примет тензор квадрупольного момента, если данный эллипсоид повернуть вокруг оси Y на угол ос по часовой стрелке?
21331. Начало декартовой системы координат совпадает с центром однородно заряженного эллипсоида с полуосями a, b и с. Полуось с совпадает с осью Z, а полуось a составляет с осью X угол a. Полный заряд эллипсоида равен Q. Найти компоненты тензора Dab квадрупольного момента.
21332. Центр окружности радиуса R совпадает с началом координат. Один диаметр окружности лежит на оси X, а другой диаметр, перпендикулярный первому, составляет угол a с осью Y и находится в первой и третьей четвертях плоскости YZ. Линейная плотность заряда на окружности однородна, а полный заряд равен Q. Определить компоненты тензора Dab квадрупольного момента в декартовой системе координат XYZ.
21333. Заряженная система характеризуется тензором Dab квадрупольного момента. Найти напряженность Е электрического поля в декартовых координатах.
21334. Найти потенциал ф электрического поля в том случае, когда распределение объемной плотности заряда в пространстве имеет вид ###, где aab— произвольный постоянный тензор. Исследуя выражение, полученное для потенциала, определить физический смысл тензора aab.
21335. Выразить компоненты дипольного da и тензора Dab квдрупольного моментов заряженной системы через соответствующие компоненты мультипольных моментов ###, где p — объемная плотность заряда, а Ylm(0, ф) — сферическая функция.
21336. Потенциал ф(r) внешнего электрического поля незначительно меняется на протяжении размеров заряженной системы. Принимая во внимание полный заряд, а также дипольный и квадрупольный моменты, определить потенциальную энергию U заряженной системы в заданном внешнем поле, если указанная заряженная система представляет собой: а) три заряда e, e и —2e, расположенных на оси X на одинаковом расстоянии а друг от друга (отрицательный заряд находится в точке х = О между положительными); б) три заряда e, e и —e, расположенных в плоскости XY в вершинах равностороннего треугольника со стороной а и центром в начале декартовой системы координат (отрицательный заряд находится на положительной части оси Х); в) квадруполь, изображенный на рис.; г) однородно заряженный эллипсоид с полуосями a, b и c, центр которого расположен в начале декартовой системы координат (полный заряд эллипсоида Q).
21337. Потенциал ф(r) внешнего электрического поля мало меняется на протяжении равномерно заряженного тонкого диска эллиптической формы с полуосями а и b. Полный заряд диска равен Q, а полуоси а и b лежат соответственно на осях X и Y декартовой системы координат. Найти электростатическую энергию U диска во внешнем поле с учетом квадрупольного момента. Чему равна сила F, приложенная к диску?
21338. Напряженность Е = Е(r) внешнего электрического поля мало меняется на протяжении области пространства, где расположен заряд с объемной плотностью р = р(r). Разлагая Е(r) в ряд Тейлора во внутренней точке заряженной области и пренебрегая старшими производными, выразить силу F = Int рЕ dV, приложенную к заряженной системе, через ее полный заряд Q, дипольный момент d и тензор Dab квадрупольного момента.
21339. Заряд с объемной плотностью р = р(r) сосредоточен в ограниченной области пространства. Напряженность Е = Е(r) внешнего электрического поля мало меняется внутри указанной области. Разлагая Е(г) в ряд Тейлора и пренебрегая старшими производными, выразить момент N = Int(r x E)p dV сил, приложенный к заряженной системе, через ее дипольный момент d и тензор Dab квадрупольного момента.
21340. В сферических координатах средняя плотность заряда электронного облака возбужденного атома водорода задана ####, где a — боровский радиус, а r — расстояние до протона, имеющего заряд е. Напряженность Е внешнего электрического поля как функция координат меняется в пространстве незначительно. Определить силу F и момент N сил, приложенные к атому с учетом его квадрупольного момента.
