Решение задач по физике. Онлайн-база готовых решений.
Поиск по задачам:
Вход на сайт
3992.
Определить ускорение релятивистского электрона, движущегося вдоль однородного электрического поля напряженности E, в момент, когда его кинетическая энергия равна T.
3993.
Релятивистский протон в момент t = 0 влетел со скоростью v0 в область, где имеется поперечное однородное электрическое поле напряженности Е, причем v0 E. Найти зависимость от времени: а) угла θ между вектором скорости v протона и первоначальным направлением его движения; б) проекции vx вектора v на первоначальное направление движения.
3994.
Протон, ускоренный разностью потенциалов U = 500 кВ, пролетает поперечное однородное магнитное поле с индукцией B = 0,51 Т. Толщина области с полем d = 10 см (рис. 3.99). Найти угол α отклонения протона от первоначального направления движения.
3995.
Заряженная частица движется по окружности радиуса r = 100 мм в однородном магнитном поле с индукцией B = 10,0 мТл. Найти ее скорость и период обращения, если частицей является: а) нерелятивистский протон; б) релятивистский электрон.
3996.
Релятивистская частица с зарядом q и массой покоя m0 движется по окружности радиуса r в однородном магнитном поле с индукцией В. Найти: а) модуль вектора импульса частицы; б) кинетическую энергию частицы; в) ускорение частицы.
3997.
Для каких значений кинетической энергии период обращения электрона и протона в однородном магнитном поле на η = 1,0% больше периода их обращения при нерелятивистских скоростях?
3998
Электрон, ускоренный разностью потенциалов U = 1,0 кВ, движется в однородном магнитном поле под углом α = 30° к вектору B, модуль которого B = 29 мТл. Найти шаг винтовой траектории электрона.
3999
Слабо расходящийся пучок нерелятивистских заряженных частиц, ускоренных разностью потенциалов U, выходит из точки A вдоль оси прямого соленоида. Пучок фокусируется на расстоянии l от точки A при двух последовательных значениях индукции магнитного поля, В1 и В2. Найти удельный заряд q/m частиц.
4000.
Из точки A, лежащей на оси прямого соленоида, вылетает нерелятивистский электрон со скоростью v под углом α к оси. Индукция магнитного поля В. Найти расстояние r от оси до точки попадания электрона на экран, расположенный перпендикулярно к оси на расстоянии l от точки А.
4001.
С поверхности цилиндрического провода радиуса a, по которому течет постоянный ток I, вылетает электрон с начальной скоростью v0, перпендикулярной к поверхности провода. Найти, на какое максимальное расстояние удалится электрон от оси провода, прежде чем повернуть обратно под действием магнитного поля тока.
4002.
Нерелятивистская заряженная частица пролетает электрическое поле цилиндрического конденсатора и затем попадает в однородное поперечное магнитное поле с индукцией B (рис. 3.100). В конденсаторе частица движется по дуге окружности, в магнитном поле — по полуокружности радиуса r. Разность потенциалов на конденсаторе U, радиусы обкладок a и b, причем a < b. Найти скорость частицы и ее удельный заряд q/m.
4003.
Из начала координат O области, где созданы однородные параллельные оси y электрическое и магнитное поля с напряженностью Е и индукцией B (рис. 3.101), вылетает в направлении оси х частица с удельным зарядом q/m. Начальная скорость частицы равна v0. Найти для нерелятивистского случая: а) координату уn частицы в момент, когда она n-й раз пересечет ось y; б) угол α между вектором скорости частицы и осью y в этот момент.
4004.
Узкий пучок одинаковых ионов с удельным зарядом q/m, имеющих различные скорости, входит в точке O (см. рис. 3.101) в область, где созданы однородные параллельные электрическое и магнитное поля с напряженностью Е и индукцией В. Направление пучка в точке O совпадает с осью х. На расстоянии l от точки O находится плоский экран, ориентированный перпендикулярно к оси х. Найти уравнение следа ионов на экране. Показать, что при z << l — это уравнение параболы.
4005.
Пучок нерелятивистских протонов проходит, не отклоняясь, через область, в которой созданы однородные поперечные взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля с Е = 120 кВ/м и B = 50 мТл. Затем пучок попадает на заземленную мишень. Найти силу, с которой пучок действует на мишень, если ток в пучке I = 0,80 мА.
4006.
Нерелятивистские протоны движутся прямолинейно в области, где созданы однородные взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля с Е = 4,0 кВ/м и B = 50 мТл. Траектория протонов лежит в плоскости xz (рис. 3.102) и составляет угол φ = 30° с осью х. Найти шаг винтовой линии, по которой будут двигаться протоны после выключения электрического поля.
4007.
Пучок нерелятивистских заряженных частиц проходит, не отклоняясь, через область A (рис. 3.103), в которой созданы поперечные взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля с напряженностью Е и индукцией B. Если магнитное поле выключить, след пучка на экране Э смещается на Δх. Зная расстояния a и b, найти удельный заряд q/m частиц.
4008.
Частица с удельным зарядом q/m движется в области, где созданы однородные взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля с напряженностью Е и индукцией B (рис. 3.104). В момент t = 0 частица находилась в точке О и имела нулевую скорость. Найти для нерелятивистского случая: а) закон движения частицы х(t) и у(t); какой вид имеет траектория; б) длину участка траектории между двумя ближайшими точками, в которых скорость частицы обращается в нуль; в) среднее значение проекции вектора скорости частицы на ось х (дрейфовая скорость).
4009.
Система состоит из длинного цилиндрического анода радиуса a и коаксиального с ним цилиндрического катода радиуса b (b < a). На оси системы имеется нить с током накала I, создающим в окружающем пространстве магнитное поле. Найти наименьшую разность потенциалов между катодом и анодом, при которой термоэлектроны, покидающие катод без начальной скорости, начнут достигать анода.
4010.
Магнетрон — это прибор, состоящий из нити накала радиуса a и коаксиального цилиндрического анода радиуса b, которые находятся в однородном магнитном поле, параллельном нити. Между нитью и анодом приложена ускоряющая разность потенциалов U. Найти значение индукции магнитного поля, при котором электроны, вылетающие с нулевой начальной скоростью из нити, будут достигать анода.
4011.
Заряженная частица с удельным зарядом q/m начинает двигаться в области, где созданы однородные взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля. Магнитное поле постоянно и имеет индукцию В, электрическое же меняется во времени как Е = Еm cos ωt, где ω = qB/m. Найти для нерелятивистского случая закон движения частицы х (t) и у (t), если в момент t = 0 она находилась в точке O (см. рис. 3.104). Какой примерно вид имеет траектория частицы?
4012.
Частота генератора циклотрона v = 10 МГц. Найти эффективнее ускоряющее напряжение на дуантах этого циклотрона, при котором расстояние между соседними траекториями протонов с радиусом r = 0,5 м не меньше, чем Δr = 1,0 см.
4013.
Протоны ускоряют в циклотроне так, что максимальный радиус кривизны их траектории r = 50 см. Найти: а) кинетическую энергию протонов в конце ускорения, если индукция магнитного поля в циклотроне B = 1,0 Т; б) минимальную частоту генератора циклотрона, при которой в конце ускорения протоны будут иметь кинетическую энергию Т = 20 МэВ.
4014.
Однократно ионизованные ионы He+ ускоряют в циклотроне так, что максимальный радиус орбиты r = 60 см. Частота генератора циклотрона v = 10,0 МГц, эффективное ускоряющее напряжение между дуантами U = 50 кВ. Пренебрегая зазором между дуантами, найти: а) полное время процесса ускорения иона; б) приближенное значение пути, пройденного ионом за весь цикл ускорения.
