Вход на сайт |
7887.
Доказать, что если Ψ-функция циклически зависит от времени  , то плотность вероятности есть функция только координаты.
7888.
Электрон находится в бесконечно глубоком прямоугольном одномерном потенциальном ящике шириной l (рис. 46.4). Написать уравнение Шредингера и его решение (в тригонометрической форме) для области II (0<x<l).
7889.
Известна волновая функция, описывающая состояние электрона в потенциальном ящике шириной l: Ψ (x) = C1 sin kx + C2 cos kx Используя граничные условия ψ(0)=0 и ψ(l) = 0 определить коэффициент С2 и возможные значения волнового вектора k, при котором существуют нетривиальные решения.
7890.
Электрону в потенциальном ящике шириной l отвечает волновое число k = πn/l (п==1, 2, 3, . . .). Используя связь энергии Е электрона с волновым числом k, получить выражение для собственных значений энергии Еn.
7891.
Частица находится в потенциальном ящике. Найти отношение разности соседних энергетических уровней ΔEn+1, n к энергии Еn частицы в трех случаях: 1) n = 3;
2) n = 10; 3) n > ∞. Пояснить полученные результаты.
7892.
Электрон находится в потенциальном ящике шириной l = 0,5 им. Определить наименьшую разность ΔE энергетических уровней электрона. Ответ выразить в электрон-вольтах.
7893.
Собственная функция, описывающая состояние частицы в потенциальном ящике, имеет вид  . Используя условия нормировки, определить постоянную С.
7894.
Решение уравнения Шредингера для бесконечно глубокого одномерного прямоугольного потенциального ящика можно записать в виде ψ (x) = C1eikx + C2e-ikx, где  . Используя граничные условия и нормировку ψ-функции, определить: 1) коэффициенты C1 и С2; 2) собственные значения энергии En Найти выражение для собственной нормированной ψ-функции.
7895.
Изобразить на графике вид первых трех собственных функций ψn(x), описывающих состояние электрона в потенциальном ящике шириной l, а также вид [ψn(x)]2. Установить соответствие между числом N узлов волновой функции (т. е. числом точек, где волновая функция обращается в нуль в интервале 0<х<l) и квантовым числом n. Функцию считать нормированной на единицу.
7896.
Частица в потенциальном ящике шириной l находится в возбужденном состоянии (n = 2). Определить, в каких точках интервала (0<x<l) плотность вероятности [ψ2(x)]2 нахождения частицы максимальна и минимальна.
7897.
Электрон находится в потенциальном ящике шириной l. В каких точках в интервале (0<x<l)плотность вероятности нахождения электрона на первом и втором энергетических уровнях одинакова? Вычислить плотность вероятности для этих точек. Решение пояснить графически.
7898.
Частица в потенциальном ящике находится в основном состоянии. Какова вероятность W нахождения частицы: 1) в средней трети ящика; 2) в крайней трети ящика?
7899.
В одномерном потенциальном ящике шириной l находится электрон. Вычислить вероятность W нахождения электрона на первом энергетическом уровне в интервале 1/4, равноудаленном от стенок ящика.
7900.
Частица в потенциальном ящике шириной l находится в низшем возбужденном состоянии. Определить вероятность W нахождения частицы в интервале 1/4, равноудаленном от стенок ящика.
7901.
Вычислить отношение вероятностей W1/W2 нахождения электрона на первом и втором энергетических уровнях в интервале 1/4, равноудаленном от стенок одномерной потенциальной ямы шириной l.
7902.
Показать, что собственные функции  и  ,описывающие состояние частицы в потенциальном ящике, удовлетворяют условию ортогональности, т. е.
7903.
Электрон находится в одномерном потенциальном ящике шириной l. Определить среднее значение координаты <x> электрона (0<x<l).
7904.
