Решение задач по физике. Онлайн-база готовых решений.
Поиск по задачам:
Вход на сайт
27204. На плоскости XY очерчен круг радиусом R. Все точки круга равнодоступны. Определить плотность вероятности р(х).
27205. Материальная точка колеблется по закону x(t) = x0 cos wt. Определить средние значения х и х2, а также дисперсию dx и относительную флуктуацию dх.
27206. Двумерное распределение характеризуется плотностью вероятности p(x, y) = A (х2 + у2), причем х [0; а]; у [0; b]. Вычислить коэффициент корреляции К = {(х - х)(y - y)}, а также плотность вероятности p(x).
27207. Полагая, что трехмерное распределение характеризуется в сферической системе координат плотностью вероятности р(r, Q, ф) = A R(r) sin2 Q, определить вероятность того, что частица находится в интервале угла [Q0; Q0 + dQ] при любых значениях r и ф.
27208. Основываясь на принципе максимальности энтропии определить плотность вероятности р(х), если известно, что х = х0 (х0 - заданный параметр задачи), а функция определена при x > 0.
27209. Плотность вероятности р(х) определена на отрезке [а, b] и равна нулю вне его. Основываясь на принципе максимальности энтропии определить р(х).
27210. Плотность вероятности р(х) определена для любого х. Известно также, что х = х0 и dх = s (где х0 и s - заданные параметры). Основываясь на принципе максимальности энтропии определить вид функции распределения.
27211. Двухмерная система описывается плотностью вероятности р(х, у), причем переменные х и у независимы, т.е. К = {(x - x) (y - y)} = 0. Какими свойствами должна обладать функция р(x, у)?
27212. Определить вероятность нахождения частицы [а, b], если плотность вероятности имеет вид р(х) = Ае^-х2/s (параметр s — задан).
27213. Дано трехмерное распределение p(x, y, z) = Ae^-x2+y2+z2/r20. Записать плотность вероятности для координаты x, а также вычислить х, х2 и dx.
27214. Определить значение х*, соответствующее условию W(0, x*) = W(x*, oo), если плотность вероятности равна р(x) = Ае^-x2/s.
27215. В объеме V существует N невзаимодействующих частиц. Найти вероятность того, что в объеме v < V находится n < N частиц. (Соответствующее распределение называется распределением Бернулли.)
27216. Рассмотреть предельный случай распределения Бернулли, когда n << N. Соответствующий предельный переход приводит к распределению Пуассона.
27217. Полагая, что в распределении Пуассона n - n = dn, dn << n, найти его предельное выражение.
27218. Определить фазовую траекторию для частицы массой m, перемещающейся вдоль оси х с постоянной скоростью v0.
27219. Определить фазовую траекторию частицы массой m, перемещающуюся вдоль оси х с начальной скоростью v0 при наличии силы сопротивления, пропорциональной скорости.
27220. Изобразить графически в фазовом пространстве траектории материальных точек массой m, двигающихся вдоль оси z с ускорением g и проиллюстрировать справедливость теоремы Лиувилля.
27221. Точка массой m движется на отрезке 0 < х < I и абсолютно упруго отражается от стенок при х = 0 и х = l. Требуется: а) изобразить фазовую траекторию; б) определить объем фазового пространства; в) найти число квантовых состояний с энергиями меньшими или равными Е.
27222. Для одномерного гармонического осциллятора изобразить фазовую траекторию, отвечающую энергии e.
27223. Система может находиться в любом из N различных состояний. Вероятность каждого состояния равна Wi, причем E Wi = 1. Используя понятие энтропия, метод неопределенных множителей Лагранжа, показать, что максимуму энтропии соответствует равновероятное распределение W1 = W2 =... = WN = 1/N, при котором S = lnN.
27224. Определить фазовую траекторию одномерного гармонического осциллятора с малым постоянным трением.
27225. Система характеризуется переменной xi > 0, которая может принимать только дискретные значения. Определить вероятность Wi, если известно, что xi = Exi Wi = х0, а энтропия максимальна.
27226. Определить фазовую траекторию частицы массой m и зарядом -е, движущейся под действием кулоновской силы к неподвижному заряду +е1. Начальное расстояние равно r0, начальная скорость равна нулю.
27227. Проверить справедливость теоремы Лиувилля для абсолютно неупругого удара двух частиц.
27228. Проверить справедливость теоремы Лиувилля для упругого центрального соударения двух частиц с различными массами.
27229. Найти площадь, заключенную внутри фазовой траектории осциллятора, отвечающую энергиям меньшим или равным е. Определить число квантовых состояний Г(e).
27230. Убедиться в справедливости соотношения (dCv\dV)т = T(d2P/dT2)v.
27231. Убедиться в справедливости соотношения Cp - Cv = -T(dР/dТ)2v/(dP/dV)т.