4015.
Так как период обращения электронов в однородном магнитном поле с ростом энергии быстро увеличивается, циклотрон оказывается непригодным для их ускорения. Этот недостаток устраняется в микротроне (рис. 3.105), где изменение периода обращения электрона ΔT делают кратным периоду ускоряющего поля T0. Сколько раз электрону необходимо пройти через ускоряющий промежуток микротрона, чтобы приобрести энергию W = 4,6 МэВ, если ΔT = T0, индукция магнитного поля B = 107 мТл и частота ускоряющего поля ν = 3000 МГц?
4016.
Чтобы в циклотроне не возникала расстройка, связанная с изменением периода обращения частицы при возрастании ее энергии, медленно изменяют (модулируют) частоту ускоряющего поля. По какому закону надо изменять эту частоту ω(t), если индукция магнитного поля равна B и частица приобретает за один оборот энергию Δ W? Заряд частицы q, масса m.
4017.
Частица с удельным зарядом q/m находится внутри соленоида круглого сечения на расстоянии r от его оси. В обмотке включили ток, и индукция магнитного поля стала равной В. Найти скорость частицы и радиус кривизны ее траектории, считая, что за время нарастания тока в соленоиде ее смещение пренебрежимо мало.
4018.
В бетатроне магнитный поток внутри равновесной орбиты радиуса r = 25 см возрастает за время ускорения практически с постоянной скоростью Ф = 5,0 Вб/с. При этом электроны приобретают энергию W = 25 МэВ. Найти число оборотов, совершенных электроном за время ускорения, и соответствующее значение пройденного им пути.
4019.
Показать, что электроны в бетатроне будут двигаться по круговой орбите постоянного радиуса при условии, что индукция магнитного поля на орбите равна половине среднего значения индукции поля внутри орбиты (бетатронное условие).
4020.
Найти с помощью бетатронного условия радиус круговой орбиты электрона, зная зависимость индукции магнитного поля от расстояния r до оси поля. Рассмотреть этот вопрос на примере поля B = В0 – ar2, где В0 и a — положительные постоянные.
4021.
Показать с помощью бетатронного условия, что напряженность вихревого электрического поля в бетатроне имеет экстремум на равновесной орбите.
4022.
В бетатроне индукция магнитного поля на равновесной орбите радиуса r = 20 см изменяется за время Δt = 1,0 мс практически с постоянной скоростью от нуля до B = 0,40 Т. Найти энергию, приобретаемую электроном за каждый оборот.
4023.
Индукция магнитного поля в бетатроне на равновесной орбите радиуса r изменяется за время ускорения от нуля до B практически с постоянной скоростью. Считая начальную скорость электрона равной нулю, найти: а) энергию, приобретенную электроном за время ускорения; б) соответствующее значение пройденного электроном пути, если время ускорения равно Δt.
402.
Точка совершает колебания вдоль оси х по закону х = a cos (at – π/4). Построить примерные графики: а) смещения х, проекции скорости vx и проекции ускорения wx как функций времени t; б) проекции скорости vx и проекции ускорения wx как функций координаты х.
4025.
Некоторая точка движется вдоль оси х по закону х = a sin2 (ωt – π/4). Найти: а) амплитуду и период колебаний; изобразить график х (t); б) проекцию скорости vx как функцию координаты х; изобразить график vx(x).
4026.
Частица совершает гармонические колебания вдоль оси х около положения равновесия х = 0. Частота колебаний ω = 4,00 рад/с. В некоторый момент координата частицы х0 = 25,0 см и ее скорость vx0 = 100 см/с. Найти координату х и скорость vx частицы через t = 2,40 с после этого момента.
4027.
Найти круговую частоту и амплитуду гармонических колебаний частицы, если на расстояниях х1 и х2 от положения равновесия ее скорость равна соответственно v1 и v2.
4028.
Точка совершает гармонические колебания вдоль некоторой прямой с периодом Т = 0,60 с и амплитудой a = 10,0 см. Найти среднюю скорость точки за время, в течение которого она проходит путь a/2: а) из крайнего положения; б) из положения равновесия.
4029.
В момент t = 0 точка начинает совершать колебания вдоль оси х по закону х = a sin ωt. Найти за первые 3/8 периода после начала движения: а) среднее значение проекции ее вектора скорости <vx>; б) модуль среднего вектора скорости |(v)|; в) среднее значение модуля скорости <v>.
4030.
Частица движется вдоль оси х по закону х = a cos ωt. Найти путь, который она пройдет за промежуток времени от t = 0 до t.
4031.
В момент t = 0 частица начинает двигаться вдоль оси х так, что проекция ее скорости меняется по закону vx = 35 cos πt см/с, где t в секундах. Найти путь, который пройдет эта частица за первые t = 2,80 с после начала движения.
4032.
Частица совершает гармонические колебания вдоль оси х по закону х = a cos ωt. Считая вероятность P нахождения частицы в интервале от –а до +а равной единице, найти зависимость от х плотности вероятности dP/dx, где dP — вероятность нахождения частицы в интервале от х до х+dx. Изобразить график dP/dx в зависимости от х.
4033.
Найти графически амплитуду a колебаний, которые возникают при сложении следующих колебаний одного направления: а) х1 = 3,0 cos (ωt + π/3), х2 = 8,0 sin (ωt + π/6); б) х1 = 3,0 cos ωt, x2 = 5,0 cos (ωt + π/4), х3 = 6,0 sin ωt.
4034.
Точка участвует одновременно в двух колебаниях одного направления, которые происходят по законам х1 = a cos ωt и х2 = a cos 2 ωt. Найти максимальную скорость точки.
4035.
При сложении двух гармонических колебаний одного направления результирующее колебание точки имеет вид х = a cos 2,1t•cos 50,0t, где t в секундах. Найти круговые частоты складываемых колебаний и период биений результирующего колебания.
4036.
Точка A колеблется по определенному гармоническому закону в K'-системе отсчета, которая в свою очередь совершает гармонические колебания по отношению к К-системе. Оба колебания происходят вдоль одного и того же направления. При частоте колебаний K'-системы 20 или 24 Гц частота возникающих биений точки A в К-системе оказывается равной v. При какой частоте колебаний K'-системы частота биений точки A станет равной 2ν?
4037.
Точка движется в плоскости ху по закону х = a sin ωt, у = b cos ωt, где a, b и ω — положительные постоянные. Найти: а) уравнение траектории точки у (х) и направление ее движения по этой траектории; б) ускорение точки w в зависимости от ее радиус-вектора r относительно начала координат.
4038.
Найти уравнения траектории точки у (х), если она движется по законам: а) х = a sin ωt, у = a sin 2ωt; б) х = a sin ωt, у = a cos 2ωt. Изобразить графики этих траекторий.
4039.
Частица массы m находится в одномерном потенциальном поле, где ее потенциальная энергия зависит от координаты х как U(х) = U0(1 – cos aх), U0 и a — некоторые постоянные. Найти период малых колебаний частицы около положения равновесия.
4040.
Тот же вопрос, что и в предыдущей задаче, но потенциальная энергия имеет вид U (х) = a/х2 – b/х, где a и b — некоторые положительные постоянные.
4041.
Найти период малых вертикальных колебаний шарика массы m = 40 г, укрепленного на середине горизонтально натянутой струны длины l = 1,0 м. Натяжение струны считать постоянным и равным F = 10 Н.
4042.