Используя выражение энергии  частицы, находящейся в потенциальном ящике, получить приближенное выражение энергии: 1) гармонического осциллятора; 2) водородоподобного атома. Сравнить полученные результаты с истинными значениями энергий.
7905.
Считая, что нуклоны в ядре находятся в трехмерном потенциальном ящике кубической нормы с линейными размерами l = 10 фм, оценить низший энергетический уровень нуклонов в ядре.
7906.
Определить из условия нормировки коэффициент С собственной ψ -функции  , описывающей состояние электрона в двухмерном бесконечно глубоком потенциальном ящике со сторонами l1 и l2.
7907.
Электрон находится в основном состоянии в двухмерном квадратном бесконечно глубоком потенциальном ящике со стороной l. Определить вероятность W нахождения электрона в области, ограниченной квадратом, который равноудален от стенок ящика и площадь которого составляет 1/4 площади ящика.
7908.
Определить из условия нормировки коэффициент собственной ψ -функции
 , описывающей состояние электрона в трехмерном потенциальном бесконечно глубоком ящике со сторонами l1, l2, l3.
7909.
Написать уравнение Шредингера для электрона с энергией Е, движущегося в положительном направлении оси Х для областей I и II (см. рис. 46.1), если на границе этих областей имеется низкий потенциальный барьер высотой U.
7910.
Написать решения уравнений Шредингера (см. предыдущую задачу) для областей I и II. Какой смысл имеют коэффициенты A1 и B1 для ψ1(x) и A2 и B2 для ψII(x)? Чему равен коэффициент В2?
7911.
Зная решение уравнений Шредингера для областей I и II потенциального барьера
 , ψII(x) = A2eikx определить из условий непрерывности ψ-функций и их первых производных на границе барьера отношение амплитуд вероятности B1/A1 и A2/A1.
7912.
Зная отношение амплитуд вероятности  . Для волны, отраженной от барьера, и  для проходящей волны, найти выражение для коэффициента отражения ρ и коэффициента прохождения τ.
7913.
Считая выражение для коэффициента отражения ρ от потенциального барьера и коэффициента прохождения τ известными, показать, что ρ+τ=1.
7914.
Электрон с энергией E = 25 эВ встречает на своем пути потенциальный барьер высотой U = 9эВ (см. рис. 46.1). Определить коэффициент преломления n волн де Бройля на границе барьера.
7915.
Определить коэффициент преломления n волн де Бройля для протонов на границе потенциальной ступени (рис. 46.5). Кинетическая энергия протонов равна 16 эВ, а высота U потенциальной ступени равна 9 эВ.
7916.
Электрон обладает энергией E = 10 эВ. Определить, во сколько раз изменятся его скорость v, длина волны де Бройля λ и фазовая скорость при прохождении через потенциальный барьер (см. рис. 46.1) высотой U = 6 эВ.
7917.
Протон с энергией E = 1 МэВ изменил при прохождении потенциального барьера дебройлевскую длину волны на 1 %. Определить высоту U потенциального барьера.
7918.
На пути электрона с дебройлевской длиной волны λ1 = 0,l нм находится потенциальный барьер высотой U = 120 эВ. Определить длину волны де Бройля λ2 после прохождения барьера.
7919.
Электрон с энергией E = 100эВ попадает на потенциальный барьер высотой U = 64 эВ. Определить вероятность W того, что электрон отразится от барьера.
7920.
Найти приближенное выражение коэффициента отражения ρ от очень низкого потенциального барьера (U<<E).
7921.
Коэффициент отражения ρ протона от потенциального барьера равен 2,5•10-5. Определить, какой процент составляет высота U барьера от кинетической энергии Т падающих на барьер протонов.
7922.
Вывести формулу, связывающую коэффициент преломления n волн де Бройля на границе низкого потенциального барьера и коэффициент отражения ρ от него.
7923.
Определить показатель преломления n волн де Бройля при прохождении частицей потенциального барьера с коэффициентом отражения ρ = 0,5.