21341. Однородно заряженный с линейной плотностью q тонкий стержень длины 2l лежит в плоскости XY, образуя с осью X угол ф0. Середина стержня находится в начале координат. На оси X на большом расстоянии от стержня расположен точечный заряд e. Определить момент N сил, приложенный к стержню относительно его середины.
21342. Начало декартовой системы координат совпадает с центром равномерно заряженного тела вращения, а ось Z направлена по оси симметрии высшего порядка. Найти квадрупольный член в разложении потенциала ф электрического поля на больших расстояниях, если указанным телом является: а) тонкое кольцо радиуса R, заряженное с линейной плотностью q; б) цилиндр радиуса R и высоты 2h, заряженный с объемной плотностью р; в) цилиндрическая поверхность радиуса R и высоты 2h, заряженная с поверхностной плотностью s; г) отрезок длины 2l, заряженный с линейной плотностью q.
21343. Найти потенциал ф электрического поля на больших расстояниях с точностью до квадрупольного члена для следующей системы точечных зарядов: а) трех зарядов е, е и —2е, расположенных на оси Z на одинаковом расстоянии а друг от друга (отрицательный заряд находится в точке z = 0 между положительными); б) трех зарядов е, е и —е, расположенных в плоскости XY в вершинах равностороннего треугольника со стороной a и центром в начале декартовой системы координат (отрицательный заряд находится на положительной части оси Y); в) квадруполя, изображенного на рис.
21344. Найти потенциал ф электрического поля на больших расстояниях от двух одинаковых антипараллельных точечных диполей, расположенных на оси X на равном расстоянии а от начала координат. В точке с положительной координатой x = a дипольный момент параллелен оси Z и равен d. Вычисления провести двумя способами: а) сначала вычислить тензор Dab квадрупольного момента системы, а затем определить его электрическое поле; б) найти электрическое поле системы как суперпозицию полей отдельных диполей.
21345. Два одинаковых однородно заряженных стержня длины l лежат в плоскости XY и образуют угол, равный ф0. Вершина угла совпадает с началом координат, а одна из его сторон направлена по оси X. Какова должна быть величина угла ф0, чтобы в точке x0 оси X на большом расстоянии от заряженных стержней дипольный потенциал равнялся квадрупольному?
21346. Окружность радиуса R состоит из двух равномерно и разноименно заряженных полуокружностей, которые лежат в первой четверти плоскости XY. Отрицательно заряженная полуокружность с зарядом —Q касается осей X и Y, а диаметр, разделяющий разноименные заряды, параллелен оси X. Найти потенциал ф электрического поля на больших расстояниях с точностью до квадрупольного члена.
21347. Равномерно заряженный по объему цилиндр радиуса R и высоты 2h имеет заряд Q. Ось Z совпадает с образующей цилиндра, а ось X направлена по диаметру его основания. Найти потенциал ф электрического поля на больших расстояниях от цилиндра с точностью до квадрупольного члена.
21348. Принимая во внимание полный заряд и квадрупольный момент, найти потенциал ф электрического поля на больших расстояниях от заряженной системы, если распределение объемной плотности заряда выражается следующей функцией декартовых координат: ####.
21349. Полусфера радиуса R равномерно заряжена с поверхностной плотностью о. Используя разложение функции 1/|r-r,| по сферическим функциям Ylm(Q,ф), представить потенциал ф электрического поля снаружи полусферы в виде разложения по мультипольным моментам ###.
21350. Окружность радиуса R состоит из двух равномерно и разноименно заряженных полуокружностей с зарядами Q и —Q. Начало координат совпадает с центром окружности, ось У направлена от отрицательных зарядов к положительным, а ось X разделяет эти заряды между собой. На большом расстоянии z >> R от окружности на ее оси находится диполь с моментом d, который параллелен оси Z. Определить силу F и момент N сил, приложенные к диполю.