Определить период малых колебаний математического маятника — шарика, подвешенного на нити длины l = 20 см, если он находится в жидкости, плотность которой в η = 3,0 раза меньше плотности шарика. Сопротивление жидкости считать пренебрежимо малым.
4043.
Шарик подвесили на нити длины l к точке O стенки, составляющей небольшой угол α с вертикалью (рис. 4.1). Затем нить с шариком отклонили на небольшой угол β (β > α) и отпустили. Считая удар шарика о стенку абсолютно упругим, найти период колебаний такого маятника.
4044.
Маятниковые часы установили в кабине лифта, которая начала подниматься с постоянным ускорением w, причем w<g. На высоте h ускорение кабины изменило свое направление на противоположное, оставшись по модулю тем же. Через сколько времени после начала движения показания часов окажутся верными?
4045.
Вычислить период малых колебаний ареометра (рис. 4.2), которому сообщили небольшой толчок в вертикальном направлении. Масса ареометра m = 50 г, радиус его трубки r = 3,2 мм, плотность жидкости ρ = 1,00 г/см3. Сопротивление жидкости считать пренебрежимо малым.
4046.
Имеется недеформированная пружина жесткости χ = 13 Н/м, концы которой закреплены. В точке, отстоящей от одного из концов пружины на η = 1/3 ее длины, укрепили небольшое тело массы m = 25 г. Пренебрегая массой пружины, найти период малых продольных колебаний данного тела. Силы тяжести нет.
4047.
Определить период малых продольных колебаний тела массы m в системе (рис. 4.3), если жесткости пружинок равны χ1 и χ2, а их массы и трение пренебрежимо малы.
4048.
Найти период малых вертикальных колебаний тела массы m в системе (рис. 4.4). Жесткости пружинок равны χ1 и χ2, а их массы пренебрежимо малы.
4049.
Небольшое тело массы m закреплено на середине натянутой струны длины 2l. Натяжение струны в положении равновесия равно Т0. Найти угловую частоту малых колебаний тела в поперечном направлении. Масса струны пренебрежимо мала, поле тяжести отсутствует.
4050.
Определить период колебаний ртути массы m = 200 г, налитой в изогнутую трубку (рис. 4.5), правое колено которой составляет угол θ = 30° с вертикалью. Площадь сечения канала трубки S = 0,50 см2. Вязкостью ртути пренебречь.
4051.
Однородный стержень положили на два быстро вращающихся блока, как показано на рис. 4.6. Расстояние между осями блоков l = 20 см, коэффициент трения между стержнем и блоками k = 0,18. Показать, что стержень будет совершать гармонические колебания. Найти их период.
4052.
Представим себе шахту, пронизывающую Землю по ее оси вращения. Считая Землю за однородный шар и пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: а) закон движения тела, упавшего в шахту; б) сколько времени понадобится этому телу, чтобы достигнуть противоположного конца шахты; в) скорость тела в центре Земли.
4053.
Найти период малых колебаний математического маятника длины l, если его точка подвеса O движется относительно поверхности Земли в произвольном направлении с постоянным ускорением w (рис. 4.7). Вычислить этот период, если l = 21 см, w = g/2 и угол между векторами w и g β = 120°.
4054.
В установке (рис. 4.8) муфта М массы m = 0,20 кг закреплена между двумя одинаковыми пружинками, общая жесткость которых χ = 20 Н/м. Муфта без трения может скользить по горизонтальному стержню АВ. Установка вращается с постоянной угловой скоростью ω = 4,4 рад/с вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Найти период малых колебаний муфты. При каком значении ω колебаний муфты не будет?
4055.
Доска с лежащим на ней бруском совершает горизонтальные гармонические колебания с амплитудой a = 10 см. Найти коэффициент трения между доской и бруском, если брусок начинает скользить по доске, когда ее период колебания меньше Т = 1,0 c.
4056.
Найти зависимость от времени угла отклонения математического маятника длины 80 см, если в начальный момент маятник: а) отклонили на угол 3,0° и без толчка отпустили; б) находился в состоянии равновесия и его нижнему концу сообщили горизонтальную скорость 0,22 м/с; в) отклонили на 3,0° и его нижнему концу сообщили скорость 0,22 м/с, направленную к положению равновесия.
4057.
Тело A массы m1 = 1,00 кг и тело B массы m2 = 4,10 кг соединены между собой пружиной, как показано на рис. 4.9. Тело A совершает свободные вертикальные гармонические колебания с амплитудой a = 1,6 см и частотой ω = 25 рад/с. Пренебрегая массой пружины, найти наибольшее и наименьшее значения силы давления этой системы на опорную плоскость.
4058.
Доска, на которой лежит тело массы m, начинает двигаться вертикально вверх по закону y = a(1 – cos ωt), где y — смещение из начального положения, ω = 11 рад/с. Найти: а) силу давления тела на доску в зависимости от времени, если a = 4,0 см; изобразить график этой зависимости; б) минимальную амплитуду колебания доски, при которой тело начнет отставать от нее; в) амплитуду колебания доски, при которой тело подскочит на высоту h = 50 см относительно начального положения (в момент t = 0).
4059.
К нерастянутой пружине, верхний конец которой закреплен, подвесили и без толчка отпустили тело массы m. Жесткость пружины χ. Пренебрегая ее массой, найти: а) закон движения тела у(t), где у — его смещение из начального положения; б) максимальное и минимальное натяжения пружины в процессе движения.
4060.
Частица массы m движется под действием силы F = –αmr, где α — положительная постоянная, r — радиус-вектор частицы относительно начала координат. Найти траекторию ее движения, если в начальный момент r = r0i и скорость v = v0j, где i и j — орты осей х и у.
4061.
Тело массы m висит на пружине, прикрепленной к потолку кабины лифта. Жесткость пружины х. В момент t = 0 кабина начала подниматься с ускорением w. Пренебрегая массой пружины, найти закон движения груза у (t) относительно кабины лифта, если у(0) = 0 и у(0) = 0. Рассмотреть два случая: а) w = const; б) w = αt, где α — постоянная.
4062.
Тело массы m = 0,50 кг висит на резиновом шнуре с коэффициентом упругости k = 50 Н/м. Найти максимальное расстояние, на которое можно оттянуть вниз тело, чтобы его колебания еще носили гармонический характер. Какова при этом энергия колебаний тела?
4063.
Тело массы m упало с высоты h на чашку пружинных весов (рис. 4.10). Массы чашки и пружины пренебрежимо малы, жесткость пружины х. Прилипнув к чашке, тело начинает совершать гармонические колебания в вертикальном направлении. Найти амплитуду колебаний и их энергию.
4064.
В условиях предыдущей задачи масса чашки равна М. Найти амплитуду колебаний в этом случае.
4065.
Частица массы m движется в плоскости ху под действием силы, зависящей от скорости по закону F = a(уi – хj), где a — положительная постоянная, i и j — орты осей х и у. В начальный момент t = 0 частица находилась в точке х = у = 0 и имела скорость v0 в направлении орта j. Найти закон движения частицы х (t), у (t), а также уравнение ее траектории.
4066.
Маятник представляет собой легкий тонкостенный сферический сосуд радиуса R, который целиком заполнен водой. Сосуд укреплен на легком жестком стержне (рис. 4.11). Расстояние между точкой подвеса O и центром сосуда равно l. Во сколько раз изменится период малых колебаний такого маятника после того, как вода замерзнет? Вязкостью воды и изменением ее объема при замерзании пренебречь.
4067.