7924.
При каком отношении высоты U потенциального барьера и энергии Е электрона, падающего на барьер, коэффициент отражения ρ = 0,5?
7925.
Электрон с энергией Е = 10 эВ падает на потенциальный барьер. Определить высоту U барьера, при которой показатель преломления n волн де Бройля и коэффициент отражения ρ численно совпадают.
7926.
Кинетическая энергия Т электрона в два раза превышает высоту U потенциального барьера. Определить коэффициент отражения ρ и коэффициент прохождения τ электронов на границе барьера.
7927.
Коэффициент прохождения τ электронов через низкий потенциальный барьер равен коэффициенту отражения ρ. Определить, во сколько раз кинетическая энергия Т электронов больше высоты U потенциального барьера.
7928.
Вывести формулу, связывающую коэффициент прохождения τ электронов через потенциальный барьер и коэффициент преломления n волн де Бройля.
7929.
Коэффициент прохождения τ протонов через потенциальный барьер равен 0,8. Определить показатель преломления n волн де Бройля на границе барьера.
7930.
Электрон с кинетической энергией Т движется в положительном направлении оси X. Найти выражение для коэффициента отражения ρ и коэффициента прохождения τ на границе потенциальной ступени высотой U (рис. 46.5).
7931.
Найти приближенное выражение для коэффициента прохождения τ через низкий потенциальный барьер при условии, что кинетическая энергия Т частицы в области II (см. рис. 46.1) много меньше высоты U потенциального барьера.
7932.
Вычислить коэффициент прохождения τ электрона с энергией E = 100 эВ через потенциальный барьер высотой U = 99, 75 эВ.
7933.
Показать на частном примере низкого потенциального барьера сохранение полного числа частиц, т. е. что плотность потока N электронов, падающих на барьер, равна сумме плотности потока Nρ электронов, отраженных от барьера, и плотности потока Nτ электронов, прошедших через барьер.
7934.
На низкий потенциальный барьер направлен моноэнергетический поток электронов с плотностью потока энергии J1 = 10Вт/м2. Определить плотность потока энергии J2 а электронов, прошедших барьер, если высота его U = 0,91 эВ и энергия Е электронов в падающем потоке равна 1 эВ.
7935.
Моноэнергетический поток электронов падает на низкий потенциальный барьер (см. рис. 46.1). Коэффициент прохождения τ = 0,9. Определить отношение J2/J1 плотности потока энергии волны, прошедшей барьер, к плотности потока энергии волны, падающей на барьер.
7936.
На низкий потенциальный барьер падает моноэнергетический поток электронов. Концентрация n0 электронов в падающем потоке равна 109 мм-3, а их энергия E = 100 эВ. Определить давление, которое испытывает барьер, если его высота U = 9,7 эВ.
7937.
Написать уравнение Шредингера и найти его решение для электрона, движущегося в положительном направлении оси х для областей I и II (рис. 46.6), если на границе этих областей имеется потенциальный барьер высотой U.
7938.
Для областей I и II высокого потенциального барьера (см. рис. 46.5) ψ-функции имеют вид  и  . Используя непрерывность ψ-функций и их первых производных на границе барьера, найти отношение амплитуд A2 /A1.
7939.
Написать выражение для ψII (x) в области II (рис. 46.6) высокого потенциального барьера, если ψ-функция нормирована так, что A1 = 1.
7940.
Амплитуда A2 а волны в области II высокого потенциального барьера (рис. 46.6) равна   . Установить выражение для плотности вероятности нахождения частицы в области II (x > 0), если энергия частицы равна Е, а высота потенциального барьера равна U.
7941.
Используя выражение для коэффициента отражения от низкой ступени  , где k1 и k2 — волновые числа, найти выражение коэффициента отражения от высокой ступени (T<U).
7942.
Показать, что имеет место полное отражение электронов от высокого потенциального барьера, если коэффициент отражения может быть записан в виде  .