27232. Убедиться в справедливости соотношения (dP\dp)s = Cp/Cv(dP/dp)т.
27233. Используя перекрестные соотношения, выразить (dT/dV)s и (dS/dV)т через производные при постоянном объеме.
27234. Найти зависимость скорости звука в идеальном газе от температуры.
27235. Найти зависимость адиабатического коэффициента объемного расширения от температуры для идеального газа.
27236. Идеальный газ помещен в два различных изолированных сосуда с одинаковым давлением и температурой. Определить, как изменится энтропия системы, если сосуды соединить.
27237. Определить работу, количество тепла и коэффициент полезного действия в цикле Карно, т.е. в процессе, состоящем из двух изотерм и двух адиабат.
27238. Определить работу и количество тепла в идеальном газе при циклическом процессе, состоящем из двух изохор и двух изобар.
27239. Убедиться в том, что энергия идеального газа зависит от числа частиц и температуры и не зависит от объема.
27240. Определить работу и получаемое газом тепло при сжатии идеального газа при политропическом процессе: РVn = const.
27241. Определить общий вид уравнения состояния вещества, теплоемкость которого не зависит от объема, но зависит от температуры.
27242. Определить коэффициент полезного действия цикла Клапейрона, состоящего из двух изотерм и двух изохор.
27243. Определить изменение энтропии идеального газа, изотермически расширяющегося от V1 до V2.
27244. Рассматривая квантовый гармонический осциллятор с частотой w в качестве подсистемы, записать для него распределение Гиббса.
27245. Рассматривая идеальный одноатомный газ с объемом V, температурой Т и числом частиц N в качестве подсистемы, найти для такого газа распределение по энергиям dW(E).
27246. Используя микроканоническое распределение, получить распределение Гиббса в квазиклассическом приближении, полагая, что термостат - идеальный газ, имеющий температуру T, а число частиц термостата очень велико.
27247. Имеется столб одноатомного идеального газа в поле тяжести. Определить статистический интеграл этого газа. Вычислить свободную, внутреннюю энергию и теплоемкость. Рассмотреть предельные случаи высокого и низкого столба газа.
27248. Определить нормировочный множитель в микроскопическом распределении для системы из N невзаимодействующих частиц (идеального газа).
27249. Определить термодинамические функции релятивистского идеального газа содержащего N частиц в объеме V. Зависимость энергии e частицы газа от импульса р имеет вид e = l/(mc2)2 + (pc)2. Температура газа Т; m - масса частицы; с - скорость света.
27250. N магнитных моментов электронов во внешнем магнитном поле образуют подсистему. Взаимодействием магнитных моментов между собой пренебречь. Каждый такой магнитный момент в магнитном поле может иметь лишь две ориентации и соответственно два значения энергии e1 и е2. Найти для такой подсистемы: а) распределение Гиббса. Для простоты принять, что e1 = 0, е2 = е; б) статистическую сумму; в) свободную энергию, энтропию и среднюю энергию; г) выразить энтропию S через среднюю энергию Е и, принимая во внимание определение температуры 1/T = dS(E)/dE, убедиться в том, что температура Т подсистемы может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Изобразить графически зависимость S от Е; д) зная зависимость средней энергии Е от температуры T, найти теплоемкость Cv и выяснить величину этой теплоемкости для T -- > 0 и T -- > oо.
27251. Найти среднее значение Еn (n > 0) для одноатомного идеального газа, содержащего N частиц (n - целое число).
27252. Определить нормировочный множитель в микроканоническом распределении для системы из N независимых линейных гармонических осцилляторов.
27253. Энергия идеального газа может быть представлена в виде E = Eei, где ei - энергия отдельной молекулы. Выразить статистический интеграл газа через статистический интеграл отдельной молекулы. Найти среднюю энергию газа, а также его энтропию и давление.
27254. Показать, что для системы с большим числом частиц имеет место равенство Em~(E)m, где m-целое положительное число.
27255. Получить термодинамические функции для подсистемы - трехмерного квантового гармонического осциллятора, энергия которого еn=hw(n+3/2) имеет кратность вырождения gn=(n+1)(n+2)/2. Квантовое число n может принимать значения 0,1,2,...
27256. Дан идеальный одноатомный газ с числом части N и температурой Т в объеме V. Используя распределение Гиббса в квазиклассическом приближении (масса частиц газа известна), найти: а) распределение по энергиям такого газа как целого; б) энергию газа Еmax, отвечающую максимуму функции распределения; в) используя результат а), отыскать среднюю энергию газа Е и сравнить ее с Еmax, имея в виду, что число частиц газа N >> 1; г) используя результат а), отыскать вид функции распределения по энергиям вблизи Еmax. Убедиться в том, что для N >> 1 ширина функции распределения по энергиям много меньше Еmax.