Найти частоту малых колебаний тонкого однородного вертикального стержня массы m и длины l, который шарнирно укреплен в точкеO (рис. 4.12). Суммарная жесткость пружин χ. Массы пружин пренебрежимо малы.
4068.
Однородный стержень массы m = 1,5 кг, висящий на двух одинаковых нитях длины l = 90 см (рис. 4.13), повернули на малый угол вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину С. При этом нити отклонились на угол α = 5,0°. Затем стержень отпустили, и он начал совершать малые колебания. Найти: а) период колебаний; б) энергию колебаний стержня.
4069.
Система (рис. 4.14) состоит из горизонтального однородного диска D массы m и радиуса R и тонкого стержня АО, коэффициент кручения которого k. Найти амплитуду малых крутильных колебаний и их энергию, если в начальный момент диск отклонили на угол φ0 из положения равновесия и сообщили ему угловую скорость φ0.
4070.
Однородный стержень массы m и длины l совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец. Найти среднюю за период колебания кинетическую энергию стержня, если в начальный момент его отклонили от вертикали на угол θ0 и сообщили ему угловую скорость θ0.
4071.
Физический маятник установили так, что его центр тяжести оказался над точкой подвеса. Из этого положения маятник начал двигаться к положению устойчивого равновесия, которое он прошел с угловой скоростью ω. Пренебрегая трением, найти период малых колебаний этого маятника.
4072.
Физический маятник совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси с частотой ω1 = 15,0 рад/с. Если к нему прикрепить небольшое тело массы m = 50 г на расстоянии l = 20 см ниже оси, то частота колебаний становится ω2 = 10,0 рад/с. Найти момент инерции этого маятника относительно оси качания.
4073.
Два физических маятника совершают малые колебания вокруг одной и той же горизонтальной оси с частотами ω1 и ω2. Их моменты инерции относительно данной оси равны соответственно I1 и I2. Маятники привели в состояние устойчивого равновесия и скрепили друг с другом. Какова будет частота малых колебаний составного маятника?
4074.
Однородный стержень длины l совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси OO', перпендикулярной к стержню и проходящей через одну из его точек. Найти расстояние между центром инерции стержня и осью OO', при котором период колебаний будет наименьшим. Чему он равен?
4075.
Тонкая однородная пластинка в форме равностороннего треугольника с высотой h совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси, совпадающей с одной из его сторон. Найти период колебаний и приведенную длину данного маятника.
4076.
Гладкий горизонтальный диск вращают вокруг вертикальной оси О (рис. 4.15) с постоянной угловой скоростью ω. На нем находится тонкий однородный стержень АВ длины l, который совершает малые колебания вокруг вертикальной оси А, укрепленной на диске на расстоянии a от оси О. Найти частоту ω0 этих колебаний.
4077.
Найти частоту малых колебаний системы, показанной на рис. 4.16. Известны радиус блока R, его момент инерции I относительно оси вращения, масса тела m и жесткость пружины χ. Массы нити и пружины пренебрежимо малы, нить по блоку не скользит, трения в оси блока нет.
4078.
Однородный цилиндрический блок массы М и радиуса R может свободно поворачиваться вокруг горизонтальной оси O (рис. 4.17). На блок плотно намотана нить, к свешивающемуся концу которой прикреплен груз А. Этот груз уравновешивает точечное тело массы m, укрепленное на ободе блока, при определенном значении угла α. Найти частоту малых колебаний системы.
4079.
Сплошной однородный цилиндр радиуса r катается без скольжения по внутренней стороне цилиндрической поверхности радиуса R, совершая малые колебания. Найти их период.
4080.
Сплошной однородный цилиндр массы m совершает малые колебания под действием двух пружин, общая жесткость которых χ (рис. 4.18). Найти период этих колебаний в отсутствие скольжения.
4081.
Два кубика, массы которых равны m1 и m2, соединили невесомой пружинкой жесткости χ и положили на гладкую горизонтальную плоскость. Затем кубики немного сблизили и одновременно отпустили. Найти собственную частоту колебаний системы.
4082.
Два шара с массами m1 = 1,0 кг и m2 = 2,0 кг насажены на тонкий гладкий горизонтальный стержень (рис. 4.19). Шары связаны между собой легкой пружинкой с жесткостью χ = 24 Н/м. Левому шару сообщили начальную скорость v1 = 12 см/с. Найти: а) частоту колебаний системы в процессе движения; б) энергию и амплитуду колебаний.
4083.
Найти период малых крутильных колебаний системы, состоящей из двух дисков, насаженных на тонкий стержень с коэффициентом кручения k. Моменты инерции дисков относительно оси стержня равны I1 и I2.
4084.
Модель молекулы СО2 — три шарика, соединенные одинаковыми легкими пружинками и расположенные в положении равновесия вдоль одной прямой. Такая система может совершать продольные колебания двух типов, как показано стрелками на рис. 4.20. Зная массы атомов, найти отношение частот этих колебаний.
4085.
В закрытом с обоих концов цилиндре, заполненном идеальным газом, находится поршень массы m и площадью S (рис. 4.21). В состоянии равновесия поршень делит цилиндр на две равные части, каждая объемом V0. Давление газа р0. Поршень немного сместили из положения равновесия и отпустили. Найти частоту его колебаний, считая процессы в газе адиабатическими, а трение ничтожно малым.
4086.
Небольшой шарик массы m = 21 г, подвешенный на изолирующей нити на высоте h = 12 см от большой горизонтальной проводящей плоскости, совершает малые колебания (рис. 4.22). После того как ему сообщили некоторый заряд q, период колебаний изменился в η = 2,0 раза. Найти q.
4087.
Небольшая магнитная стрелка совершает малые колебания вокруг оси, перпендикулярной к вектору индукции магнитного поля. При изменении индукции поля период колебаний стрелки уменьшился в η = 5,0 раза. Во сколько раз и как изменилась индукция поля? Затухание колебаний пренебрежимо мало.
4088.
Контур (рис. 4.23) образован двумя параллельными проводниками, замыкающим их соленоидом с индуктивностью L и проводящим стержнем массы m, который может свободно (без трения) скользить по проводникам. Проводники находятся в горизонтальной плоскости в однородном вертикальном магнитном поле с индукцией В. Расстояние между проводниками l. В момент t = 0 стержню сообщили вправо начальную скорость v0. Найти закон его движения х (t), если сопротивление контура пренебрежимо мало.
4089.
Катушка индуктивности L соединяет верхние концы двух вертикальных медных шин, отстоящих друг от друга на расстояние l. Вдоль шин падает без начальной скорости горизонтальный проводник-перемычка массы m — без нарушения контакта с шинами. Вся система находится в однородном магнитном поле с индукцией В, перпендикулярном плоскости шин. Найти закон движения проводника х(t).
4090.
Затухающие колебания точки происходят по закону х = а0 е–β sin ωt. Найти: а) амплитуду колебаний и скорость точки в момент t = 0; б) моменты времени, когда точка достигает крайних положений.
<
4091.
Тело совершает крутильные колебания по закону φ = φ0 е–βt cos ωt. Найти: а) угловую скорость и угловое ускорение тела в момент t = 0; б) моменты времени, когда угловая скорость становится максимальной.
4092.
Точка совершает затухающие колебания с частотой ω и коэффициентом затухания β по закону (4.1б). Найти начальную амплитуду а0 и начальную фазу α, если в момент t = 0 смещение точки и проекция ее скорости равны: а) х(0) = 0 и vx(0) = х0; б) х(0) = х0 и vx(0) = 0.
4093.