7943.
Определить плотность, вероятности |ψII (0)|2 нахождения электрона в области II высокого потенциального барьера в точке х = 0, если энергия электрона равна Е, высота потенциального барьера равна U и ψ-функция нормирована так, что A1 = l.
7944.
Написать уравнения Шредингера для частицы с энергией Е, движущейся в положительном направлении оси Х для областей I, II и III (см. рис. 46.3), если на границах этих областей имеется прямоугольный потенциальный барьер высотой U и шириной d.
7945.
Написать решения уравнений Шредингера (см. предыдущую задачу) для областей I, II и III , пренебрегая волнами, отраженными от границ I — II и II — III , и найти коэффициент прозрачности D барьера.
7946.
Найти вероятность W прохождения электрона через прямоугольный потенциальный барьер при разности энергий U-E=1 эВ, если ширина барьера: 1) d = 0,1 нм; 2) d = 0,5нм.
7947.
Электрон проходит через прямоугольный потенциальный барьер шириной d = 0,5 нм. Высота U барьера больше энергии Е электрона на 1 %. Вычислить коэффициент прозрачности D, если энергия электрона: 1) E = 10 эВ; 2) E = 100 эВ.
7948.
Ширина d прямоугольного потенциального барьера равна 0,2 нм. Разность энергий U-E=1 эВ. Во сколько раз изменится вероятность W прохождения электрона через барьер, если разность энергий возрастет в n = 10 раз?
7949.
Электрон с энергией E = 9 эВ движется в положительном направлении оси X. При какой ширине d потенциального барьера коэффициент прозрачности D = 0,1, если высота U барьера равна 10 эВ? Изобразите на рисунке примерный вид волновой функции (ее действительную часть) в пределах каждой из областей I, II, III (см. рис. 46.3).
7950.
При какой ширине d прямоугольного потенциального барьера коэффициент прозрачности D для электронов равен 0,01? Разность энергий U-E=10 эВ.
7951.
Электрон с энергией E движется в положительном направлении оси X. При каком значении U-Е, выраженном в электрон-вольтах, коэффициент прозрачности D=10-3, если ширина d барьера равна 0,1 нм?
7952.
Электрон с энергией E = 9 эВ движется в положительном направлении оси X. Оценить вероятность W того, что электрон пройдет через потенциальный барьер, если его высота U = 10эВ и ширина d = 0,1 нм.
7953.
Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину d = 0,l нм. При какой разности энергий U-Е вероятность W прохождения электрона через барьер равна 0,99?
7954.
Ядро испускает α-частицы с энергией E = 5MeB. В грубом приближении можно считать, что α-частицы проходят через прямоугольный потенциальный барьер высотой U = 10МэВ и шириной d = 5 фм. Найти коэффициент прозрачности D барьера для α-частиц.
7955.
Протон и электрон прошли одинаковую ускоряющую разность потенциалов Δφ=10 кВ. Во сколько раз отличаются коэффициенты прозрачности De для электрона и Dp для протона, если высота U барьера равна 20 кэВ и ширина d=0,l пм?
7956.
Уравнение Шредингера в сферической системе координат для электрона, находящегося в водородоподобном атоме, имеет вид
 Показать, что это уравнение разделяется на два, если волновую функцию представить в виде произведения двух функций: 
где R (r) — радиальная и Y (θ, φ) — угловая функции.
7957.
Уравнение для радиальной R(r) функции, описывающей состояние электрона в атоме водорода, имеет вид
 где α, β и l — некоторые параметры. Используя подстановку χ(r) = rR(r) преобразовать его к виду 
7958.
Уравнение для радиальной функции χ(r) может быть преобразовано к виду
 где  ; l — целое число. Найти асимптотические решения уравнения при больших числах r. Указать, какие решения с Е>0 или с E<0 приводят к связанным состояниям.
7959.