27257. Дан идеальный газ, у частиц которого связь кинетической энергии частицы e с импульсом р имеет вид e = ap^l, где l и а — постоянные положительные величины. Вычислить статистический интеграл такого газа и, зная его, найти термодинамические функции газа: свободную энергию, энтропию, среднюю внутреннюю энергию, теплоемкости Cv и Ср. Найти также уравнение состояния такого газа. Сделать предельные переходы к случаям обычного одноатомного газа из нерелятивистских частиц и одноатомного газа из ультрарелятивистских частиц.
27258. Для подсистемы, имеющей f степеней свободы и находящейся вблизи равновесия, выразить число состояний c энергией в интервале Е, E + dE через энтропию подсистемы.
27259. Дан двухатомный идеальный газ, молекулы которого обладают электрическим дипольным моментом d {|d| = d0 = const}. Газ находится в постоянном однородном электрическом поле e0 и имеет температуру Т. Требуется: а) найти добавок к свободной энергии рассматриваемого идеального газа, обусловленный взаимодействием дипольных моментов d с электрическим полем е0. Число молекул в газе N, объем газа V; б) зная результат пункта а), найти вклад в теплоемкость газа, обусловленный взаимодействием диполей d с полем e0; в) найти распределение по углам электрических дипольных моментов d в поле e0; г) зная результат пункта в), найти выражение для диэлектрической проницаемости газа в случае слабого поля e0.
27260. Найти вклад в теплоемкость идеального газа из двухатомных молекул, обусловленный ангармоничностью колебаний молекул. Потенциальную энергию двухатомной молекулы взять в виде U = xq2/2 + aq3 + bq4, где х, a и b постоянные величины; q - отклонение размера молекулы от равновесного значения. Число молекул в газе N, объем газа V, температура газа T.
27261. Дан одноатомный идеальный газ в объеме V. Температура газа T, число частиц N, масса атома m. Требуется: а) найти величину фазового объема такого газа, имея в виду, что газ находится в равновесии, и выразить ее через E = Emax, N и V; б) найти энтропию такого газа, используя результат пункта а); в) используя определение равновесной температуры тела, выразить Е газа через Т и записать энтропию газа через T, N и V.
27262. Используя распределение Больцмана в квазиклассическом приближении, получить в декартовой системе координат распределение Максвелла по импульсам и скоростям для одноатомного газа.
27263. Используя распределение Максвелла по скоростям в декартовой системе координат для одноатомного газа, получить распределение Максвелла в цилиндрической и сферической системах координат.
27264. Используя распределение Максвелла по скоростям, найти средние значения: a) vx; б) v; в) v2x.
27265. Найти число частиц в единице объема идеального газа, vz-компонента скорости которых лежит в интервале 0 < vz < v0z, в то время как компоненты скорости vx и vy лежат в интервалах от vx до vx + dvx и от vу до vy + dvy.
27266. Найти число ударов о стенку (в единицу времени и на единицу поверхности): а) частицами газа, vz -компонента скорости которых лежит в интервале от vz до vz + dvz, в то время как компоненты скорости vx и vy лежат в интервалах -oo < vx < +oo, -oo < vy < +oo соответственно (ось z перпендикулярна к стенке); б) частицами газа, двигающимися к стенке в элементе телесного угла dW, в то время как значения абсолютной величины скорости v заключены в интервале от v до v + dv.
27267. Найти наиболее вероятную скорость атома в одноатомном идеальном газе.
27268. Найти распределение по импульсам для ультрарелятивистского одноатомного идеального газа.
27269. Найти число столкновений молекулы с остальными молекулами в единицу времени, считая молекулы абсолютно твердыми шариками радиусом а.
27270. Найти средний размер l двухатомной молекулы, совершающей гармонические колебания около положения равновесия.
27271. В квазиклассическом приближении получить распределение Больцмана для одноатомного идеального газа, находящегося в поле тяжести.
27272. Получить распределение Максвелла по кинетическим энергиям частиц для одноатомного газа.
27273. Найти число частиц в единице объема газа с кинетическими энергиями е в интервале е1 < е < е2 (газ одноатомный).
27274. Найти число частиц в одноатомном газе, имеющих кинетическую энергию большую, чем заданная энергия e0. Считать при этом, что е0 >> T.
27275. Найти наиболее вероятную кинетическую энергию частицы в одноатомном идеальном газе.
27276. Найти химический потенциал одноатомного идеального газа, используя распределение Больцмана.
27277. Как изменится распределение Максвелла, если газ как целое будет совершать движение со скоростью u?
27278. Найти среднюю потенциальную энергию частицы одноатомного идеального газа, находящегося во вращающемся цилиндре (радиус цилиндра R, угловая скорость вращения цилиндра вокруг своей оси w, масса частицы m).