Некоторая точка совершает затухающие колебания с частотой ω = 25 рад/с. Найти коэффициент затухания β, если в начальный момент скорость точки равна нулю, а ее смещение из положения равновесия в η = 1,020 раза меньше амплитуды в этот момент.
E. Найти зависимость от времени: а) угла θ между вектором скорости v протона и первоначальным направлением его движения; б) проекции vx вектора v на первоначальное направление движения.
3994.
Протон, ускоренный разностью потенциалов U = 500 кВ, пролетает поперечное однородное магнитное поле с индукцией B = 0,51 Т. Толщина области с полем d = 10 см (рис. 3.99). Найти угол α отклонения протона от первоначального направления движения.
3995.
Заряженная частица движется по окружности радиуса r = 100 мм в однородном магнитном поле с индукцией B = 10,0 мТл. Найти ее скорость и период обращения, если частицей является: а) нерелятивистский протон; б) релятивистский электрон.
3996.
Релятивистская частица с зарядом q и массой покоя m0 движется по окружности радиуса r в однородном магнитном поле с индукцией В. Найти: а) модуль вектора импульса частицы; б) кинетическую энергию частицы; в) ускорение частицы.
3997.
Для каких значений кинетической энергии период обращения электрона и протона в однородном магнитном поле на η = 1,0% больше периода их обращения при нерелятивистских скоростях?
3998
Электрон, ускоренный разностью потенциалов U = 1,0 кВ, движется в однородном магнитном поле под углом α = 30° к вектору B, модуль которого B = 29 мТл. Найти шаг винтовой траектории электрона.
3999
Слабо расходящийся пучок нерелятивистских заряженных частиц, ускоренных разностью потенциалов U, выходит из точки A вдоль оси прямого соленоида. Пучок фокусируется на расстоянии l от точки A при двух последовательных значениях индукции магнитного поля, В1 и В2. Найти удельный заряд q/m частиц.
4000.
Из точки A, лежащей на оси прямого соленоида, вылетает нерелятивистский электрон со скоростью v под углом α к оси. Индукция магнитного поля В. Найти расстояние r от оси до точки попадания электрона на экран, расположенный перпендикулярно к оси на расстоянии l от точки А.
4001.
С поверхности цилиндрического провода радиуса a, по которому течет постоянный ток I, вылетает электрон с начальной скоростью v0, перпендикулярной к поверхности провода. Найти, на какое максимальное расстояние удалится электрон от оси провода, прежде чем повернуть обратно под действием магнитного поля тока.
4002.
Нерелятивистская заряженная частица пролетает электрическое поле цилиндрического конденсатора и затем попадает в однородное поперечное магнитное поле с индукцией B (рис. 3.100). В конденсаторе частица движется по дуге окружности, в магнитном поле — по полуокружности радиуса r. Разность потенциалов на конденсаторе U, радиусы обкладок a и b, причем a < b. Найти скорость частицы и ее удельный заряд q/m.
4003.
Из начала координат O области, где созданы однородные параллельные оси y электрическое и магнитное поля с напряженностью Е и индукцией B (рис. 3.101), вылетает в направлении оси х частица с удельным зарядом q/m. Начальная скорость частицы равна v0. Найти для нерелятивистского случая: а) координату уn частицы в момент, когда она n-й раз пересечет ось y; б) угол α между вектором скорости частицы и осью y в этот момент.
4004.
Узкий пучок одинаковых ионов с удельным зарядом q/m, имеющих различные скорости, входит в точке O (см. рис. 3.101) в область, где созданы однородные параллельные электрическое и магнитное поля с напряженностью Е и индукцией В. Направление пучка в точке O совпадает с осью х. На расстоянии l от точки O находится плоский экран, ориентированный перпендикулярно к оси х. Найти уравнение следа ионов на экране. Показать, что при z << l — это уравнение параболы.
4005.
Пучок нерелятивистских протонов проходит, не отклоняясь, через область, в которой созданы однородные поперечные взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля с Е = 120 кВ/м и B = 50 мТл. Затем пучок попадает на заземленную мишень. Найти силу, с которой пучок действует на мишень, если ток в пучке I = 0,80 мА.
4006.
Нерелятивистские протоны движутся прямолинейно в области, где созданы однородные взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля с Е = 4,0 кВ/м и B = 50 мТл. Траектория протонов лежит в плоскости xz (рис. 3.102) и составляет угол φ = 30° с осью х. Найти шаг винтовой линии, по которой будут двигаться протоны после выключения электрического поля.
4007.
Пучок нерелятивистских заряженных частиц проходит, не отклоняясь, через область A (рис. 3.103), в которой созданы поперечные взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля с напряженностью Е и индукцией B. Если магнитное поле выключить, след пучка на экране Э смещается на Δх. Зная расстояния a и b, найти удельный заряд q/m частиц.
4008.
Частица с удельным зарядом q/m движется в области, где созданы однородные взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля с напряженностью Е и индукцией B (рис. 3.104). В момент t = 0 частица находилась в точке О и имела нулевую скорость. Найти для нерелятивистского случая: а) закон движения частицы х(t) и у(t); какой вид имеет траектория; б) длину участка траектории между двумя ближайшими точками, в которых скорость частицы обращается в нуль; в) среднее значение проекции вектора скорости частицы на ось х (дрейфовая скорость).
4009.
Система состоит из длинного цилиндрического анода радиуса a и коаксиального с ним цилиндрического катода радиуса b (b < a). На оси системы имеется нить с током накала I, создающим в окружающем пространстве магнитное поле. Найти наименьшую разность потенциалов между катодом и анодом, при которой термоэлектроны, покидающие катод без начальной скорости, начнут достигать анода.
4010.
Магнетрон — это прибор, состоящий из нити накала радиуса a и коаксиального цилиндрического анода радиуса b, которые находятся в однородном магнитном поле, параллельном нити. Между нитью и анодом приложена ускоряющая разность потенциалов U. Найти значение индукции магнитного поля, при котором электроны, вылетающие с нулевой начальной скоростью из нити, будут достигать анода.
4011.
Заряженная частица с удельным зарядом q/m начинает двигаться в области, где созданы однородные взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля. Магнитное поле постоянно и имеет индукцию В, электрическое же меняется во времени как Е = Еm cos ωt, где ω = qB/m. Найти для нерелятивистского случая закон движения частицы х (t) и у (t), если в момент t = 0 она находилась в точке O (см. рис. 3.104). Какой примерно вид имеет траектория частицы?
4012.
Частота генератора циклотрона v = 10 МГц. Найти эффективнее ускоряющее напряжение на дуантах этого циклотрона, при котором расстояние между соседними траекториями протонов с радиусом r = 0,5 м не меньше, чем Δr = 1,0 см.
4013.
Протоны ускоряют в циклотроне так, что максимальный радиус кривизны их траектории r = 50 см. Найти: а) кинетическую энергию протонов в конце ускорения, если индукция магнитного поля в циклотроне B = 1,0 Т; б) минимальную частоту генератора циклотрона, при которой в конце ускорения протоны будут иметь кинетическую энергию Т = 20 МэВ.
4014.
Однократно ионизованные ионы He+ ускоряют в циклотроне так, что максимальный радиус орбиты r = 60 см. Частота генератора циклотрона v = 10,0 МГц, эффективное ускоряющее напряжение между дуантами U = 50 кВ. Пренебрегая зазором между дуантами, найти: а) полное время процесса ускорения иона; б) приближенное значение пути, пройденного ионом за весь цикл ускорения.
4015.