21351. Заряд Q однородно заполняет объем эллипсоида с полуосями а, b и с. Начало декартовой системы координат совпадает с центром эллипсоида, а полуоси a, b и с лежат соответственно на осях X, Y и Z. В точке с радиус-вектором r на большом расстоянии от эллипсоида расположен диполь с моментом d. Найти электростатическую энергию U взаимодействия диполя с эллипсоидом с учетом диполь-квадрупольного члена.
21352. Однородно заряженная полуокружность радиуса R имеет заряд Q. Центр кривизны полуокружности совпадает с началом координат, а ее диаметр лежит на оси X. Ось У направлена в строну полуокружности. Принимая во внимание заряд Q, а также дипольный и квадрупольный моменты, найти силу F, приложенную к заряду е, находящемуся на оси Z на большом расстоянии от полуокружности.
21353. Заряд е находится в точке с радиус-вектором r на большом расстоянии от однородно заряженного эллипсоида с полуосями a, b и c, которые направлены соответственно по осям X, Y и Z декартовой системы координат. Полный заряд эллипсоида равен Q. Принимая во внимание квадрупольный момент, найти отклонение dF от закона Кулона для силы F, приложенной к заряду e.
21354. Два возбужденных атома водорода расположены на оси Z на большом расстоянии L друг от друга (L >> а, где а — боровский радиус). В сферических координатах средние плотности р1 и р2 зарядов электронных облаков этих атомов равны соответственно ###, где е — заряд протона, а r1 и r2 — расстояния от точки наблюдения до центра первого и второго атома. Определить энергию U квадруполь-квадрупольного взаимодействия атомов.
21355. Однородный двойной электрический слой имеет форму диска радиуса R, расположенного в плоскости XY. Центр диска совпадает с началом координат, а плотность дипольного момента т параллельна оси Z. Найти потенциал ф и напряженность Е электрического поля на оси Z.
21356. Однородный двойной электрический слой имеет форму полусферы радиуса R с центром кривизны в начале декартовой системы координат и осью симметрии, совпадающей с осью Z. Последняя обращена в сторону выпуклости полусферы. Плотность дипольного момента на полусфере направлена по радиусу наружу. Найти потенциал ф электрического поля на оси Z.
21357. Двойной электрический слой в форме полуплоскости (y = О, x = 0) имеет плотность днпольного момента т. Определить потенциал ф и напряженность Е электрического поля в каждой точке пространства, если постоянный вектор т параллелен оси Y декартовой системы координат.
21358. Плоскость однородного двойного электрического слоя имеет круглое отверстие радиуса R. Начало декартовой системы координат совпадает с центром отверстия, а ось Z параллельна плотности дипольного момента т. Найти силу F, приложенную к точечному заряду e, находящемуся на оси Z.
21359. Однородный двойной электрический слой имеет форму плоскости с выступом в виде полусферы. Плотность дипольного момента т в каждой точке составной поверхности параллельна ее нормали и направлена в полупространство, в которое вдается выступ. Найти потенциал ф электрического поля в каждой точке пространства.
21360. Доказать, что напряженность Е электрического поля однородного двойного слоя имеет вид ###, где т — модуль вектора т плотности дипольного момента двойного электрического слоя, а dl,— элемент замкнутого контура L, на который натянут двойной электрический слой, r и r, — радиус-векторы соответственно точки наблюдения и точки нахождения элемента dl,. Обход контура интегрирования L согласован с направлением вектора т правилом правого винта.
21361. Можно ли подобрать такое распределение электрического тока снаружи полой области, чтобы внутри нее напряженность магнитного поля имела вид: а) H = H0; б) H = b(zlx + хlу + ylz), где b — постоянная; в) Н = 3(цr)r/r5 - ц/r3, где вектор ц не зависит от координат и времени, а точка с радиус-вектором r = 0 находится вне полой области?
21362. Можно ли создать в пространстве постоянный электрический ток с объемной плотностью j = j0 e^-ar где а — положительная постоянная, а объемная плотность заряда не зависит от времени?