27279. Энергия частицы идеального релятивистского газа е связана с импульсом р соотношением e = |/(mc2)2 + (pc)2. Найти распределение Максвелла в данном случае.
27280. Найти распределение Максвелла по относительным скоростям (одной частицы относительно другой).
27281. Получить распределение Максвелла по скоростям для случая двухмерного одноатомного идеального газа; найти среднюю скорость атомов, а также средний квадрат скорости.
27282. Электроны, испаряющиеся с раскаленной нити и образующие газ с плотностью n, пролетают через последовательность щелей, образующих направленный пучок площадью 1 см2. Пучок проходит через задерживающее электрическое поле, останавливающее часть электронов. Считая газ электронов идеальным, найти число электронов, проходящих через задерживающее поле в единицу времени.
27283. Атомарный пучок выходит из узкой щели в откачанный сосуд. Найти v и v2 в пучке, считая атомарный газ идеальным.
27284. Идеальный газ находится в двух сосудах при одинаковой температуре Т и различных давлениях Р1 и Р2. Сосуды расположены рядом и в перегородке между ними имеется узкое отверстие с площадью s. Требуется: а) вычислить количество газа, протекающего в единицу времени в сторону меньшего давления в стационарном случае (Р1 = const и Р2 = const); б) вычислить энергию, переносимую в единицу времени; в) определить среднюю энергию, переносимую одной частицей. Почему она больше, чем 3/2 T? д) определить, что надо сделать, чтобы условия опыта сохранились постоянными.
27285. Найти центр масс столба идеального газа в однородном поле тяготения, если ускорение свободного падения g = const, масса молекулы m, температура газа Т. Для простоты принять, что высота столба газа велика.
27286. Найти среднее значение потенциальной энергии одной частицы в равновесном столбе идеального газа высотой H. Газ находится при температуре Т в однородном поле тяжести с ускорением g = const, масса молекулы газа m.
27287. Найти r2 частиц идеального газа от оси центрифуги радиусом R. Масса частицы газа m, температура газа T, угловая скорость вращения центрифуги w. Показать, что не существует наивероятнейшего расстояния до оси.
27288. Получить распределение частиц идеального газа по координатам в вертикальном цилиндре радиусом R, высотой H, находящегося в однородном поле тяжести с ускорением g = const и вращающегося вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью w. Масса частицы m, температура газа Т.
27289. Найти среднюю потенциальную энергию молекулы двухатомного идеального газа, помещенного в постоянное однородное электрическое поле с напряженностью E. Электрический дипольный момент молекулы d0, температура газа T.
27290. Атомы в двухатомной молекуле взаимодействуют по закону U(r) = A/r12 - B/r6 (В, А > 0). Определить коэффициент линейного расширения такой молекулы. Температура газа T.
27291. Для абсолютно вырожденного газа электронов (T = 0) найти: а) химический потенциал газа ц(Р, 0); б) среднюю энергию газа Е; в) давление газа Р; г) связь Р и Е и убедиться в том, что эта связь такая же, как и для случая обычного идеального атомарного газа при нормальных условиях.
27292. Определить число состояний W(е) dе, импульс Ферми и энергию Ферми для абсолютно вырожденного ультрарелятивистского газа электронов из N0 частиц в объеме V (энергия частиц e связана с импульсом р соотношением e = рс, где с — скорость света).
27293. Для газа фермионов при абсолютном нуле температуры найти среднюю скорость частиц, среднюю квадратичную скорость, а также среднее значение обратной скорости.
27294. Найти поправочный член в уравнении состояния идеального газа, обусловленный квантовой статистикой.
27295. Найти связь между давлением и средней энергии для бозе-газа в нерелятивистском случае.
27296. Оценить теплоемкость Ср равновесного черного излучения.
27297. Вывести формулу Планка для черного излучения в диспергирующей среде, в которой показатель преломления зависит от частоты излучения.
27298. Для абсолютно вырожденного газа электронов (T = 0) найти число ударов о стенку (в единицу времени и о единицу поверхности).
27299. Для абсолютно вырожденного газа электронов (Т = 0) найти число ударов о стенку электронами (в единицу времени и о единицу поверхности), направления движения которых лежат внутри телесного угла dW, в то время как абсолютное значение скорости электронов лежит в пределах 0 < v < P0/m, где P0 - импульс Ферми, m - масса электрона.
27300. Вычислить химический потенциал сильновырожденного электронного газа при температуре, отличной от абсолютного нуля.
27301. Вывести формулу для спектральной плотности равновесного излучения в двухмерном случае.
27302. Получить термодинамические функции черного излучения в двухмерном случае.
27303. Дана одномерная система из N частиц со спином 1/2. Взаимодействуют лишь соседние частицы. Энергия взаимодействия есть е, если спины соседних частиц параллельны, и -е, если антипараллельны. Найти статистическую сумму для такой системы.