Так как период обращения электронов в однородном магнитном поле с ростом энергии быстро увеличивается, циклотрон оказывается непригодным для их ускорения. Этот недостаток устраняется в микротроне (рис. 3.105), где изменение периода обращения электрона ΔT делают кратным периоду ускоряющего поля T0. Сколько раз электрону необходимо пройти через ускоряющий промежуток микротрона, чтобы приобрести энергию W = 4,6 МэВ, если ΔT = T0, индукция магнитного поля B = 107 мТл и частота ускоряющего поля ν = 3000 МГц?
4016.
Чтобы в циклотроне не возникала расстройка, связанная с изменением периода обращения частицы при возрастании ее энергии, медленно изменяют (модулируют) частоту ускоряющего поля. По какому закону надо изменять эту частоту ω(t), если индукция магнитного поля равна B и частица приобретает за один оборот энергию Δ W? Заряд частицы q, масса m.
4017.
Частица с удельным зарядом q/m находится внутри соленоида круглого сечения на расстоянии r от его оси. В обмотке включили ток, и индукция магнитного поля стала равной В. Найти скорость частицы и радиус кривизны ее траектории, считая, что за время нарастания тока в соленоиде ее смещение пренебрежимо мало.
4018.
В бетатроне магнитный поток внутри равновесной орбиты радиуса r = 25 см возрастает за время ускорения практически с постоянной скоростью Ф = 5,0 Вб/с. При этом электроны приобретают энергию W = 25 МэВ. Найти число оборотов, совершенных электроном за время ускорения, и соответствующее значение пройденного им пути.
4019.
Показать, что электроны в бетатроне будут двигаться по круговой орбите постоянного радиуса при условии, что индукция магнитного поля на орбите равна половине среднего значения индукции поля внутри орбиты (бетатронное условие).
4020.
Найти с помощью бетатронного условия радиус круговой орбиты электрона, зная зависимость индукции магнитного поля от расстояния r до оси поля. Рассмотреть этот вопрос на примере поля B = В0 – ar2, где В0 и a — положительные постоянные.
4021.
Показать с помощью бетатронного условия, что напряженность вихревого электрического поля в бетатроне имеет экстремум на равновесной орбите.
4022.
В бетатроне индукция магнитного поля на равновесной орбите радиуса r = 20 см изменяется за время Δt = 1,0 мс практически с постоянной скоростью от нуля до B = 0,40 Т. Найти энергию, приобретаемую электроном за каждый оборот.
4023.
Индукция магнитного поля в бетатроне на равновесной орбите радиуса r изменяется за время ускорения от нуля до B практически с постоянной скоростью. Считая начальную скорость электрона равной нулю, найти: а) энергию, приобретенную электроном за время ускорения; б) соответствующее значение пройденного электроном пути, если время ускорения равно Δt.
402.
Точка совершает колебания вдоль оси х по закону х = a cos (at – π/4). Построить примерные графики: а) смещения х, проекции скорости vx и проекции ускорения wx как функций времени t; б) проекции скорости vx и проекции ускорения wx как функций координаты х.
4025.
Некоторая точка движется вдоль оси х по закону х = a sin2 (ωt – π/4). Найти: а) амплитуду и период колебаний; изобразить график х (t); б) проекцию скорости vx как функцию координаты х; изобразить график vx(x).
4026.
Частица совершает гармонические колебания вдоль оси х около положения равновесия х = 0. Частота колебаний ω = 4,00 рад/с. В некоторый момент координата частицы х0 = 25,0 см и ее скорость vx0 = 100 см/с. Найти координату х и скорость vx частицы через t = 2,40 с после этого момента.
4027.
Найти круговую частоту и амплитуду гармонических колебаний частицы, если на расстояниях х1 и х2 от положения равновесия ее скорость равна соответственно v1 и v2.
4028.
Точка совершает гармонические колебания вдоль некоторой прямой с периодом Т = 0,60 с и амплитудой a = 10,0 см. Найти среднюю скорость точки за время, в течение которого она проходит путь a/2: а) из крайнего положения; б) из положения равновесия.
4029.
В момент t = 0 точка начинает совершать колебания вдоль оси х по закону х = a sin ωt. Найти за первые 3/8 периода после начала движения: а) среднее значение проекции ее вектора скорости <vx>; б) модуль среднего вектора скорости |(v)|; в) среднее значение модуля скорости <v>.
4030.
Частица движется вдоль оси х по закону х = a cos ωt. Найти путь, который она пройдет за промежуток времени от t = 0 до t.
4031.
В момент t = 0 частица начинает двигаться вдоль оси х так, что проекция ее скорости меняется по закону vx = 35 cos πt см/с, где t в секундах. Найти путь, который пройдет эта частица за первые t = 2,80 с после начала движения.
4032.
Частица совершает гармонические колебания вдоль оси х по закону х = a cos ωt. Считая вероятность P нахождения частицы в интервале от –а до +а равной единице, найти зависимость от х плотности вероятности dP/dx, где dP — вероятность нахождения частицы в интервале от х до х+dx. Изобразить график dP/dx в зависимости от х.
4033.
Найти графически амплитуду a колебаний, которые возникают при сложении следующих колебаний одного направления: а) х1 = 3,0 cos (ωt + π/3), х2 = 8,0 sin (ωt + π/6); б) х1 = 3,0 cos ωt, x2 = 5,0 cos (ωt + π/4), х3 = 6,0 sin ωt.
4034.
Точка участвует одновременно в двух колебаниях одного направления, которые происходят по законам х1 = a cos ωt и х2 = a cos 2 ωt. Найти максимальную скорость точки.
4035.
При сложении двух гармонических колебаний одного направления результирующее колебание точки имеет вид х = a cos 2,1t•cos 50,0t, где t в секундах. Найти круговые частоты складываемых колебаний и период биений результирующего колебания.
4036.
Точка A колеблется по определенному гармоническому закону в K'-системе отсчета, которая в свою очередь совершает гармонические колебания по отношению к К-системе. Оба колебания происходят вдоль одного и того же направления. При частоте колебаний K'-системы 20 или 24 Гц частота возникающих биений точки A в К-системе оказывается равной v. При какой частоте колебаний K'-системы частота биений точки A станет равной 2ν?
4037.
Точка движется в плоскости ху по закону х = a sin ωt, у = b cos ωt, где a, b и ω — положительные постоянные. Найти: а) уравнение траектории точки у (х) и направление ее движения по этой траектории; б) ускорение точки w в зависимости от ее радиус-вектора r относительно начала координат.
4038.
Найти уравнения траектории точки у (х), если она движется по законам: а) х = a sin ωt, у = a sin 2ωt; б) х = a sin ωt, у = a cos 2ωt. Изобразить графики этих траекторий.
4039.
Частица массы m находится в одномерном потенциальном поле, где ее потенциальная энергия зависит от координаты х как U(х) = U0(1 – cos aх), U0 и a — некоторые постоянные. Найти период малых колебаний частицы около положения равновесия.
4040.
Тот же вопрос, что и в предыдущей задаче, но потенциальная энергия имеет вид U (х) = a/х2 – b/х, где a и b — некоторые положительные постоянные.
4041.
Найти период малых вертикальных колебаний шарика массы m = 40 г, укрепленного на середине горизонтально натянутой струны длины l = 1,0 м. Натяжение струны считать постоянным и равным F = 10 Н.
4042.
Определить период малых колебаний математического маятника — шарика, подвешенного на нити длины l = 20 см, если он находится в жидкости, плотность которой в η = 3,0 раза меньше плотности шарика. Сопротивление жидкости считать пренебрежимо малым.