21363. Определить распределение объемной плотности j тока в пространстве, если напряженность Н магнитного поля этого тока имеет вид: а) Н = f(r) (a x r, где вектор а не зависит от координат и времени, а f(r) — произвольная дифференцируемая функция; б) Н = (ar)(b x r), где векторы а и b параллельны и не зависят от координат и времени; в) H = Hrlr + H0l0 + HфLф, где компоненты вектора Н в сферических координатах ####; г) Н = Hrlr + HфLф + Hzlz, где компоненты вектора Н в цилиндрических координатах ####. Здесь a, b, g и R — постоянные.
21364. Постоянный ток течет с объемной плотностью j = j(r) в конечном объеме, который граничит с вакуумом. Функция j(r) непрерывна внутри данного объема, включая точки граничной поверхности. Доказать, что Int j dV = 0.
21365. Доказать, что общее решение уравнения Пуассона в магнитостатике ### удовлетворяет условию Лоренца, если токи текут в ограниченной области или убывают на больших расстояниях от точки наблюдения не медленнее, чем 1/(r — r,)2.
21366. При каком условии энергию магнитного поля W = 1/8п Int H2dV можно представить в виде W = 1/2c Int jA dV, где A —векторный потенциал магнитного поля тока, текущего с объемной плотностью j?
21367. Определить распределение поверхностной плотности тока, если напряженность Н однородного магнитного поля, созданного этим током, имеет вид: а) вектор Н параллелен оси Y в области между плоскостями х = а и х = b (а < b) и равен нулю вне этой области; б) вектор Н параллелен оси У в полупространстве х < а, антипараллелен оси У в полупространстве х > b (a < b) и равен нулю между плоскостями х = a и х = b; в) вектор Н внутри цилиндрической поверхности параллелен ее оси и равен нулю снаружи.
21368. Используя декартовые, цилиндрические или сферические координаты и свойства d-функции, найти распределение объемной плотности j тока в пространстве для следующих случаев: а) по цилиндрической поверхности радиуса R параллельно ее оси течет однородный ток с поверхностной плотностью i0; б) по оси Z в положительном направлении течет линейный ток J; в) ток с поверхностной плотностью i0 течет в плоскости XY; г) в плоскости XY по бесконечно тонкому кольцу радиуса R течет линейный ток J, образуя правовинтовую систему с осью Z, которая проходит через центр кольца; д) равномерно заряженная с поверхностной плотностью s сферическая поверхность радиуса R вращается вокруг своего диаметра с угловой скоростью w, направленной вдоль оси Z; е) равномерно заряженная с поверхностной плотностью а поверхность кругового конуса с вершиной в начале координат вращается вокруг своей оси симметрии с угловой скоростью со, направленной вдоль оси Z (телесный угол конуса содержит положительную часть оси Z и равен 2п (1 — cos 0)).
21369. Можно ли создать в плоскости YZ постоянный электрический ток с поверхностной плотностью ###, где a и i0 — постоянные?
21370. Определить конфигурацию области, по которой течет ток, а также характер распределения тока в ней, если объемная плотность тока в неограниченном пространстве описывается следующей функцией декартовых координат: a) j = 2ai0 d(x2 — a2), где а — постоянная, а постоянный вектор i0 параллелен плоскости YZ; б) j = 2aJ ly d(x2 — а2) d(z), где а и J — постоянные.
21371. Ток J течет по тонкому замкнутому контуру L. Доказать, что для вычисления напряженности Н магнитного поля тока можно ввести скалярный потенциал Ф согласно формуле Н = — grad Ф. Найти уравнение и дополнительные условия, определяющие Ф.
21372. Определить скалярный потенциал Ф и напряженность Н = —grad Ф магнитного поля линейного тока J, текущего вдоль оси Z,
21373. В сферических координатах компоненты вектора j средней объемной плотности орбитального тока, текущего в возбужденном атоме водорода, равны ###, где а — боровский радиус, b — постоянная Планка, m и e — масса и заряд электрона, а r — расстояние до протона. Вычислить магнитный момент p орбитального тока.