Найти по данным предыдущей задачи асимптотическое решение уравнения при малых r.
Указание. Считать при малых r члены α и 2β/r малыми по сравнению с l(l+1)/r2 Применить подстановку χ (r)=rγ. 7960. Найти решение уравнения для радиальной функции R(r), описывающей основное состояние (l = 0), и определить энергию электрона в этом состоянии. Исходное уравнение для радиальной функции может быть записано в виде  где  ; l —орбитальное квантовое число.
Указание. Применить подстановку R (r) = е-γr 7961. Атом водорода находится в основном состоянии. Собственная волновая функция, описывающая состояние электрона в атоме, имеет вид ψ(r) = Се-r/a, где С — некоторая постоянная. Найти из условия нормировки постоянную С. 7962. Собственная функция, описывающая основное состояние электрона в атоме водорода, имеет вид ψ(r)=Се-r/a, где  (боровский радиус). Определить расстояние r, на котором вероятность нахождения электрона максимальна.
7963.
Электрон в атоме водорода описывается в основном состоянии волновой функцией ψ(r)= Се-r/a. Определить отношение вероятностей ω1/ω2 пребывания электрона в сферических слоях толщиной Δr = 0,01а и радиусами r1=0,5а и r2=1,5a.
7964.
Атом водорода находится в основном состоянии. Вычислить: 1) вероятность ω1 того, что электрон находится внутри области, ограниченной сферой радиуса, равного боровскому радиусу а;
2) вероятность ω2 того, что электрон находится вне этой области;
3) отношение вероятностей ω2/ω1. Волновую функцию считать известной:
 7965. Зная, что нормированная собственная волновая функция, описывающая основное состояние электрона в атоме водорода, имеет вид  , найти среднее расстояние <r> электрона от ядра.
7966.
Принято электронное облако (орбиталь) графически изображать контуром, ограничивающим область, в которой вероятность обнаружения электрона составляет 0,9. Вычислить в атомных единицах радиус орбитали для ls-состояния электрона в атоме водорода. Волновая функция, отвечающая этому состоянию,  , где ρ — расстояние электрона от ядра, выраженное в атомных единицах.
Указание. Получающееся трансцендентное уравнение решить графически. 7967. Волновая функция, описывающая 2s - состояние электрона в атоме водорода, имеет вид  , где ρ—расстояние электрона от ядра, выраженное в атомных единицах. Определить: 1) расстояние ρ1 от ядра, на которых вероятность обнаружить электрон имеет максимум; 2) расстояния ρ2 от ядра, на которых вероятность нахождения электрона равна нулю; 3) построить графики зависимости [ψ200 (ρ)]2 от ρ и ρ2 [ψ200(ρ)]2 от ρ.
7968.
Уравнение для угловой функции Y(θ, φ) в сферической системе координат может быть записано в виде
 где λ — некоторая постоянная. Показать, что это уравнение можно разделить на два, если угловую функцию представить в виде произведения двух функций:  , где  — функция, зависящая только от угла  ; Ф(φ) — то же, только от угла φ.
7969.
Угловая функция Ф(φ) удовлетворяет уравнению  . Решить уравнение и указать значения параметра m, при которых уравнение имеет решение.
7970.
Зависящая от угла φ угловая функция имеет вид Ф(φ) = Ceimφ. Используя условие нормировки, определить постоянную С.
7971.
Изобразить графически угловое распределение плотности вероятности нахождения электрона в атоме водорода, если угловая функция Yl,m( ,φ) имеет вид: 1) в s-состоянии (l = 0)  ; 2) в p-состоянии (l=1) при трех значениях m: a) m=1  ; б) m = 0,  , в) m = -1  . Для построений воспользоваться полярной системой координат.
7972.
Угловое распределение плотности вероятности нахождения электрона в атоме водорода определяется видом угловой функции  . Показать, что p-подоболочка имеет сферически симметричное распределение плотности вероятности. Воспользоваться данными предыдущей задачи.