4043.
Шарик подвесили на нити длины l к точке O стенки, составляющей небольшой угол α с вертикалью (рис. 4.1). Затем нить с шариком отклонили на небольшой угол β (β > α) и отпустили. Считая удар шарика о стенку абсолютно упругим, найти период колебаний такого маятника.
4044.
Маятниковые часы установили в кабине лифта, которая начала подниматься с постоянным ускорением w, причем w<g. На высоте h ускорение кабины изменило свое направление на противоположное, оставшись по модулю тем же. Через сколько времени после начала движения показания часов окажутся верными?
4045.
Вычислить период малых колебаний ареометра (рис. 4.2), которому сообщили небольшой толчок в вертикальном направлении. Масса ареометра m = 50 г, радиус его трубки r = 3,2 мм, плотность жидкости ρ = 1,00 г/см3. Сопротивление жидкости считать пренебрежимо малым.
4046.
Имеется недеформированная пружина жесткости χ = 13 Н/м, концы которой закреплены. В точке, отстоящей от одного из концов пружины на η = 1/3 ее длины, укрепили небольшое тело массы m = 25 г. Пренебрегая массой пружины, найти период малых продольных колебаний данного тела. Силы тяжести нет.
4047.
Определить период малых продольных колебаний тела массы m в системе (рис. 4.3), если жесткости пружинок равны χ1 и χ2, а их массы и трение пренебрежимо малы.
4048.
Найти период малых вертикальных колебаний тела массы m в системе (рис. 4.4). Жесткости пружинок равны χ1 и χ2, а их массы пренебрежимо малы.
4049.
Небольшое тело массы m закреплено на середине натянутой струны длины 2l. Натяжение струны в положении равновесия равно Т0. Найти угловую частоту малых колебаний тела в поперечном направлении. Масса струны пренебрежимо мала, поле тяжести отсутствует.
4050.
Определить период колебаний ртути массы m = 200 г, налитой в изогнутую трубку (рис. 4.5), правое колено которой составляет угол θ = 30° с вертикалью. Площадь сечения канала трубки S = 0,50 см2. Вязкостью ртути пренебречь.
4051.
Однородный стержень положили на два быстро вращающихся блока, как показано на рис. 4.6. Расстояние между осями блоков l = 20 см, коэффициент трения между стержнем и блоками k = 0,18. Показать, что стержень будет совершать гармонические колебания. Найти их период.
4052.
Представим себе шахту, пронизывающую Землю по ее оси вращения. Считая Землю за однородный шар и пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: а) закон движения тела, упавшего в шахту; б) сколько времени понадобится этому телу, чтобы достигнуть противоположного конца шахты; в) скорость тела в центре Земли.
4053.
Найти период малых колебаний математического маятника длины l, если его точка подвеса O движется относительно поверхности Земли в произвольном направлении с постоянным ускорением w (рис. 4.7). Вычислить этот период, если l = 21 см, w = g/2 и угол между векторами w и g β = 120°.
4054.
В установке (рис. 4.8) муфта М массы m = 0,20 кг закреплена между двумя одинаковыми пружинками, общая жесткость которых χ = 20 Н/м. Муфта без трения может скользить по горизонтальному стержню АВ. Установка вращается с постоянной угловой скоростью ω = 4,4 рад/с вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Найти период малых колебаний муфты. При каком значении ω колебаний муфты не будет?
4055.
Доска с лежащим на ней бруском совершает горизонтальные гармонические колебания с амплитудой a = 10 см. Найти коэффициент трения между доской и бруском, если брусок начинает скользить по доске, когда ее период колебания меньше Т = 1,0 c.
4056.
Найти зависимость от времени угла отклонения математического маятника длины 80 см, если в начальный момент маятник: а) отклонили на угол 3,0° и без толчка отпустили; б) находился в состоянии равновесия и его нижнему концу сообщили горизонтальную скорость 0,22 м/с; в) отклонили на 3,0° и его нижнему концу сообщили скорость 0,22 м/с, направленную к положению равновесия.
4057.
Тело A массы m1 = 1,00 кг и тело B массы m2 = 4,10 кг соединены между собой пружиной, как показано на рис. 4.9. Тело A совершает свободные вертикальные гармонические колебания с амплитудой a = 1,6 см и частотой ω = 25 рад/с. Пренебрегая массой пружины, найти наибольшее и наименьшее значения силы давления этой системы на опорную плоскость.
4058.
Доска, на которой лежит тело массы m, начинает двигаться вертикально вверх по закону y = a(1 – cos ωt), где y — смещение из начального положения, ω = 11 рад/с. Найти: а) силу давления тела на доску в зависимости от времени, если a = 4,0 см; изобразить график этой зависимости; б) минимальную амплитуду колебания доски, при которой тело начнет отставать от нее; в) амплитуду колебания доски, при которой тело подскочит на высоту h = 50 см относительно начального положения (в момент t = 0).
4059.
К нерастянутой пружине, верхний конец которой закреплен, подвесили и без толчка отпустили тело массы m. Жесткость пружины χ. Пренебрегая ее массой, найти: а) закон движения тела у(t), где у — его смещение из начального положения; б) максимальное и минимальное натяжения пружины в процессе движения.
4060.
Частица массы m движется под действием силы F = –αmr, где α — положительная постоянная, r — радиус-вектор частицы относительно начала координат. Найти траекторию ее движения, если в начальный момент r = r0i и скорость v = v0j, где i и j — орты осей х и у.
4061.
Тело массы m висит на пружине, прикрепленной к потолку кабины лифта. Жесткость пружины х. В момент t = 0 кабина начала подниматься с ускорением w. Пренебрегая массой пружины, найти закон движения груза у (t) относительно кабины лифта, если у(0) = 0 и у(0) = 0. Рассмотреть два случая: а) w = const; б) w = αt, где α — постоянная.
4062.
Тело массы m = 0,50 кг висит на резиновом шнуре с коэффициентом упругости k = 50 Н/м. Найти максимальное расстояние, на которое можно оттянуть вниз тело, чтобы его колебания еще носили гармонический характер. Какова при этом энергия колебаний тела?
4063.
Тело массы m упало с высоты h на чашку пружинных весов (рис. 4.10). Массы чашки и пружины пренебрежимо малы, жесткость пружины х. Прилипнув к чашке, тело начинает совершать гармонические колебания в вертикальном направлении. Найти амплитуду колебаний и их энергию.
4064.
В условиях предыдущей задачи масса чашки равна М. Найти амплитуду колебаний в этом случае.
4065.
Частица массы m движется в плоскости ху под действием силы, зависящей от скорости по закону F = a(уi – хj), где a — положительная постоянная, i и j — орты осей х и у. В начальный момент t = 0 частица находилась в точке х = у = 0 и имела скорость v0 в направлении орта j. Найти закон движения частицы х (t), у (t), а также уравнение ее траектории.
4066.
Маятник представляет собой легкий тонкостенный сферический сосуд радиуса R, который целиком заполнен водой. Сосуд укреплен на легком жестком стержне (рис. 4.11). Расстояние между точкой подвеса O и центром сосуда равно l. Во сколько раз изменится период малых колебаний такого маятника после того, как вода замерзнет? Вязкостью воды и изменением ее объема при замерзании пренебречь.
4067.
Найти частоту малых колебаний тонкого однородного вертикального стержня массы m и длины l, который шарнирно укреплен в точкеO (рис. 4.12). Суммарная жесткость пружин χ. Массы пружин пренебрежимо малы.
4068.