21374. Распределение объемной плотности тока j в пространстве описывается выражением j = rot [aF(r)], где а —постоянный вектор, а функция F(r) убывает на бесконечности быстрее, чем 1/r3. Выразить магнитный момент ц тока через интеграл от функции F(r).
21375. Объемная плотность тока в пространстве имеет вид j(r) = (а x V) d(r — r0), где а и r0 —постоянные векторы. Определить магнитный момент ц тока.
21376. Внутренний магнитный момент электрона по абсолютной величине равен магнетону Бора ц0 = |e|h/2mc, где h — постоянная Планка, с — скорость света в вакууме, а е и m — заряд и масса электрона. Согласно классической модели электрон представляет собой однородно заряженный шар радиуса r0 = e2/mc2. Рассматривая внутренний магнитный момент как результат вращения электрона вокруг своей оси симметрии, определить угловую скорость со этого вращения. Во сколько раз изменится угловая скорость вращения, если предположить, что заряд е равномерно размазан по поверхности шара?
21377. Доказать, что магнитный момент ц = 1/2c Int(r x j) dV тока, текущего в пространстве с объемной плотностью j = j(r), не зависит от выбора начала координат. Предполагается, что магнитный момент тока имеет конечное значение.
21378. В некоторой ограниченной области пространства течет ток с объемной плотностью j = j(r). Напряженность Н внешнего магнитного поля внутри этой области однородна. Выразить магнитную энергию W = 1/c Int jA dV взаимодействия тока с внешним магнитным полем через магнитный момент ц = 1/2c Int (r x j) dV тока. Здесь А -векторный потенциал внешнего магнитного поля.
21379. Однородно заряженный цилиндр произвольной высоты и радиуса R вращается вокруг своей оси симметрии с угловой скоростью w. Полный заряд цилиндра равен Q, а его ось вращения образует с напряженностью Н внешнего однородного магнитного поля некоторый угол. Определить магнитную энергию W взаимодействия цилиндра с внешним магнитным полем.
21380. Внутри ограниченной области пространства течет ток с объемной плотностью j = j(r). Напряженность H внешнего магнитного поля во всем пространстве однородна. Выразить момент N = 1/c Int (r x (j x H)) dV сил, приложенный к току, через магнитный момент ц тока. Доказать, что момент сил не зависит от выбора фиксированной точки, относительно которой он вычисляется.
21381. Равномерно заряженная с поверхностной плотностью о цилиндрическая поверхность радиуса R и высоты h вращается вокруг своей оси симметрии с угловой скоростью w. Ось вращения образует с напряженностью Н внешнего однородного магнитного поля некоторый угол. Определить момент N сил, приложенный к цилиндрической поверхности.
21382. Напряженность H = H(r) внешнего магнитного поля мало меняется на протяжении некоторой конечной области пространства, где текут токи с объемной плотностью j = j(r). Разлагая H(r) в ряд Тейлора во внутренней точке данной области и пренебрегая старшими производными, выразить силу F = 1/c Int (j x H)dV, приложенную к току, через его магнитный момент ц.
21383. Однородно заряженный эллипсоид вращения с полуосями а и b вращается с постоянной угловой скоростью w вокруг своей оси симметрии. Полный заряд эллипсоида равен Q, а его полуось b лежит на оси вращения. Найти векторный потенциал а и напряженность Н магнитного поля на больших расстояниях от эллипсоида.
21384. Заряд Q равномерно распределен по конической поверхности (х2 + у2 = z2, 0 < z < h), которая вращается вокруг своей оси симметрии с постоянной угловой скоростью w. Найти векторный потенциал A и напряженность Н магнитного поля на больших расстояниях от конической поверхности.
21385. Ток J течет по тонкой токовой трубке в форме равностороннего треугольника со стороной а. Определить напряженность Н магнитного поля на больших расстояниях r от тока.