7973.
Вычислить момент импульса Ll орбитального движения электрона, находящегося в атоме: 1) в s-состоянии; 2) в p-состоянии.
7974.
Определить возможные значения проекции момента импульса Llz орбитального движения электрона в атоме на направление внешнего магнитного поля. Электрон находится в d-состоянии.
7975.
Атом водорода, находившийся первоначально в основном состоянии, поглотил квант света с энергией ε =10,2 эВ. Определить изменение момента импульса ΔLl орбитального движения электрона. В возбужденном атоме электрон находится в p-состоянии.
7976.
Используя векторную модель атома, определить наименьший угол α, который может образовать вектор Ll момента импульса орбитального движения электрона в атоме с направлением внешнего магнитного поля. Электрон в атоме находится в d-состоянии.
7977.
Электрон в атоме находится в f-состоянии. Найти орбитальный момент импульса Ll электрона и максимальное значение проекции момента импульса Ll z max направление внешнего магнитного поля.
7978.
Момент импульса Ll орбитального движения электрона в атоме водорода равен 1,83•10-34 Дж•с. Определить магнитный момент μl, обусловленный орбитальным движением электрона.
7979.
Вычислить полную энергию Е, орбитальный момент импульса Ll и магнитный момент μl;электрона, находящегося в 2p-состоянии в атоме водорода.
7980.
Может ли вектор магнитного момента μl орбитального движения электрона установиться строго вдоль линий магнитной индукции?
7981.
Определить возможные значения магнитного момента μl, обусловленного орбитальным движением электрона в возбужденном атоме водорода, если энергия ε возбуждения равна 12,09эВ.
7982.
Вычислить спиновый момент импульса Ls электрона и проекцию Lsz этого момента на направление внешнего магнитного поля.
7983.
Вычислить спиновый магнитный момент μs электрона и проекцию магнитного момента μsz на направление внешнего поля.
7984.
Почему для обнаружения спина электрона в опытах Штерна и Герлаха используют пучки атомов, принадлежащих первой группе периодической системы, причем в основном состоянии?
7985.
Атомы серебра, обладающие скоростью v = 0,6 км/с, пропускаются через узкую щель и направляются перпендикулярно линиям индукции неоднородного магнитного поля (опыт Штерна и Герлаха). В поле протяженностью l = 6 см пучок расщепляется на два. Определить степень неоднородности дВ/дz магнитного поля, при которой расстояние b между компонентами расщепленного пучка по выходе его из поля равно 3 мм. Атомы серебра находятся в основном состоянии.
7986.
Узкий пучок атомарного водорода пропускается в опыте Штерна и Герлаха через поперечное неоднородное (дВ/дz = 2 кТл/м) магнитное поле протяженностью l = 8 см. Скорость v атомов водорода равна 4 км/с. Определить расстояние b между компонентами расщепленного пучка атомов по выходе его из магнитного поля. Все атомы водорода в пучке находятся в основном состоянии.
7987.
В опыте Штерна и Герлаха узкий пучок атомов цезия (в основном состоянии) проходит через поперечное неоднородное магнитное поле и попадает на экран Э (рис. 47.1). Какова должна быть степень неоднородности дВ/дz магнитного поля, чтобы расстояние b между компонентами расщепленного пучка на экране было равно 6 мм? Принять l1 = l2 = 10cм. Скорость атомов цезия равна 0,3 км/с.
7988.
Узкий пучок атомов рубидия (в основном состоянии) пропускается через поперечное неоднородное магнитное поле протяженностью l = 10 см (рис.47.1). На экране Э, отстоящем на расстоянии l2 = 20 см от магнита, наблюдается расщепление пучка на два. Определить силу Fz, действующую на атомы рубидия, если расстояние b между компонентами пучка на экране равно 4 мм и скорость v атомов равна 0,5 км/с.
|