Однородный стержень массы m = 1,5 кг, висящий на двух одинаковых нитях длины l = 90 см (рис. 4.13), повернули на малый угол вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину С. При этом нити отклонились на угол α = 5,0°. Затем стержень отпустили, и он начал совершать малые колебания. Найти: а) период колебаний; б) энергию колебаний стержня.
4069.
Система (рис. 4.14) состоит из горизонтального однородного диска D массы m и радиуса R и тонкого стержня АО, коэффициент кручения которого k. Найти амплитуду малых крутильных колебаний и их энергию, если в начальный момент диск отклонили на угол φ0 из положения равновесия и сообщили ему угловую скорость φ0.
4070.
Однородный стержень массы m и длины l совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец. Найти среднюю за период колебания кинетическую энергию стержня, если в начальный момент его отклонили от вертикали на угол θ0 и сообщили ему угловую скорость θ0.
4071.
Физический маятник установили так, что его центр тяжести оказался над точкой подвеса. Из этого положения маятник начал двигаться к положению устойчивого равновесия, которое он прошел с угловой скоростью ω. Пренебрегая трением, найти период малых колебаний этого маятника.
4072.
Физический маятник совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси с частотой ω1 = 15,0 рад/с. Если к нему прикрепить небольшое тело массы m = 50 г на расстоянии l = 20 см ниже оси, то частота колебаний становится ω2 = 10,0 рад/с. Найти момент инерции этого маятника относительно оси качания.
4073.
Два физических маятника совершают малые колебания вокруг одной и той же горизонтальной оси с частотами ω1 и ω2. Их моменты инерции относительно данной оси равны соответственно I1 и I2. Маятники привели в состояние устойчивого равновесия и скрепили друг с другом. Какова будет частота малых колебаний составного маятника?
4074.
Однородный стержень длины l совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси OO', перпендикулярной к стержню и проходящей через одну из его точек. Найти расстояние между центром инерции стержня и осью OO', при котором период колебаний будет наименьшим. Чему он равен?
4075.
Тонкая однородная пластинка в форме равностороннего треугольника с высотой h совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси, совпадающей с одной из его сторон. Найти период колебаний и приведенную длину данного маятника.
4076.
Гладкий горизонтальный диск вращают вокруг вертикальной оси О (рис. 4.15) с постоянной угловой скоростью ω. На нем находится тонкий однородный стержень АВ длины l, который совершает малые колебания вокруг вертикальной оси А, укрепленной на диске на расстоянии a от оси О. Найти частоту ω0 этих колебаний.
4077.
Найти частоту малых колебаний системы, показанной на рис. 4.16. Известны радиус блока R, его момент инерции I относительно оси вращения, масса тела m и жесткость пружины χ. Массы нити и пружины пренебрежимо малы, нить по блоку не скользит, трения в оси блока нет.
4078.
Однородный цилиндрический блок массы М и радиуса R может свободно поворачиваться вокруг горизонтальной оси O (рис. 4.17). На блок плотно намотана нить, к свешивающемуся концу которой прикреплен груз А. Этот груз уравновешивает точечное тело массы m, укрепленное на ободе блока, при определенном значении угла α. Найти частоту малых колебаний системы.
4079.
Сплошной однородный цилиндр радиуса r катается без скольжения по внутренней стороне цилиндрической поверхности радиуса R, совершая малые колебания. Найти их период.
4080.
Сплошной однородный цилиндр массы m совершает малые колебания под действием двух пружин, общая жесткость которых χ (рис. 4.18). Найти период этих колебаний в отсутствие скольжения.
4081.
Два кубика, массы которых равны m1 и m2, соединили невесомой пружинкой жесткости χ и положили на гладкую горизонтальную плоскость. Затем кубики немного сблизили и одновременно отпустили. Найти собственную частоту колебаний системы.
4082.
Два шара с массами m1 = 1,0 кг и m2 = 2,0 кг насажены на тонкий гладкий горизонтальный стержень (рис. 4.19). Шары связаны между собой легкой пружинкой с жесткостью χ = 24 Н/м. Левому шару сообщили начальную скорость v1 = 12 см/с. Найти: а) частоту колебаний системы в процессе движения; б) энергию и амплитуду колебаний.
4083.
Найти период малых крутильных колебаний системы, состоящей из двух дисков, насаженных на тонкий стержень с коэффициентом кручения k. Моменты инерции дисков относительно оси стержня равны I1 и I2.
4084.
Модель молекулы СО2 — три шарика, соединенные одинаковыми легкими пружинками и расположенные в положении равновесия вдоль одной прямой. Такая система может совершать продольные колебания двух типов, как показано стрелками на рис. 4.20. Зная массы атомов, найти отношение частот этих колебаний.
4085.
В закрытом с обоих концов цилиндре, заполненном идеальным газом, находится поршень массы m и площадью S (рис. 4.21). В состоянии равновесия поршень делит цилиндр на две равные части, каждая объемом V0. Давление газа р0. Поршень немного сместили из положения равновесия и отпустили. Найти частоту его колебаний, считая процессы в газе адиабатическими, а трение ничтожно малым.
4086.
Небольшой шарик массы m = 21 г, подвешенный на изолирующей нити на высоте h = 12 см от большой горизонтальной проводящей плоскости, совершает малые колебания (рис. 4.22). После того как ему сообщили некоторый заряд q, период колебаний изменился в η = 2,0 раза. Найти q.
4087.
Небольшая магнитная стрелка совершает малые колебания вокруг оси, перпендикулярной к вектору индукции магнитного поля. При изменении индукции поля период колебаний стрелки уменьшился в η = 5,0 раза. Во сколько раз и как изменилась индукция поля? Затухание колебаний пренебрежимо мало.
4088.
Контур (рис. 4.23) образован двумя параллельными проводниками, замыкающим их соленоидом с индуктивностью L и проводящим стержнем массы m, который может свободно (без трения) скользить по проводникам. Проводники находятся в горизонтальной плоскости в однородном вертикальном магнитном поле с индукцией В. Расстояние между проводниками l. В момент t = 0 стержню сообщили вправо начальную скорость v0. Найти закон его движения х (t), если сопротивление контура пренебрежимо мало.
4089.
Катушка индуктивности L соединяет верхние концы двух вертикальных медных шин, отстоящих друг от друга на расстояние l. Вдоль шин падает без начальной скорости горизонтальный проводник-перемычка массы m — без нарушения контакта с шинами. Вся система находится в однородном магнитном поле с индукцией В, перпендикулярном плоскости шин. Найти закон движения проводника х(t).
4090.
Затухающие колебания точки происходят по закону х = а0 е–β sin ωt. Найти: а) амплитуду колебаний и скорость точки в момент t = 0; б) моменты времени, когда точка достигает крайних положений.
<
4091.
Тело совершает крутильные колебания по закону φ = φ0 е–βt cos ωt. Найти: а) угловую скорость 
и угловое ускорение 
тела в момент t = 0; б) моменты времени, когда угловая скорость становится максимальной.
4092.
Точка совершает затухающие колебания с частотой ω и коэффициентом затухания β по закону (4.1б). Найти начальную амплитуду а0 и начальную фазу α, если в момент t = 0 смещение точки и проекция ее скорости равны: а) х(0) = 0 и vx(0) = х0; б) х(0) = х0 и vx(0) = 0.
4093.
Некоторая точка совершает затухающие колебания с частотой ω = 25 рад/с. Найти коэффициент затухания β, если в начальный момент скорость точки равна нулю, а ее смещение из положения равновесия в η = 1,020 раза меньше амплитуды в этот момент.